初中数学七年级下册（青岛版）知识清单

初中数学七年级下册（青岛版）知识清单一、第7章数据的收集、整理与描述（一）【基础】知识建构与核心概念本章是统计学习的入门基础，核心任务是经历数据处理的完整过程：收集→整理→描述→分析。重点是理解各类统计图的特点与选用，难点在于如何从数据中提取信息并做出合理的推断。本章内容为【高频考点】，通常以现实生活情境为背景，考查统计图的选用与互补。（二）【核心】数据的收集1、收集数据的步骤：明确调查问题→确定调查对象→选择调查方法→展开调查→记录结果。2、调查方式：（1）全面调查（普查）：对所有考察对象进行的调查。优点是结果准确，缺点是耗时耗力，适用于小范围调查。★（2）抽样调查：从被考察的全体对象中抽取一部分样本进行的调查。优点是省时省力，缺点是结果具有随机性。适用范围：当调查具有破坏性（如检测灯泡寿命）或总体容量巨大时。★3、【重要】相关概念：（1）总体：所要考察的全体对象。（2）个体：组成总体的每一个考察对象。（3）样本：从总体中抽取的一部分个体。（4）样本容量：一个样本中包含的个体数目（注意：不带单位）。（三）【核心】数据的整理1、整理数据的方法：分类、排序、分组、编码。常用工具是统计表。2、【重要】频数与频率：（1）频数：每个对象出现的次数。（2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或百分比）。频率之和等于1。3、【公式】频率=频数÷数据总数；频数=数据总数×频率。（四）【难点与高频考点】数据的描述——统计图的选择与应用1、条形统计图：特点：能够清晰显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别。★2、扇形统计图：特点：用扇形的面积表示各部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小。★【作图关键】圆心角度数=频率×360°。3、折线统计图：特点：易于显示数据的变化趋势。★4、直方图：用于展示连续型数据的分布情况，特别是当数据分组较多时。★5、【高频考点】统计图的综合应用：通常会给出不完整的条形图和扇形图，要求根据互补信息补全图形，并计算样本容量、频数、频率，最后进行简单的预测或建议。解题步骤：【非常重要】（1）找已知具体数据及其对应百分比→求总数。（2）利用总数求其他未知项的频数或百分比。（3）补全图形。（4）根据样本频率估算总体。二、第8章相交线与平行线（一）【基础】相交线1、【重要】对顶角：两条直线相交所形成的，两边互为反向延长线的角。性质：对顶角相等。★★2、邻补角：两条直线相交，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。性质：邻补角互补（和为180°）。3、垂线：【非常重要】（1）定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直。（2）垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称：垂线段最短）。（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。注意：是“长度”，不是“线段”。4、三线八角（两条直线被第三条直线所截）：【重要基础】（1）同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一方。形如“F”。（2）内错角：在截线的两旁，被截两直线之间。形如“Z”。（3）同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间。形如“U”。（二）【核心】平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2、【重要】平行公理（及推论）：（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。3、【高频考点】平行线的判定与性质（这是整个中学几何推理的基石）：★★★（1）判定（由角推导线平行）：①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。④平行（或垂直）于同一条直线的两直线平行。（2）性质（由导线推导角）：①两直线平行，同位角相等。②两直线平行，内错角相等。③两直线平行，同旁内角互补。4、【难点】两条平行线间的距离：如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等，这个距离叫做两条平行线间的距离。（三）【难点与易错点】命题、定理与证明1、命题：判断一件事情的语句。由“题设”和“结论”两部分组成。通常写成“如果……那么……”的形式。2、真命题与假命题：正确的命题是真命题；错误的命题是假命题。3、定理：经过推理证实得到的真命题。4、证明：【易错】证明过程必须步步有据（已知、定义、定理、公理），逻辑严密。不能想当然地添加条件。（四）【方法点拨】平行线中常见辅助线作法当遇到“拐点”问题时（如图，已知AB∥CD，求∠B、∠D、∠∠BED的关系），通常过拐点作已知直线的平行线，从而构造出同位角、内错角或同旁内角，再利用性质解题。★★★三、第9章二元一次方程组（一）【基础】认识二元一次方程组1、二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。★2、二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组。3、【重要】二元一次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。一般情况下一元二次方程的解有无数个。4、二元一次方程组的解：方程组中两个方程的公共解。★【注意】方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程。（二）【核心】解二元一次方程组——消元思想核心思想：将“二元”转化为“一元”。【非常重要】1、【高频考点】代入消元法：★★步骤：（1）变形：将其中一个方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。（2）代入：将变形后的式子代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程。（3）求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。（4）回代：将求出的值代回变形后的式子（或原方程组），求出另一个未知数的值。（5）写解：用大括号的形式写出方程组的解。2、【高频考点】加减消元法：★★步骤：（1）变形：将两个方程化为同一个未知数的系数相等或互为相反数的形式（乘以最小公倍数）。（2）加减：若系数相等，则两式相减；若系数互为相反数，则两式相加。从而消去一个未知数。（3）求解、回代、写解（同上）。（三）【难点与实际应用】二元一次方程组与实际问题1、列方程组解应用题的一般步骤：【非常重要】审（审题，找等量关系）→设（设未知数，可直接设也可间接设）→列（根据等量关系列出方程组）→解（解方程组）→验（检验解是否符合方程和实际意义）→答。2、常见题型及等量关系：（1）行程问题：路程=速度×时间；相遇：s1+s2=s总；追及：s快s慢=s初始距离。（2）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；常把总工作量看作“1”。（3）利润问题：利润=售价进价；利润率=利润÷进价×100%；打折：售价=标价×折扣。（4）配套问题：根据比例关系建立方程。例如，螺栓数量×2=螺母数量。（5）数字问题：注意数的表示。如一个两位数=10×十位数字+个位数字。（四）三元一次方程组（选学或拓展）1、概念：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程的方程组。2、解法思路：通过“代入”或“加减”进行消元，先将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”。★★四、第10章整式的乘法与除法（一）【基础】幂的运算（这是本章一切运算的基础）【非常重要】1、同底数幂的乘法：am·an=a(m+n)（m，n都是正整数）。即：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：(am)n=a(mn)（m，n都是正整数）。即：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：(ab)n=an·bn（n是正整数）。即：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。4、同底数幂的除法：am÷an=a(mn)（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）。即：底数不变，指数相减。5、【易错点】零指数幂与负整数指数幂：★★（1）任何不等于0的数的0次幂都等于1。即：a0=1（a≠0）。（2）规定：an=1/an（a≠0，n是正整数）。6、科学记数法：用于表示绝对值小于1的数。表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数，n等于第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的那个零）。（二）【核心】整式的乘法1、单项式乘单项式：【法则】系数相乘作为积的系数；相同字母的指数相加；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。★★2、单项式乘多项式：【法则】用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。★★3、【难点】多项式乘多项式：【法则】先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。★★★（三）【高频考点】乘法公式【非常重要】1、平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2。★★【结构特征】左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b和b）；右边是相同项的平方减去相反项的平方。2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2。★★【结构特征】左边是两个数的和（或差）的平方；右边是一个二次三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央（符号由左边决定）。3、【拓展与易错】添括号法则：括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。常用于公式的逆用或变形。（四）【核心】整式的除法1、单项式除以单项式：【法则】把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。★★2、多项式除以单项式：【法则】先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即：(am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m。★★五、第11章因式分解（一）【基础】因式分解的概念1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。★★2、【非常重要】因式分解与整式乘法的关系：它们是互逆变形。整式乘法是把整式乘积展开成和；因式分解是把多项式化成整式乘积。可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。（二）【核心】因式分解的方法1、【基础】提公因式法：★★（1）公因式：多项式各项都含有的公共的因式。（2）确定公因式的方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母；指数取各相同字母的最低次幂。（3）步骤：将公因式提到括号外面，写成公因式与另一个多项式乘积的形式。即：ma+mb+mc=m(a+b+c)。2、【高频考点】公式法：★★★（1）平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)。【适用条件】多项式是二项式，且两项符号相反，都能写成平方的形式。（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a22ab+b2=(ab)2。【适用条件】多项式是三项式，其中有两项能写成平方和的形式，第三项是这两项乘积的2倍（可正可负）。这样的多项式也叫完全平方式。3、【拓展】十字相乘法（选学）：对于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式，可分解为(x+p)(x+q)。（三）【难点】因式分解的一般步骤（口诀：一提二套三检查）【非常重要】1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式。2、二套：如果没有公因式（或提完公因式后），可以尝试运用公式法（平方差或完全平方）。3、三检查：检查每个因式是否还能继续分解（分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止）。同时检查分解过程是否正确。六、第12章平面图形的认识（一）【基础】三角形1、三角形的分类：（1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（2）按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。2、【重要】三角形的三边关系：【高频考点】（1）三角形任意两边之和大于第三边。（2）三角形任意两边之差小于第三边。3、【重要】三角形的三条重要线段：【基础】（1）中线：连接顶点和对边中点的线段。三条中线交于一点（重心）。（2）角平分线：内角平分线与对边相交的交点间的线段。三条角平分线交于一点（内心）。（3）高：从顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段。三条高所在直线交于一点（垂心）。【易错】钝角三角形的高有两条在三角形外部。4、【核心】三角形的内角和与外角性质：★★★（1）三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°。（2）三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（二）【基础】多边形1、多边形的相关概念：顶点、边、内角、外角、对角线。2、【重要】多边形的内角和：n边形的内角和等于(n2)·180°。★★3、【重要】多边形的外角和：任意多边形的外角和都等于360°。★★【热点】常与正多边形结合，考查内角或外角的度数。4、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。（三）【基础】圆1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。2、相关概念：【基础】（1）圆心、半径。（2）弦：连接圆上任意两点的线段。直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。（3）弧：圆上任意两点间的部分。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。半圆既是优弧也是劣弧吗？不，它单独分类。（4）等圆：能够重合的圆（半径相等）。同心圆：圆心相同，半径不同的圆。3、圆的周长与面积公式（复习）：C=2πr，S=πr2。七、第13章位置与坐标（一）【基础】确定位置的方法1、有序数对：用含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各有不同含义，且前后顺序不能随意交换。记作(a，b)。★2、方向与距离：用方位角和距离也可以描述平面内点的相对位置。例如：“北偏东30°，距离5km处”。（二）【核心】平面直角坐标系【非常重要】1、定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角