2025-2026学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市黄浦区卢湾高级中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．已知复数，则．2．已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为3．已知向量，若，则．4．点为直线上任意一个动点，则到点的距离的最小值为．5．在中，若，，，则．6．直线与直线夹角的大小为．7．已知向量，，向量在向量方向上的数量投影为．8．已知平面上两点，，为直线上一点，且，则点的坐标为．9．关于的方程，，的解集为．10．已知复数满足，，则的最小值是．11．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是．12．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则．（精确到0.1度）二、选择题13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A． B． C． D．14．直线和直线互相平行，则的值为（）A．或3 B．或1 C． D．15．若，是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是（）A．和 B．和 C．和 D．和16．两个周期函数，的最小正周期分别为，，且，其中，．如果函数的最小正周期为，判断下列情形可能出现的是（）①；②；③；④；⑤．A．②③ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤．三、解答题17．已知，且．（1）求的值；（2）若，求的值．18．已知，为虚数单位，复数．（1）当复数为纯虚数时，求的值；（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．19．如图，在路边安装路灯，路宽，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到，其中20．已知，．（1）若，求函数在上的值域；（2）若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．21．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．

参考答案一、填空题1．．2．．4．3．5．．6．．7．．8．．9．．10．．11．，．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）；（2）因为，所以，又，所以，，所以．18．解：（1）因为为纯虚数，所以，解得．（2）时，．因为是方程的一个根，所以代入得：，则，解得，．19．解：如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为，的中点的坐标为．因为，所以直线的倾斜角为，由，得点的坐标为，即．又因为，所以，所以直线的方程为．又直线过点，所以，解得．故灯柱高约为．故答案为：．20．解：（1），当时，，令，由，得，故，所以，即函数在上的值域为．（2）令，则，即，设，当时，，则或，前3个解依次是：，已知函数在上恰有2个零点，则，解得，故实数的取值范围是．21．解：（1）在仿射坐标系中，，又，则，所以，则．（2）由题意，，，则，，又与的夹角为，由，得到，解得．（3）设，，其中，，则，因为，又