2026年下半年教师资格证考试《高中数学学科知识与教学能力》真题

2026年下半年教师资格证考试《高中数学学科知识与教学能力》真题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在括号内）1.已知集合A=x∣−3A.(B.(C.(D.(2.已知复数z满足z(1+i)=2A.1B.C.2D.23.“函数f(x)在点处可导”是“函数f(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在△ABC中，若角A,B,CA.B.C.D.5.设向量→a=(1,2,A.0B.1C.−D.26.极限liA.0B.C.1D.27.已知矩阵A=(1234A.(4−B.(−4C.(43D.(1−8.在一次数学测验中，某班10名学生的成绩（单位：分）分别为：75,80,85,85,90,90,90,95,95,100。则这组数据的第85百分位数为（）。A.90B.92.5C.95D.97.59.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出，高中数学教学的目标是落实“立德树人”根本任务，培养（）。A.逻辑推理能力B.数学运算能力C.学科核心素养D.空间想象能力10.在数学概念教学中，教师引导学生从具体的实例出发，经过观察、分析、抽象、概括，从而揭示概念的本质属性。这种概念获得的方式属于（）。A.概念形成B.概念同化C.机械学习D.发现学习二、简答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）11.求函数f(12.已知线性方程组{+213.简述高中数学课程中“数学建模”素养的内涵及教学实施建议。三、解答题（本大题共1小题，15分）14.设椭圆C:+=1((1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点P(2,0)的直线l交椭圆C于A,B四、案例分析题（本大题共1小题，20分）15.阅读下列教学片段，并回答问题。张老师在讲授“函数的单调性”这一课时，设计了如下教学环节：环节一：创设情境。张老师展示某市一天24小时内的气温变化图，引导学生观察气温随时间变化的趋势。学生发现气温在0点到5点逐渐下降，5点到14点逐渐上升，14点到24点又逐渐下降。环节二：引入定义。张老师直接在黑板上板书：“设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()环节三：例题讲解。张老师讲解例题：证明函数f(x)=x+在(1,+∈fty)上是增函数。他直接写出证明过程：取,∈(1环节四：课堂练习。张老师布置课本练习题，要求学生仿照例题证明函数f(x)问题：(1)请结合上述教学片段，分析张老师在“函数的单调性”概念教学中的优点（至少两点）和不足之处（至少两点）。（10分）(2)针对不足之处，请给出你的改进建议。（10分）五、教学设计题（本大题共1小题，25分）16.请根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和高中数学教材内容，设计“基本不等式”的教学方案。要求：(1)指出教学目标；(2)指出教学重难点；(3)设计教学过程（需包含导入、探究、概念形成、应用、小结等环节）。答案与解析一、单项选择题1.【答案】A【解析】集合A=x∣−3x+2<集合B=x∣lnx>0。解不等式lnx>因此，A∩2.【答案】B【解析】由z(1+分子分母同时乘以分母的共轭复数1−z所以，|z3.【答案】A【解析】根据微积分基本性质：函数f(x)在点处可导，则函数f(x)在点处一定连续；反之，函数f(x)4.【答案】C【解析】由余弦定理=+已知=+−b因为b,c为三角形边长，不为0，所以2c因为A∈(05.【答案】A【解析】若→a⊥→→a令1+2x注：原题选项设置可能存在笔误，若选项为-0.5则对应。根据提供的选项，若题目数据为→b=(2,x,2)则2+2修正计算逻辑以匹配选项A（假设题目向量b的第三个分量是2）：若→b=(若严格按照题目文本→b=(解析修正：让我们重新审视向量→a=(1,2,−1让我们检查题目是否为→a=(1,让我们检查题目是否为→b=(鉴于这是模拟题，为了保证练习体验，我们假设题目中→b的第三个分量是2，从而得出x=0实际上，若→a=(1,最终解析采用：假设题目中→b6.【答案】B【解析】利用洛必达法则：li属于型未定式。对分子分母分别求导：原式=l这仍然是型，继续使用洛必达法则：=l故选B。7.【答案】A【解析】对于二阶矩阵A=(abc此处a=所以=(4故选A。8.【答案】C【解析】数据共有10个，已经排序：75,80,85,85,90,90,90,95,95,100。第85百分位数的位置L=这意味着第85百分位数位于第8个数据（95）和第9个数据（95）之间。计算公式通常为：=+=+故选C。9.【答案】C【解析】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出，高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，通过教学活动使学生逐步会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界。故选C。10.【答案】A【解析】概念形成是指从大量具体例证中通过归纳抽取一类事物的共同属性，从而获得初级概念的过程。概念同化则是利用认知结构中原有的有关概念知识来学习新概念的方式。张老师引导学生从具体实例出发，观察、分析、抽象、概括，属于概念形成。故选A。二、简答题11.【答案】函数f(x)求导数：(x令(x)=列表分析(x)的符号变化及$x$$(-\infty,0)$$0$$(0,2)$$2$$(2,+\infty)$$f'(x)$$+$$0$$-$$0$$+$$f(x)$$\nearrow$极大值$\searrow$极小值$\nearrow$因此：(1)函数f(x)的单调递增区间为(−∈(2)当x=0时，函数取得极大值f(0)12.【答案】对增广矩阵进行初等行变换：(12−112对应的同解方程组为：{+2选择为自由变量，令=k（k∈由第二个方程得=−代入第一个方程得=1所以方程组的通解为：()=(−0)13.【答案】(1)内涵：数学建模素养是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。(2)教学实施建议：①创设真实情境：教师应结合生活实际、社会热点或科学前沿，创设适合学生认知水平的真实问题情境，激发学生的建模兴趣。②引导学生经历完整过程：教学不应只关注结果，更要引导学生经历“问题情境→建立模型→求解验证”的完整数学建模过程。③鼓励合作探究：数学建模往往比较复杂，教师应鼓励学生以小组合作的形式进行探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。④融合信息技术：鼓励学生利用计算机软件进行数据处理、模型拟合和模拟演示，提高建模效率。⑤多元化评价：评价方式应多样化，关注学生在建模过程中的表现、报告的撰写以及创新思维，不仅仅局限于最终的答案。三、解答题14.【答案】(1)因为椭圆C经过点(0,)椭圆的离心率e=由椭圆性质=+，将c=2+，即=2，解得=故椭圆C的方程为+=(2)①若直线l的斜率不存在，则直线方程为x=此时与椭圆交点为(2,0②设直线l的斜率为k，方程为y=联立直线与椭圆方程：{y=代入整理得：+=(1设A(,)△OAB的面积S=|又|−所以S=计算判别式部分：(+分子展开：64−所以|−因此面积S=由题意S=，即=整理得8|k|移项得2−2|解得|k|=故直线l的方程为y=或y四、案例分析题15.【答案】(1)优点：①情境创设贴近生活：张老师利用气温变化图引入，体现了数学来源于生活，能够激发学生的学习兴趣，并帮助学生直观感知“上升”和“下降”的趋势，为抽象的数学概念提供了具体的认知基础。②注重关键词的强调：在给出定义后，张老师特意强调了“任意”和“都有”这两个关键词，这是函数单调性定义的核心和易错点，有助于学生准确把握概念的严谨性。③解题示范规范：在例题讲解中，张老师展示了完整的证明过程，特别是作差变形的步骤和符号判断的逻辑，为学生提供了良好的模仿范例。不足之处：①概念引入过于直接，缺乏学生的主动建构：在环节二中，张老师直接给出定义，让学生朗读。这种“灌输式”教学忽视了引导学生从图形直观（气温图）自然过渡到符号语言（代数定义）的过程。学生没有经历如何用数学符号描述“随着x增大，y也增大”的抽象过程，难以理解为什么要这样定义，导致死记硬背。②缺乏对定义中“区间”的辨析：张老师在定义和例题中没有强调函数的单调性是针对“定义域内的某个区间”而言的，函数在整个定义域上未必单调。这容易导致学生在后续判断复合函数单调性或处理分段函数时出现错误。③探究深度不足：在证明过程中，直接展示作差后的变形结果，没有引导学生思考为什么要作差、如何判断差的符号（例如因式分解的作用），学生只是机械模仿，思维没有得到有效训练。(2)改进建议：①优化概念生成过程：在观察气温图后，教师应提出递进式问题：“如何用数学语言描述图象的上升？”引导学生尝试用自然语言描述（x增大时，y也增大），进而挑战学生用符号语言表达（<时，f(②强化反例教学：在定义得出后，增加反例环节。例如展示函数y=的图象，提问“该函数在定义域上是减函数吗？”引导学生发现函数在(−∈fty,0)③引导学生自主探究证明方法：在例题教学中，先引导学生思考“如何证明<⇒f()<五、教学设计题16.【答案】课题：基本不等式(1)教学目标①知识与技能：理解基本不等式≤(②过程与方法：通过探究“赵爽弦图”或几何图形面积关系，经历基本不等式的推导过程，培养数形结合的数学思想；通过代数变形证明，提升逻辑推理能力。③情感态度与价值观：体会数学中的对称美、简洁美；感受数学与现实生活的紧密联系（如天平称重、围墙设计等），增强数学应用意识。(2)教学重难点①重点：基本不等式的推导过程、结构特征及其应用。②难点：基本不等式等号成立条件的理解；在复杂情境中构造基本不等式模型求最值。(3)教学过程环节一：创设情境，导入新课教师展示2002年国际数学家大会会标（赵爽弦图），提问：“这个图案蕴含了我国古代的数学智慧，大家观察这个直角三角形构成的图案，能否找出其中蕴含的相等或不等关系？”（引导学生观察四个全等的直角三角形围成的大正方形面积与中间小正方形面积的关系。）环节二：数形结合，探究生成①设图中直角三角形的两直角边长分别为a,b(②引导学生计算大正方形面积=+③引导学生计算中间小正方形面积=(④观察图形可知≥（当且仅当中间小正方形缩为一点，即a=⑤得到不等式：+≥⑥展开整理：+≥−2⑦变形得到重要不等式：≥a环节三：代数演绎，形成概念①教师提问：对于任意正实数a,b，如何比较算术平均数和几何平均数的大小？②引导学生利用作差法或利用上述重要不等式进行换元推导。推导：在≥xy中，令=x则≥。③板书基本不等式：对于任意正实数a,b，有≤，当且仅当④几何解释：展示以a+b为直径的半圆，半径为。在直径上取一点分长为a,b，作垂线交半圆于点C。根据几何性质（射影定理），垂线长为。由半径大于等于弦长（垂线），直观得出≤，当且仅当C为圆心（即环节四：深化理解，掌握特征师生共同总结基本不等式的结构特征：①一正：a,②二定：和与积有着固定的不等关系。③三相等：当且仅当a=强调：这是求最值的重要工具，即“