2025-2026学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分36分，每题3分）.1．已知复数，则．2．已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为3．已知向量，若，则．4．点为直线上任意一个动点，则到点的距离的最小值为．5．在中，若，，，则．6．直线与直线夹角的大小为．7．已知向量，，向量在向量方向上的数量投影为．8．已知平面上两点，，为直线上一点，且，则点的坐标为．9．关于的方程，，的解集为．10．已知复数满足，，则的最小值是．11．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是．12．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A． B． C． D．14．直线和直线互相平行，则的值为（）A．或3 B．或1 C． D．15．若，是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是（）A．和 B．和 C．和 D．和16．两个周期函数，的最小正周期分别为，，且，其中，．如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（）①；②；③；④；⑤．A．②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤．三、解答题（本大题共有5题，满分48分）答题时必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。17．已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．18．已知，为虚数单位，复数．（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．19．如图，在路边安装路灯，路宽，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到，其中20．已知，．（1）若，求函数在上的值域；（2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．21．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）1．已知复数，则．解：由题意，．故答案为：．2．已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为解：因为扇形的半径，圆心角，所以扇形的面积．故答案为：．3．已知向量，若，则．解：由，可得，即，解得．答案为：．4．点为直线上任意一个动点，则到点的距离的最小值为3．解：由题意得当点和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故到点的距离的最小值为3．故答案为：3．5．在中，若，，，则．解：中，，，，由余弦定理得，．故答案为：．6．直线与直线夹角的大小为．解：直线可化为，斜率，设该直线的倾斜角为，则且，可得，因为直线与轴平行，斜率等于0，倾斜角为0，所以直线与直线夹角的大小为．故答案为：．7．已知向量，，向量在向量方向上的数量投影为．解：因为向量，，所以，，所以向量在向量上的数量投影为．故答案为：．8．已知平面上两点，，为直线上一点，且，则点的坐标为．解：设，，，则，因为，所以，解得，所以点的坐标为．故答案为：．9．关于的方程，，的解集为．解：因为，，则，，又，则或，解得或，则其解集为．故答案为：．10．已知复数满足，，则的最小值是．解：设，则，，因为，所以，即，又，所以在复平面内对应的点的轨迹为或，表示点到点的距离，由点的轨迹可知，当，时，有最小值，最小值为．故答案为：．11．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是，．解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，，，，，所以，因为，，二次函数的对称轴为：，所以，时，，．故答案为：，．12．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）解：设，，在△中，由正弦定理得，即’即①在△中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得．故答案为：．二、选择题（本题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A． B． C． D．解：函数、的最小正周期为，不正确；函数是偶函数，不正确，是奇函数，且最小正周期为，正确．故选：．14．直线和直线互相平行，则的值为（）A．或3 B．或1 C． D．解：由，解得或．经过验证可得：时两条直线重合，舍去．．故选：．15．若，是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是（）A．和 B．和 C．和 D．和解：选项：不存在实数使得，故可以作为一组基底，故错误，选项：因为，所以向量共线，不能作为一组基底，故正确，选项与选项，根据向量共线定理可得向量不共线，故可以作为一组基底，故，错误，故选：．16．两个周期函数，的最小正周期分别为，，且，其中，．如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（）①；②；③；④；⑤．A．②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤．解：令，其最小正周期，验证①，取，则，，所以，，满足①，验证③，取，则，，，满足③；验证⑤，取，则，，此时，满足⑤，令，若②，则，可得，得到，与题意不符，故②不可能出现；因为，即为的一个周期，所以，所以④不可能出现．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分48分）答题时必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。17．已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）；（2）因为，所以，又，所以，，所以．18．已知，为虚数单位，复数．（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．解：（1）因为为纯虚数，所以，解得．（2）时，．因为是方程的一个根，所以代入得：，则，解得，．19．如图，在路边安装路灯，路宽，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到，其中解：如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为，的中点的坐标为．因为，所以直线的倾斜角为，由，得点的坐标为，即．又因为，所以，所以直线的方程为．又直线过点，所以，解得．故灯柱高约为．故答案为：．20．已知，．（1）若，求函数在上的值域；（2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．解：（1），当时，，令，由，得，故，所以，即函数在上的值域为．（2）令，则，即，设，当时，，则或，前3个解依次是：，已知函数在上恰有2个零点，则，解得，故实数的取值范围是．21．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在