2026年（北师大版）高中数学必修一第9讲-指数运算与指数函数 含解析

/指数运算与指数函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质。一、有理数指数幂及运算性质1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂；（2）零指数幂；（3）负整数指数幂（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。2、有理数指数幂的性质（1）（2）（3）二、根式1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。2、对于根式记号，要注意以下几点：（1），且；（2）当是奇数，则；当是偶数，则；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。3、规定：（1）；（2）三、对指数函数定义的理解一般地，函数叫做指数函数。1、定义域是。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在的前提下，可以是任意实数。2、规定,且的理由：（1）若，（2）若，如，当、等时，在实数范围内函数值不存在。（3）若，，是一个常量，没有研究的必要性。为了避免上述各种情况，所以规定,且。3、式上的严格性：指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1。自变量在指数的位置上。比如等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如，因为它可以化为，其中，且。四、指数函数的图象和性质：图象性质定义域：值域：图像都过点在上是增函数在上是减函数特别提醒：角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变大。即不论在轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。五、比较幂值得大小底数相同：利用函数的单调性进行比较；指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。六、指数方程的可解类型，可分为：形如的方程，化为求解。形如的方程，可令进行换元，转化成一元二次方程进行求解。七、指数不等式的解法：当时，与同解，当时，与同解。类型一根式与分数指数幂的互化例1：(1)用根式表示下列各式：aeq\s\up10(\f(1,5))；aeq\s\up10(\f(3,4))；a－eq\f(2,3)；(2)用分数指数幂表示下列各式：eq\r(3,a5)；eq\r(3,a6)；eq\f(1,\r(3,a2)).练习1：把根式化为分数指数幂的形式：eq\r(4,a2b3)＝__________.练习2：用根式表示下列各式：xeq\s\up10(\f(3,5))；x－eq\s\up10(\f(1,3)).类型二根式与分数指数幂的混合运算例2：计算：1.5－eq\f(1,3)＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(2)×eq\r(3))4－eq\r(－\f(2,3)\f(2,3)).练习1：化简：1.5eq\s\up10(\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\f(2,3))；练习2：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简eq\r(3－π2)＋eq\r(3,－π－33)＝()A．－2πB．6C．2πD．－6类型三指数函数的定义例3：下列函数中，哪些是指数函数？①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；⑦y＝x10.练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．练习2：(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1类型四指数函数的图象和性质例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0练习1：若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则()A．a>1B．a>1，且m<0C．0<a<1，且m>0 D．0<a<1练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象之间的关系是()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称类型五指数函数性质的应用例5:比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；练习1:比较下列各题中两个值的大小．(1)0.3x与0.3x＋1；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2与2eq\s\up10(\f(1,2)).练习2:(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．类型六指数函数性质的综合应用例6:函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．练习1:(2015·陕西文，4改编)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)x≥0,2xx<0))，则f[f(－2)]＝________.练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f(eq\f(1,3))、f(eq\f(3,2))、f(eq\f(2,3))的大小关系为__________．1、把下列各式中的写成分数指数幂的形式（1）；（2）；2、计算（1）；（2）3、求下列各式的值（1）；（2）；4、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）（2）5、若函数是一个指数函数，求实数的取值范围。6、函数恒过定点。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为()①eq\r(n,an)＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③eq\r(3,x4＋y3)＝xeq\s\up4(\f(4,3))＋y；④eq\r(3,－5)＝eq\r(6,－52).A．0 B．1C．2 D．32．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a>0，将eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))写成分数指数幂，其结果是()A．aeq\s\up4(\f(3,2)) B．aeq\s\up7(\f(1,2))C．aeq\s\up4(\f(5,6)) D．aeq\s\up4(\f(7,6))3．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－eq\s\up7(\f(1,2))＋eq\f(－40,\r(2))＋eq\f(1,\r(2)－1)－eq\r(1－\r(5)0)＝____.4．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a<eq\f(1,4)，则化简eq\r(4,4a－12)的结果是()A．eq\r(1－4a) B．eq\r(4a－1)C．－eq\r(1－4a) D．－eq\r(4a－1)5．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝()A．eq\f(1,2) B．2C．4 D．eq\f(1,4)能力提升6．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2x<2,2－xx≥2))，则f(－3)的值为()A．2 B．8C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,8)7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象必经过定点________．8．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则当x<0时，f(x)＝________.9.(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数．(1)求常数k的值；(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明．10.已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(b－2x,2x＋a)是奇函数．(1)求a、b的值；(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范围．指数运算与指数函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质。一、有理数指数幂及运算性质1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂；（2）零指数幂；（3）负整数指数幂（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。2、有理数指数幂的性质（1）（2）（3）二、根式1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。2、对于根式记号，要注意以下几点：（1），且；（2）当是奇数，则；当是偶数，则；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。3、规定：（1）；（2）三、对指数函数定义的理解一般地，函数叫做指数函数。1、定义域是。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在的前提下，可以是任意实数。2、规定,且的理由：（1）若，（2）若，如，当、等时，在实数范围内函数值不存在。（3）若，，是一个常量，没有研究的必要性。为了避免上述各种情况，所以规定,且。3、式上的严格性：指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1。自变量在指数的位置上。比如等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如，因为它可以化为，其中，且。四、指数函数的图象和性质：图象性质定义域：值域：图像都过点在上是增函数在上是减函数特别提醒：角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变大。即不论在轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。五、比较幂值得大小底数相同：利用函数的单调性进行比较；指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。六、指数方程的可解类型，可分为：形如的方程，化为求解。形如的方程，可令进行换元，转化成一元二次方程进行求解。七、指数不等式的解法：当时，与同解，当时，与同解。类型一根式与分数指数幂的互化例1：(1)用根式表示下列各式：aeq\s\up10(\f(1,5))；aeq\s\up10(\f(3,4))；a－eq\f(2,3)；(2)用分数指数幂表示下列各式：eq\r(3,a5)；eq\r(3,a6)；eq\f(1,\r(3,a2)).解析：(1)aeq\s\up10(\f(1,5))＝eq\r(5,a)；aeq\s\up10(\f(3,4))＝eq\r(4,a3)；a－eq\s\up10(\f(2,3))＝eq\f(1,a\f(2,3))＝eq\f(1,\r(3,a2)).(2)eq\r(3,a5)＝aeq\s\up10(\f(5,3))；eq\r(3,a6)＝aeq\s\up10(\f(6,3))＝a2；eq\f(1,\r(3,a2))＝eq\f(1,a\f(2,3))＝a－eq\s\up10(\f(2,3)).答案：见解析练习1：把根式化为分数指数幂的形式：eq\r(4,a2b3)＝__________.答案：aeq\s\up10(\f(1,2))beq\s\up10(\f(3,4))练习2：用根式表示下列各式：xeq\s\up10(\f(3,5))；x－eq\s\up10(\f(1,3)).答案：xeq\s\up10(\f(3,5))＝eq\r(5,x3).x－eq\s\up10(\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,x)).类型二根式与分数指数幂的混合运算例2：计算：1.5－eq\f(1,3)＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(2)×eq\r(3))4－eq\r(－\f(2,3)\f(2,3)).解析：原式＝(eq\f(3,2))－eq\s\up10(\f(1,3))＋(23)eq\s\up10(\f(1,4))×2eq\s\up10(\f(1,4))＋(6eq\f(1,2))4－eq\r(\f(4,9)\f(1,3))＝(eq\f(2,3))eq\s\up10(\f(1,3))＋2eq\s\up10(\f(3,4))×2eq\f(1,4)＋62－(eq\f(2,3))eq\s\up10(\f(1,3))＝2＋36＝38.答案：38练习1：化简：1.5eq\s\up10(\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋80.25×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\f(2,3))；答案：110练习2：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简eq\r(3－π2)＋eq\r(3,－π－33)＝()A．－2πB．6C．2πD．－6答案：D类型三指数函数的定义例3：下列函数中，哪些是指数函数？①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；⑦y＝x10.解析：①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．综上可知，①、⑥是指数函数．答案:①、⑥练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．答案:4练习2：(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1答案：C类型四指数函数的图象和性质例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析：由图象呈下降趋势可知0<a<1，又由图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知a－b<1，即－b>0，∴b<0.答案：D练习1：若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则()A．a>1B．a>1，且m<0C．0<a<1，且m>0 D．0<a<1答案：B练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象之间的关系是()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称答案:C类型五指数函数性质的应用例5:比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；解析：(1)考察指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)考察函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.(3)由指数函数的性质得1．70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.答案：<<>练习1:比较下列各题中两个值的大小．(1)0.3x与0.3x＋1；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2与2eq\s\up10(\f(1,2)).答案：>>练习2:(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．答案：(1,3)类型六指数函数性质的综合应用例6:函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1.即eq\f(b,2)＝1⇒b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．若x≥0，则3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，若x<0，则0<3x<2x<1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，∴f(3x)>f(2x)，即f(cx)>f(bx)，综上所述，f(cx)≥f(bx)．答案：f(cx)≥f(bx)．练习1:(2015·陕西文，4改编)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)x≥0,2xx<0))，则f[f(－2)]＝________.答案：eq\f(1,2)练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f(eq\f(1,3))、f(eq\f(3,2))、f(eq\f(2,3))的大小关系为__________．答案：f(eq\f(2,3))＜f(eq\f(3,2))＜f(eq\f(1,3))1、把下列各式中的写成分数指数幂的形式（1）；（2）；答案：（1）；（2）2、计算（1）；（2）答案：（1）；（2）3、求下列各式的值（1）；（2）；答案：（1）；（2）4、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）（2）答案：（1）；（2）5、若函数是一个指数函数，求实数的取值范围。答案：6、函数恒过定点。答案：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为()①eq\r(n,an)＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③eq\r(3,x4＋y3)＝xeq\s\up4(\f(4,3))＋y；④eq\r(3,－5)＝eq\r(6,－52).A．0 B．1C．2 D．3答案：B2．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a>0，将eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))写成分数指数幂，其结果是()A．aeq\s\up4(\f(3,2)) B．aeq\s\up7(\f(1,2))C．aeq\s\up4(\f(5,6)) D．aeq\s\up4(\f(7,6))答案：D3．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－eq\s\up7(\f(1,2))＋eq\f(－40,\r(2))＋eq\f(1,\r(2)－1)－eq\r(1－\r(5)0)＝____.答案：2eq\r(2)4．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a<eq\f(1,4)，则化简eq\r(4,4a－12)的结果是()A．eq\r(1－4a) B．eq\r(4a－1)C．－eq\r(1－4a) D．－eq\r(4a－1)答案：A5．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝()A．eq\f(1,2) B．2C．4 D．eq\f(1,4)答案:B能力提升6．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2x<2,2－xx≥2))，则f(－3)的值为()A．2 B．8C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,8)答案：D7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象必经过定点________．答案：(－1,2)8．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高