小学二年级数学“包含除”模型建构与除法算式意义探究深度学习设计

小学二年级数学“包含除”模型建构与除法算式意义探究深度学习设计

  一、前沿理念与整体架构透析

  本设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于小学二年级学生从整数加减法运算向乘除法运算过渡的关键节点。除法概念的学习，尤其是“包含除”模型的初步建立，是学生理解除法运算意义、发展数感与运算能力、初步形成模型意识的基石。传统的教学往往侧重于算法操练与记忆，而本设计旨在突破此局限，以“深度学习”理论为框架，遵循“情境卷入—操作探究—模型建构—符号表达—迁移应用—反思评价”的学习路径。设计强调将除法还原于真实的、有意义的“分物”情境，引导学生在充分的动手操作与思维协作中，自主发现“按份数平均分”（等分除）与“按每份数平均分”（包含除）的内在一致性，从而深刻理解除法算式的双重表征意义。整个学习过程不仅关注“是什么”和“怎么做”，更致力于引导学生探究“为什么”，在问题解决中感悟除法作为一种数学工具的力量与简洁美，实现数学知识与关键能力、思维品质、情感态度的协同发展。

  二、课程标准与核心素养关联分析

  本课内容精准对应“数与代数”领域“数与运算”主题下的要求。课标明确提出，在第一学段，要引导学生在具体情境中理解除法运算的意义，能解释算式的表示含义。本设计对此进行了深化与拓展。在核心素养的培育上，本课着力于以下四点：一是运算能力：不仅在于掌握除法算式的读写和计算，更在于理解除法运算产生的背景与逻辑，为后续学习乘除法的互逆关系及解决问题奠定坚实基础。二是数感：通过大量分物活动，强化对总数、份数、每份数之间关系的直觉感知与把握。三是模型意识：引导学生从具体分物情境中抽象出“总数÷每份数=份数”这一数学模型，并初步体验模型的普适性。四是推理意识：在比较“等分除”与“包含除”异同的过程中，鼓励学生进行合情推理，发现数学规律，并用语言有条理地表达自己的思考过程。

  三、学习者特征深度剖析

  二年级上学期的学生，其思维正处于具体形象思维向初步逻辑思维过渡的阶段。他们已熟练掌握了表内乘法，并初步接触了基于“平均分”概念的除法，但认知往往局限于“等分除”（已知总数和份数，求每份数）的情境。对于“包含除”（已知总数和每份数，求份数）这一模型相对陌生，容易产生认知混淆。学生的学习动机强烈，对动手操作和游戏化学习活动充满兴趣，但注意力持久性有限，需要多样化的活动设计来维持其探究热情。潜在的认知难点在于：第一，难以跳出“分得的结果是每份数”的思维定势，理解“分得的结果是份数”；第二，在理解除法算式“33÷3=11”时，对“11”这个商所代表的实际意义（是11份，还是每份11个）容易产生困惑，这取决于情境是“包含”还是“等分”。因此，教学必须创设对比鲜明的情境，提供结构化操作材料，让学生在反复体验与辨析中实现意义建构。

  四、学习目标体系（多维融合）

  基于以上分析，确立以下多维融合的学习目标：

  1.知识与技能维度：在真实的问题情境中，经历“包含除”意义的完整建构过程。能准确读写除法算式，并能结合具体情境，清晰表述如“33÷3=11”中每个数字的含义以及整个算式的意义。能区分“等分除”与“包含除”两种情境模型。

  2.过程与方法维度：通过摆一摆、圈一圈、画一画、说一说、比一比等多元学习活动，发展动手操作能力、直观想象能力和数学语言表达能力。在解决问题的过程中，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题。

  3.情感态度与价值观维度：在合作探究中体验学习的乐趣和成功的喜悦，感受除法与生活的密切联系。养成乐于思考、敢于质疑、严谨求实的科学态度。初步体会数学的抽象性和概括性，欣赏数学的简洁美。

  五、学习重难点及突破策略预设

  学习重点：理解“包含除”的意义，掌握除法算式的读写法，并能结合情境解释算式的含义。

  学习难点：在具体情境中，清晰辨别“包含除”与“等分除”模型，理解除法算式商的实际意义（是份数还是每份数）。

  突破策略：采用“双情境对比”与“多元表征联通”的策略。设计“分糖果（等分）”与“串珠链（包含）”两个核心对比情境，让学生在同一种操作材料（如小圆片）的不同分法中进行体验。引导学生用动作表征（分）、语言表征（说）、图形表征（圈画）、符号表征（算式）等多种方式来表达同一数学事实，并在不同表征之间建立有意义的联系，从而深化对除法本质的理解。

  六、学习资源与环境创设

  1.物理资源：每位学生准备33个统一的小圆片（或计数棒、豆子等）作为操作学具；学习任务单（包含多个层次的问题情境与记录表格）；多媒体课件（呈现动态分物过程、对比图表、生活情境图片）。

  2.认知资源：激活学生已有的“平均分”和“等分除”经验，唤醒乘法口诀（特别是三三得九、三四十二等）作为认知支撑。

  3.环境创设：将课桌椅布置成利于小组合作交流的“岛屿式”。教室墙壁可张贴前期学习的“乘法口诀表”和“等分除”情境图，营造数学学习氛围。准备实物展示台，便于分享学生不同的操作方法与思维过程。

  七、教学实施过程（结构化深度学习历程）

  本过程以“问题驱动、活动导学、层层进阶”为原则，划分为五个相互衔接、螺旋上升的阶段。

  第一阶段：创设冲突，激活旧知——从“等分”到“包含”的认知转折点（预计时长：8分钟）

    师生活动：教师首先呈现一个趣味性问题：“上节课我们帮小熊平均分了蜂蜜。今天，智慧老人遇到了一个新问题，想请大家帮忙。他有一袋糖果，数了数，正好是33颗。他想把这些糖果‘平均地’分给3位来做客的小朋友，每位小朋友能分到几颗？”学生利用手中学具（小圆片代表糖果）进行操作，并分享过程与结果。学生通常会自然地采用“一个一个分”或“三个三个分”的方法，最终得出每位小朋友分得11颗。教师引导学生用除法算式“33÷3=11”记录，并复述其意义：把33平均分成3份，每份是11。

    设计意图：此环节旨在复习巩固“等分除”模型及算式意义，为新课学习搭建稳固的“脚手架”。同时，将总数设定为33，与课题关键数字呼应，自然导入。

    师生活动：紧接着，教师变换情境，提出挑战：“智慧老人还有一个漂亮的珠串，上面一共有33颗珠子。他想重新设计，每3颗珠子穿成一个小图案。请问，这33颗珠子，最多可以穿出几个这样的小图案？”此时，教师不急于让学生操作，而是先提问：“这个问题和我们刚才分糖果的问题，一样吗？哪里不一样？”引导学生初步感知：分糖果是知道要分给3个人（份数已知），求每人得多少（每份数）；而穿珠子是知道每3颗一份（每份数已知），求能穿成几份（份数）。教师板书关键词：“已知总数、份数，求每份数”与“已知总数、每份数，求份数”。

    设计意图：通过情境对比，制造认知冲突。学生能模糊感觉到“不一样”，但难以精准表述。这激发了学生进一步探究的欲望，明确了本课的核心问题：这种“不一样”的分法，该怎么分？结果表示什么？能用除法吗？

  第二阶段：操作探究，意义建构——“包含除”模型的具身体验（预计时长：15分钟）

    师生活动：教师放手让学生独立或同桌合作，用手中的33个圆片代表珠子，通过“摆一摆”或“圈一圈”的方式来探究“能穿成几个小图案”。教师巡视，捕捉典型方法。预计学生会出现以下方法：1.三个三个地取出，摆成一组，直到取完；2.每数出3个就用笔圈在一起；3.从33里连续减去3。请不同方法的学生上台展示并阐述自己的思考过程。关键提问：“你是几个几个分的？”“你分了几次？”“最后分得的结果‘11’表示什么？”引导学生明确说出：“11表示有11个这样的小图案”，即“11份”。

    设计意图：充分的动手操作是意义建构的基础。让学生亲身经历“每3个一份”的分物过程，直观感知“份数”是如何产生的。展示不同方法，尊重学生思维多样性，同时凸显“每份数相同”这一“平均分”的本质。

    师生活动：操作后，教师引导学生尝试用算式记录这个过程。联系“等分除”算式，学生可能迁移写出“33÷3=11”。教师予以肯定，并重点组织讨论：“这个算式和刚才分糖果的算式长得一模一样。那么，这个算式在这里表示什么意思呢？”鼓励学生用自己的语言表达：“有33颗珠子，每3颗穿成一个图案，可以穿成11个图案。”教师板书此含义，并与分糖果的算式含义并列呈现。随后，教学除法算式的规范读法：“33除以3等于11”，并让学生齐读、个别读，强调“除以”的读音。介绍算式各部分的名称：33是被除数，3是除数，11是商。

    设计意图：此环节是符号化建模的关键。引导学生将具体操作、语言描述与抽象算式建立对应关系，理解同一算式在不同情境下的不同含义，破除对除法算式的单一、僵化理解。规范读法和名称是数学语言精确性的要求。

  第三阶段：对比辨析，深化本质——打通两种除法模型的关联（预计时长：10分钟）

    师生活动：教师将两个情境、两种分法、两个算式及其含义集中呈现在黑板或课件上，组织学生进行小组讨论：“仔细观察，这两个问题有什么相同点和不同点？”引导学生从以下维度进行对比分析：1.已知条件与所求问题；2.分的方法（一个是确定份数怎么分，一个是确定每份数怎么分）；3.算式形式；4.商的意义。通过集体梳理，形成清晰的认知结构图。教师总结并升华：“虽然分的过程和想法不太一样，但都是把总数进行‘平均分’，所以都可以用除法算式来表示。除法，就是解决有关‘平均分’问题的运算。”

    设计意图：对比辨析是促进深度理解的核心策略。通过系统化的比较，帮助学生厘清两种除法模型的区别与内在联系，从更高层次上把握除法的本质是“平均分”，实现认知的整合与结构化。这有效突破了本课的难点。

    师生活动：进行快速反应小练习。教师口述情境，学生用手势判断是“等分除”还是“包含除”，并说出算式和商的意义。例如：“15个苹果，平均分给5个盘子里，每个盘子几个？（等分）”“10根跳绳，每2根分给一组，可以分给几组？（包含）”

    设计意图：即时性巩固练习，检验学生对两种模型的辨别能力，强化在具体语境中理解商的意义，促进知识内化。

  第四阶段：迁移应用，拓展延伸——在复杂情境中发展问题解决能力（预计时长：12分钟）

    师生活动：教师出示分层学习任务单，学生独立或小组合作完成。任务一（基础巩固）：看图写算式并说含义。提供“等分”与“包含”的直观图示（如12个三角形，每4个一圈；18颗星平均分成3堆）。任务二（情境应用）：解决文字应用题。如“妈妈买了24瓶酸奶，每个小朋友分4瓶，可以分给几个小朋友？”“一共有28块巧克力，平均装在7个盒子里，每个盒子装几块？”要求学生圈画出关键信息，写出算式，并完整表述。任务三（开放探究）：联系生活，自编一个用“33÷3=11”解决的实际问题，并说明它是“等分”还是“包含”。鼓励学生分享富有创意的生活情境。

    设计意图：设计有梯度的练习，满足不同层次学生的学习需求。从直观到抽象，从模仿到创造，逐步提升学生应用数学模型解决实际问题的能力。自编题目是最高层次的思维活动，能深度检验学生对除法意义的理解及数学建模能力。

    师生活动：教师选取有代表性的学生作品进行展示和点评，尤其关注对情境与模型匹配度的分析，以及数学表达的完整性和准确性。

    设计意图：通过展示与互评，提供反思和学习的样本，培养学生批判性思维和数学交流能力。

  第五阶段：反思总结，评价提升——构建完整的认知闭环（预计时长：5分钟）

    师生活动：教师引导学生回顾全课：“今天我们对除法有了哪些新的认识？”学生可能会从知识（学会了包含除、算式的不同含义）、方法（动手操作、对比发现）、感受等方面进行分享。教师在此基础上进行总结升华，强调除法是解决平均分问题的有力工具，并可以根据情境灵活理解其含义。最后，布置一个简单的实践性作业：“回家后，找一找生活中哪些地方用到了‘包含除’的例子，说给家长听。”

    设计意图：引导学生自主梳理学习收获，将零散的知识点系统化、结构化，形成稳定的认知图式。实践作业将数学学习延伸至课外，强化数学与生活的联系，体现学以致用的理念。

  八、学习评价设计（贯穿全程的多元评价）

  本课采用“嵌入式”过程性评价与结果性评价相结合的方式。1.观察评价：在操作探究环节，教师巡视观察学生的参与度、操作方法的合理性及合作交流情况，给予即时口头反馈。2.表现性评价：通过学生在展示分享、对比辨析、回答问题时的语言表达，评价其对概念理解的深度和思维的逻辑性。3.作品分析评价：通过对学习任务单的完成情况，特别是自编应用题的质量，评价学生知识应用与迁移创新的水平。4.自我反思评价：在课堂总结环节，通过学生的自我陈述，评价其元认知发展水平。评价标准不仅关注答案的正确性，更关注思考过程、方法运用以及学习态度。

  九、差异化教学支持策略

  对于学习基础较为薄弱的学生：在操作探究阶段，提供“先模仿再创造”的支持，如教师先示范一次“三个一圈”的过程；在练习阶段，优先完成基础性任务，教师或同伴提供个别辅导；允许其使用学具辅助思考。对于学有余力的学生：鼓励其在操作中探索更多方法（如用减法或乘法逆思考）；在应用阶段挑战开放性探究任务；邀请其担任“小老师”，帮助同伴理解；引导其思考“如果不是正好分完（有余数）怎么办？”，为后续学习埋下伏笔。

  十、板书设计（思维可视化的载体）

  板书计划采用结构式与对比式相结合的方式，左侧呈现“等分除”情境、过程、算式及含义，右侧呈现“包含除”情境、过程、算式及含义，中间用大括号连接，并醒目书写核心结论：“平均分——除法”。各部分的名称（被除数、除数、商）标注在算式下方。板书力求简洁、清晰、逻辑性强，成为学生知识建构的“思维地图”。

  十一、课后反思与教学重构前瞻（预设性反思）

  本设计力图体现学生主体与教师主导的和谐统一。预期的成功之处在于：通过精心设计的对比情境和结构化活动，学生能有效突破认知难点，深刻理解除法意义。可能遇到的挑战是：在有限课堂时间内，部分学生从操作感知到抽象理解的转化可能不够充分；在开放编题环节，学生的情境创设可能偏离“平均分”本质。对此的应对策略是：在巡视中加强个别指导，利用展示环节强化正确范例；对编题中出现的问题，将其作为宝贵的生成性资源，引导学生共同辨析，深化对概念内涵的理解。未来教学重构时，可考虑引入简单的数字化工具（如互动白板的分物动画），让学生在动态演示中更直观地观察两种分法的过程；亦可尝试设计更长的项目式学习单元，将除法学习融入一个完整的“班级活动筹备”情境中，实现跨学科的综合应用。

  十二、跨学科视野与生活联结拓展

  除法模型的应用远不止于数学课本。本课的学习可以与以下领域建立联结：1.科学与劳动：在种植活动中，计算一定数量的种子，按固定的行距或株距播种，可以种几行或几穴（包含除）；将收获的果实平均分配给小组成员（等分除）。2.艺术与设计：图案的重复排列，如用固定数量的某种图形元素，设计一个重复的纹样，计算可以重复几次。3.体育活动：分组游戏时，根据总人数和每组规定人数计算组数。这些联结点可以在课后拓展或项目学习中进一步深化，让学生真切体会到数学是理解世界、改造世界的通用语言和工具。

  十三、教学资源附录（学习任务单示例节选）

  （以下为学习任务单部分内容示意，非完整版）

  探究活动一：穿珠链。一共有33颗珠子，每3颗穿成一个图案。圈一圈，画一画，看看能穿成几个图案？我的方法是：（）。能穿成（）个图案。用算式记录：（）÷（）=（）。这个算式的意思是：（）。

  对比发现：和之前“分糖果”问题比一比，完成下表。

  （此处预留对比表格，引导学生从已知条件、分法、结果意义等方面填写）

  应用挑战营：1.看图写算式说含义。（附图略）2.解决问题。（题目略）3.我是创意小能手：生活中有很多地方可以用“33÷3=11”来解决。请你创编一个数学故事。我的故事是：（）。它属于（等分除/包含除）。

  十四、关键问题串预设（驱动思维发展）

  1.这两个问题都是分33个东西，到底有什么不一样？（导向模型差异感知）

  2.你是怎么分出这11份的？一个一个分，还有更快的方法吗？（导向操作策略优化）

  3.算式都是33÷3=11，这个“11”在分糖果和穿珠子里意思一样吗？（导向商的意义辨析）

  4.为什么两个不一样的问题，却能用同一个算式？（导向除法本质的抽象）

  5.你能创造一个情况，也用这个算式，但“11”表示的是每份的数吗？（导向逆向思维与灵活应用）

  十五、可能的生成与应对策略

  生成1：学生在分珠子时，可能先数出3个放一边，再数3个……但数乱或忘记数了几份。应对：肯定其按“每份数”分的思路，建议用画圈或做标记的方法帮助计数，渗透有序思考的习惯。

  生成2：在对比时，有学生认为“分糖果是除法，穿珠子像是在用乘法口诀找3乘几等于33”。应对：这是一个极有价值的观点！应大力表扬，并借此明确：除法确实是乘法的逆运算，用乘法口诀可以帮助我们求商，这更体现了乘除法之间的紧密联系。

  生成3：自编应用题时，出现“33块钱，买了3块钱的铅笔，能买几支？”等正确情境，也可能出现“33个人，走了3个人，还剩几个人？”（减法）这类错误。应对：对正确情境给予肯定；将错误情境作为辨析焦点，引导全班讨论：“这仍然是‘平均分’吗？结果是每份一样多吗？”从而强化除法概念的核心特征。

  十六、家校协同建议

  建议通过班级沟通平台，向家长简要介绍本课学习的目标和核心概念（“包含除”）。建议家长在日常生活中，有意识地创造机会让孩子运用“包含除”思维，例如：整理餐具时“每4个碗叠一摞，这些碗可以叠几摞？”；购物时“如果每袋水果装5个，我们需要买几袋才够30个？”；整理书籍时“每层书架放8本书，这些书可以放满几层？”鼓励孩子用数学语言描述过程，并给予积极反馈。

  十七、技术融合可能性探讨

  在条件允许的情况下，可以引入以下技术手段增强学习效果