2025-2026学年上海市宝山区罗店中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区罗店中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．椭圆的长轴长为．2．已知球的表面积为，则该球的体积为．3．直线的倾斜角的大小是．（用反三角表示）4．已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则．5．正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的表面积为．6．直三棱柱中，若，，，则．7．经过点且与圆相切的直线方程为．8．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为．9．若空间向量共面，则实数．10．已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点的坐标为，，且为钝角，则的取值范围是．11．已知、分别是圆与圆上的点，是坐标原点，则的最小值为．12．在三棱锥中，已知，，，则．二、单选题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）13．下列条件中，能够确定一个平面的是（）A．两个点 B．三个点 C．一条直线和一个点 D．两条相交直线14．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为、、，则（）A． B． C． D．15．已知点是椭圆上的动点，则点到直线的距离最小值为（）A． B．5 C． D．16．给出下列命题，其中真命题的个数是（）（a）若四棱锥底面是正方形，四个侧面都是等腰三角形，则该四棱锥是正四棱锥．（b）若三棱锥的顶点到、、的距离相等，则点在平面上的投影是三角形的外心．（c）若且，则、、、四点共面．（d）直线与平面所成角为，平面经过直线，设与所成的锐二面角大小为，则A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知△三边所在直线方程为，，．（1）求边上的高所在的直线方程；（2）求直线与直线的夹角．18．已知空间三点，2，，，1，，，，．（1）若，且，求点的坐标；（2）求以为邻边的平行四边形的面积．19．圆．（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）求证：不论为何值，圆必过两定点．20．（18分）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：（1）与所成角的大小；（2）二面角的大小；（3）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由．21．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、．（1）求△的周长；（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上，若，求点的横坐标；（3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴对称点，直线与轴交于点求△面积的最大值．

参考答案一、填空题1．．2．．3．．4．．5．．6．．7．或．8．．9．5．10．，．11．．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）由，所以；又因为，所以边上的高所在直线的斜率，所以边上的高所在的直线方程为，即；（2）因为，，设直线与直线的夹角为，所以，所以直线与直线的夹角为．18．解：（1）因为，所以设，又，，，所以，又，解得，所以或，又点，2，，设点，，，所以，或解得，或所以点的坐标为，，或，6，；（2）因为，，所以，又，所以，故，为邻边的平行四边形的面积．19．解：（1）圆，即，其中恒成立，圆心为，半径为，因为圆与轴相切，所以，解得或，所以圆的方程为或．（2）证明：圆的方程即：，联立方程组：可得或，则圆恒过定点和．20．解：设正方体棱长为1，以分别为，，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．，0，，，0，，，1，，，，，，0，，，1，，，1，，（1），，设与所成角为，，所以与所成角的大小是；（2）平面的一个法向量为，0，，设平面的一个法向量为，，，由，则有，得，令，则，设的夹角为，，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角大小为；（3）设，，，，，则，平面的一个法向量为，设与平面所成角为，，，所以当时，与平面所成角的正弦值为．21．解：（1）由题意可得，则△的周长，（2）设，，，，，，直线的方程为，设的坐标为，，，，，，，，，，即，代入到，整