初中9年级数学 暑假自学预习 第12讲 实际问题与二次函数(原卷版)

第12讲实际问题与二次函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用二次函数解决拱桥问题题型2利用二次函数解决投球问题题型3利用二次函数解决喷水问题题型4利用二次函数解决销售问题题型5利用二次函数解决图形问题题型6利用二次函数解决图形运动问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航建模、最值、顶点、自变量范围、最大利润、最大面积、检验。1.能根据实际问题中的数量关系，建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围。2.掌握利用二次函数的顶点坐标求最值的方法，解决最大利润、最大面积等优化问题。3.理解二次函数在实际问题中的增减性，能根据自变量范围判断函数的最值（不一定在顶点处）。4.经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数学建模思想，提升应用意识和分析问题的能力。学习重点:建立二次函数模型解决实际问题，利用顶点坐标求最值。学习难点:准确找出实际问题中的等量关系并列出函数解析式，以及根据实际意义确定自变量的取值范围，并能判断最值是在顶点处还是在端点处取得。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01二次函数的应用1.

核心应用场景：-最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等-实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。2.

解题步骤：-审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。-建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。-求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。-检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。3.

关键技巧与思想：-解析式选择：最值问题优先用顶点式y=a(x-h)2+k，已知交点用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。-数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。-实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。【易错提醒】审清题意（利润、面积、抛线等），正确建立函数模型。注意自变量实际范围（如边长>0），顶点处取最值时需验证是否在取值范围内。单位要统一，结果合理取舍。即时即练1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是．3．（河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题）网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价元的商品，为减少库存．未来天，这种商品将开展“每天降价元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该商品的销售单价每降元，每天销售量增加件，活动前的销售单价为元，每天销售件，设活动开始后的第天（为正整数）所获的利润为（元）(1)求出与之间的函数关系式；(2)哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？题型1利用二次函数解决拱桥问题【例1】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．【例2】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．(1)水面的宽度______m；(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．【技巧归纳】以水面为x轴，拱顶为y轴建系，设y=ax²+c。代入已知点（如水面宽对应点）求解析式。再求给定高度处宽度：代入y解x，宽度=|x₁-x₂|。注意实际问题中变量正负与坐标系选择。【变式1-1】西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为．(1)求该抛物线的表达式；(2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度．【变式1-2】综合与实践问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值．数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米．问题解决：(1)①求该桥拱抛物线的函数表达式；②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度．(2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可．题型2利用二次函数解决投球问题【例3】如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在点处，小刚在点处，两人相距6米，小贤给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面米，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小贤的水平距离（单位：米）与离地高度（单位：米）的数据如下表所示（水平距离水平速度时间）：/米…12.545.57…/米…33.7543.753…(1)求关于的函数解析式．(2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米．请问小刚能否成功接球？并说明理由．【例4】一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？【技巧归纳】建立坐标系，以抛出点为原点或地面为x轴，抛物线设为y=ax²+bx+c。代入出手点、最高点、落地点坐标求解析式。最大高度即顶点纵坐标，水平距离由落地点横坐标确定。注意系数正负与实际意义。【变式2-1】杂技演员抛球表演时，秒后该球离起点的高度为米，已知，其中与成正比，与成正比．当时，，当时，．(1)求与的函数解析式；并求小球达到最高点时的值；(2)求经过多少秒球回到起点的高度？(3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1．8米的上空完成其他表演动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？【变式2-2】乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱．已知标准乒乓球台（如图1）长为，小明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B距离台面，如图2，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，收球口C距离台面，乒乓球从抛球口落到左台上的点处弹起越过球网（标准高度为），落在球台右侧点E处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中的轨迹分别由三条抛物线的一部分，，组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于轴的直线成轴对称，其中段抛物线的对称轴是y轴．(1)求所在抛物线的解析式；（用含n的代数式表示）(2)若发球成功，求n的取值范围；(3)若乒乓球从点E处弹起后运动到点A的正上方F处，且F处的高度与C处的高度相同．①求n的值；②若小明在F处击球，使球落在球台左侧的台面上点处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上方距台面的高度h满足，直接写出t的取值范围．题型3利用二次函数解决喷水问题【例5】某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度【例6】一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．【技巧归纳】以喷水口为原点或地面为x轴建系，设y=ax²+bx+c。代入水流经过的点求解析式。最远距离为y=0时的正根，最大高度为顶点纵坐标，注意喷口高度c。根据实际取舍负根。【变式3-1】如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．【变式3-2】如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．

(1)的值为______；(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；(4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．题型4利用二次函数解决销售问题【例7】育新书店发售一套儿童绘本，成本价40元/套，经市场调查，绘本售价每套50元/套，每天可以销售200套．若每套绘本涨价1元，日销量将减少10套．育新书店预计每天的销售量不少于100套．(1)问每套绘本售价应不高于多少元？(2)为了回报社会，育新书店决定每销售一套儿童绘本，就为市儿童基金会捐赠元，捐赠后，该书店每天的最大利润能否达到1690元？若能，求的值；若不能，说明理由．【例8】直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果．已知该芒果的成本为4元/，销售价格不高于18元/，且每售卖1需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量（）与销售价格（元/）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求与的函数解析式；(2)当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？【技巧归纳】设降价（或涨价）x元，利润=（单件利润）×销量。单件利润=原利润±x，销量=原销量±kx，得二次函数。求顶点横坐标得最佳定价，注意定义域（销量非负、价格非负）。开口向下有最大值。【变式4-1】某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表：销售价格x（元/千克）2410市场需求量q/（百千克）12104已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克(1)求q与x的函数关系式；(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克．①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本）【变式4-2】宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：x…2026283135…y…20141295…(1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．①求2023年该特产的售价；②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大?最大利润是多少?题型5利用二次函数解决图形问题【例9】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）．(1)若比长米，求、的长；(2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？【例10】某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米．(1)则的长为米（用含x的代数式表达）；(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？【技巧归纳】设未知边长或坐标，根据面积、周长等几何关系列二次函数。求最值时，用配方法或顶点公式，注意自变量范围（边长>0，三角形两边和大于第三边）。开口方向决定最大或最小值。【变式5-1】在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门．(1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长．(2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值．(3)求长方形区域的面积S的最大值．【变式5-2】蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

题型6利用二次函数解决图形运动问题【例11】如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积．(1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm．(2)在运动过程中，求的最大面积．【例12】如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒．(1)用含的代数式表示线段的长________；(2)当点落在边上时，求的值；(3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式．【技巧归纳】设运动时间t，用t表示线段长、面积等变量，建立关于t的二次函数。根据运动过程确定t的定义域。求最值或特定值时，利用顶点公式或解方程。注意点运动方向导致分段函数可能不同。【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为．(1)___________，___________（用含t的代数式表示）(2)记的面积为，的面积为．①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．②求的最小值．【变式6-2】综合与实践：【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为．【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则；②关于的函数关系式为；（2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）．【延伸探究】（3）当时，的长为，此时关于的函数图象上点的坐标为；（4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围．一、单选题1．某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（

）A． B． C． D．由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入上式，得，解得：，抛物线的解析式为．点的横坐标为2，点的纵坐标为，点到的距离为．2．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论：①；②铅球运动的高度可以是；③铅球掷出的水平距离为；④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为．其中，正确结论的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．43．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为4平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题4．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）与销量（单位：袋）的关系分别为和．若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为______元．5．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______．6．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______．三、解答题7．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，(1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元；(2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？(3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？8．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．(1)求雕塑的高；(2)求落水点C、之间的距离；(3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明．9．小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．(1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为．①直接写出和的值；②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围；(2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值．10．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为．(1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式；(2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过