2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线与平面所成角的范围是．2．不重合的两个平面最多有条公共直线．3．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为．4．正方体中，异面直线与所成角的大小为．5．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为．6．在三棱锥中，若，则点在底面的投影是△的．7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为．8．已知的面积为，用斜二测法画出其水平放置的直观图△如图所示，若，则的长为．9．如图，矩形中，为的中点，，，连接，，若△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为．10．交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证工程人员及道路使用者的人身安全等．某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将该交通锥筒放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕锥顶点滚动，当这个交通锥筒首次转回到原位置时，交通锥筒本身恰好滚动了3周．若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地面近似看成平面，测得该圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为（交通锥筒的厚度忽略不计）．11．如图，的二面角的棱上有两点，，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则．12．如图，在直三棱柱中，，，，，．记，当取最小时，过点，，作三棱柱的截面，则截面面积为．二、选择题13．如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线14．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（）A．若，，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要16．已知正方体和点，有两个命题：命题甲：存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；命题乙：存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；则下列判断正确的是（）A． B． C． D．、的大小关系与点的位置有关三、解答题17．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？，结果精确到1元）18．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．19．（1）请用文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理，同时用符号语言叙述该定理；（2）如图所示，在三棱锥中，面，．该三棱锥中的面中有哪些面是互相垂直的（只写结果，不要求证明）．20．四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．（1）证明：平面；（2）设，，求到平面的距离．21．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，△是等边三角形．（1）求二面角的大小（结果用反三角表示）；（2）若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大．

参考答案一、填空题1．，．2．1．平行或相交．．5．．6．外心．7．．8．1．9．．10．．11．．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为，设圆柱，圆锥底面半径为，圆柱高为，圆锥母线为，因圆柱的底面周长为，则，则圆柱底面积为：，圆柱侧面积为：，圆锥侧面积为：，则“笼具”表面积为：，该材料的造价为每平方米8元，则总造价为：元．19．解：（1）文字语言正确叙述平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号语言叙述该定理：，．（2）平面平面，平面平面，平面平面21．解：（1）由题意得平面，又，平面，所以，，四边形为菱形，故，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，已知，△是等边三角形，故，则，，设平面的一个法向量为，则，则，令，得，故，显然平面的一个法向量为，则，设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角，故，则．（2）当时，直线与平面所成的角最大．理由如下：