2025-2026学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知命题p：∀x∈[0，1]，x2≤x,则命题￢p为（）A.∃x∈[0，1]，x2＞x B.∀x∈[0，1]，x2＞x

C.∃x∉[0，1]，x2≤x D.∀x∉[0，1]，x2＞x2.已知集合A={0，1，2}，B={1，a+1}，则“a=1”是“B⊆A”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数的定义域为（-∞，1]∪（2，+∞），则实数a的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.的值域为（）A. B.

C. D.5.以下是函数f（x）=（x2-1）•（2x-2-x）的大致图象的是（）A. B.

C. D.6.2026年6月，某新能源车企销量榜前六名（按销量从高到低）为：A、B、C、D、E、F，其中D和E销量相同，其余均不同.现从这六家车企中随机选取4家，并按销量从高到低排成一排（销量相同者互换位置视为不同排列）.则不同的排列结果共有（）种.A.15 B.20 C.21 D.287.已知幂函数f（x）过点（8，4），则不等式f（x-2）＞f（1-2x）的解集为（）A.（-1，1） B.

C.（1，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）8.已知函数，若方程2[f（x）]2+（m+1）f（x）+m-1=0有三个不等实根，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，3，5，8，13，21，34，55，89的上四分位数为34

B.已知随机变量X～B（n,p），若E（X）=2，，则n=6

C.一组观测数据（xi，yi）的经验回归方程为=-2.7x+14.1，则样本点（11，-12）处的残差为-3.6

D.在线性回归分析中，决定系数R2用来刻画拟合的效果，若R2值越大，则模型的拟合效果越好10.已知x＞0，y＞0，x+y=xy,则（）A.xy≤2 B.x+y≥4 C.x2+y2≥8 D.11.定义在R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-3），且x∈[1，4]时，f（x）=x3+ax2+bx+c.则以下说法正确的有（）A.函数y=f（x）的图象关于点（2，0）对称

B.a+b+c=2

C.

D.若函数g（x）=|f（x）|-k（x∈[-2，5]，k∈R）恰有7个零点，则所有零点之和的范围是（10，11）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知ξ～N（6，σ2），若，则P（2≤ξ≤6）=

.13.已知为偶函数，则实数a=

.14.近几年来无人机在生活中的应用越来越广泛.已知在海拔高度x（单位：km）处，大气压强P（单位：kPa）近似满足关系，k为常数）.已知海平面（x=0）处大气压为100kPa,在海拔5.5km处大气压为50kPa.已知某款无人机飞行时，大气压强保持在60kPa以上才能保证设备安全.则该无人机最大飞行海拔高度约为

km（精确到小数点后两位）.

参考数据：ln2≈0.69，ln0.6≈-0.51.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中各棱长均为1，P为AC中点.

（1）求证：AB1∥平面PBC1；

（2）求二面角C1-BP-A1的余弦值.16.(本小题15分)

为研究每日运动时长与夜间睡眠质量的相关性，某中学心理健康小组随机抽取本校高二50名学生进行问卷调查，统计每名学生日均运动时长（单位：h）与睡眠质量评分（满分10分），先抽取其中6名学生的样本数据进行线性回归分析，数据如表所示：学生编号123456日均运动时长x0.30.51.01.31.52.0睡眠质量评分y6.46.66.87.07.28（1）求样本相关系数r（精确到0.01），并判断日均运动时长x与睡眠质量评分y是否有较强的线性相关关系（当|r|∈[0.75，1]时，可以认为两个变量有较强的线性相关关系；否则，没有较强的线性相关关系）；

（2）整理50名学生的全部数据，以日均运动时长1小时为界限、睡眠质量评分7分为界限（评分≥7分表示睡眠良好），得到如下2×2列联表，已知运动达标的学生中睡眠一般的人数占比，请完成以下列联表，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为日均运动时长与睡眠质量有关？睡眠良好睡眠一般合计运动达标（≥1h）8运动不达标（＜1h）6合计5参考公式及数据：

①已知，，，，样本相关系数；

②，其中n=a+b+c+d.

临界值表：α0.100.050.0100.005xα2.7063.8416.6357.87917.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P（2，y0）（y0＞0）在C上且直线PF的斜率为.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）已知直线l交抛物线于B，C两点，且线段BC的中点Q在直线y=-2上，若直线PB，PC的斜率之积为-2，求直线l的方程.18.(本小题17分)

某质点在如图所示的区域内随机游走，每轮质点进行一次移动，初始时在A区域.当质点在A、B、C区域时，移动到每个有通道连接的相邻区域或留在本区域的概率均为（B、C区域不互通）；当质点移动到D区域时结束游走.

（1）设每轮游走结束后，质点位于B区域为事件M.记前两轮游走后，事件M发生的次数为X，求X的分布列及期望；

（2）设xn表示第n轮游走结束后质点在A区域的概率，yn表示第n轮游走结束后质点在B区域的概率（n=0，1，2，…）.已知初始状态：x0=1，y0=0.

（i）求y1，x2；

（ⅱ）是否存在实数λ使得数列{xn+λyn}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，说明理由.并从概率的角度分析，质点是否可以在A、B、C区域内无限次游走？19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex-elnx-e,.

（1）求f（x）的最小值；

（2）求证：∀x∈[l,+∞），；

（3）求证：.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】0.3

13.【答案】1

14.【答案】4.07

15.【答案】证明：连接B1C交BC1于点Q，则Q为B1C的中点，

连接PQ，因为P为AC中点，所以PQ∥AB1.，

又PQ⊂平面PBC1，AB1⊄平面PBC1，

所以AB1∥平面PBC1

16.【答案】r≈0.96，日均运动时长与睡眠质量评分有较强的线性相关关系睡眠良好睡眠一般合计运动达标24832运动不达标61218合计302050依据小概率值α=0.005的独立性检验，能认为日均运动时长与睡眠质量有关

17.【答案】y2=2x

x+2y+1=0

18.【答案】X的分布列为：X012P

（i）；（ⅱ）存在，，从概率的角度分析，质点不能在A，B，C区域无限次游走

19.【答案】0

证明：函数g（x）=x=-l的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），

，

∀x∈[1，+∞），x-1≥0，ex＞0，

所以（x-1）ex+1＞0，所以g'（x）＞0，g（x）单调递增．

所以g（x）≥g（1）=e-1．∀x∈[1，+∞），0＜≤1，

所以1＜≤e，所以0＜-1≤e-1，

因此∀x∈[1，+∞），g（x）≥-1

证明：先证左边：当x=1时，，

所以，

所以当k=1时，，

令m（x）=ex-1-x2-x，x≥2，

则m'（x）=ex-2x-1．

令n（x）=m'（x）=ex-2x-1，

则n'（x）=ex-2≥e2-2＞0，

所以m（x）=n（x）是单调递增函数，所以m（x）≥m（2）=e2-5＞0，

所以m（x）是单调递增函数，

所以m（x）≥m（2）=e2-7＞0，

所以ex-1＞x2+x，

即∀x∈[2，+∞），，

令p（x）=（x+1）ln（+1），x≥1，

则，

令s（x）=p'（x），

则，

所以p'（x）=s（x）是单调递增函数，

所以，

所以p（x）是单调递增函数，

所以p（x）≥p（1）=2ln2＞1，

即，

即．

所以当n≥2时，＜ln2+＜ln2+[（ln3-ln2）+（ln4-ln3）+…+ln（n+1）-lnn]

=ln（n+1）（n∈N”