第1章集合综合测试(原卷版+解析)

第1章集合综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（

）A． B． C． D．2．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，13．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⫋C⫋B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．设集合，，则（）A． B．C． D．5．已知集合，，则（

）A． B．C． D．6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（

）A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥27．已知是三个集合，若，则一定有（

）A． B． C． D．8．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列选项中的两个集合相等的有（

）.A．B．C．D．10．已知，，则下列正确的是（

）A． B．C．或x>3} D．或11．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．12．对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（

）A．若A，且，则B．若A，且，则C．若A，且，则D．存在A，，使得第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，若，则实数的值为___________.14．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．15．满足{1，2，3}的所有集合A是___________．16．若全集S＝{2,3,4}，集合A＝{4,3}，则＝____；若全集S＝{三角形}，集合B＝{锐角三角形}，则＝______；若全集S＝{1,2,4,8},A＝，则＝_______；若全集U＝{1,3,a2＋2a＋1}，集合A＝{1,3}，＝{4}，则a＝_______；已知U是全集，集合A＝{0,2,4}，＝{－1,1}，＝{－1,0,2}，则B＝_____.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知集合，集合．(1)求；(2)求.18．（12分）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.19．（12分）设集合，，且．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数．20．（12分）已知集合．(1)若，求实数m的取值范围；(2)当集合A变为时，求A的非空真子集的个数；(3)若，求实数m的取值范围．21．（12分）设集合，.(1)若，试求；(2)若，求实数的取值范围．22．（12分）已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S(x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.

第1章集合综合测试一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}中只有一个元素，则a＝()A．4 B．2C．0 D．0或4【答案】A【解析】由题意知ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.2．(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N＝()A． B．C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}【答案】B【解析】集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，则M∩N＝.故选B.3．(2021·新高考全国卷Ⅱ)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝()A．{3} B．{1，6}C．{5，6} D．{1，3}【答案】B【解析】因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以∁UB＝{1，5，6}，故A∩∁UB＝{1，6}．故选B.4．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，故．故选D．5．(2021·天津高考)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝()A．{0} B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4}【答案】C【解析】因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}．故选C.6．设集合A＝{x|(x－a)2≤1}，B＝{x|1<x<4}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．{a|0≤a≤5} B．{a|a≤0或a≥5}C．{a|a<0或a>5} D．{a|a≤2或a≥3}【答案】B【解析】由(x－a)2≤1⇔－1≤x－a≤1，解得a－1≤x≤a＋1，因为A∩B＝∅，所以a＋1≤1或a－1≥4，解得a≤0或a≥5，即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥5}．故选B.7．定义集合运算：A★B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}．设集合A＝{1，eq\r(2)}，B＝{－1，0}，则集合A★B的元素之和为()A．2 B．1C．3 D．4【答案】C【解析】当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1))时，z＝0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝－1))时，z＝1；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝0))时，z＝2.∴A★B＝{0，1，2}，A★B所有元素之和为0＋1＋2＝3.故选C.8．已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，2，4，6，7}，若集合A＝{3，5}，则下列阴影部分可以表示集合A的是()【答案】B【解析】M∩N＝{1，2，4}，是两个集合的公共部分，∁M(M∩N)＝{3，5}，在集合M中去掉M∩N的部分．故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．已知集合A＝{x|x＝3a＋2b，a，b∈Z}，B＝{x|x＝2a－3b，a，b∈Z}，则()A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．A∩B＝∅【答案】ABC【解析】若x∈A，则存在a，b∈Z，使得x＝3a＋2b＝2b－3(－a)∈B；同样，若x∈B，则存在a，b∈Z，使得x＝2a－3b＝3(－b)＋2a∈A，所以A＝B，从而选项A、B、C正确．D不正确．10．设集合A＝{x|x2－7x＋12＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为()A.eq\f(1,4) B．0C．3 D．eq\f(1,3)【答案】ABD【解析】A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}．∵A∩B＝B，∴B⊆A.当B＝∅时，即a＝0时，满足B⊆A；当B≠∅，即a≠0时，B＝{x|ax－1＝0}＝.由于B⊆A，则eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝4，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,4).故选A、B、D.11．若集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|x≤3}，则集合{x|x≤－3或x≥1}＝()A．M∩N B．∁RMC．∁R(M∩N) D．∁R(M∪N)【答案】BC【解析】因为集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|x≤3}，所以M∩N＝{x|－3＜x＜1}，M∪N＝{x|x≤3}，∁RM＝{x|x≤－3或x≥1},所以∁R(M∩N)＝{x|x≤－3或x≥1}，∁R(M∪N)＝{x|x＞3}．故选B、C.12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法，其中正确的是()A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集【答案】AD【解析】数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，eq\f(m,m)＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，eq\f(1,2)∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{eq\r(2)}，则1∈M，eq\r(2)∈M，但1＋eq\r(2)∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．故选A、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，5}，∁UB＝{4，5，6}，则A∩B＝________．【答案】{1，2}【解析】因为∁UB＝{4，5，6}，所以B＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2，5}∩{1，2，3}＝{1，2}．14．设集合A＝{x|－5＜x＜5}，集合B＝{x|－7＜x＜a}，集合C＝{x|b＜x＜2}，且A∩B＝C，则实数a＋b＝________.【答案】－3【解析】∵集合A＝{x|－5＜x＜5}，集合B＝{x|－7＜x＜a}，集合C＝{x|b＜x＜2}，且A∩B＝C，∴A∩B＝{x|－5＜x＜a}，∴b＝－5，a＝2，∴a＋b＝－3.15．已知A＝{x|x<－2，或x>3}，B＝{x|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为__________________．【答案】{a|a<1，或a>3}【解析】∵B⊆A，∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．①当B≠∅时，∵B⊆A，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>3，,a≤2a－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2，,a≤2a－1))成立，解得a>3；②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1，或a>3}．16．设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，设集合B＝{2，4，6，8}，请你写出一个集合A，使得A－B＝{5}，则集合A＝________．【答案】{5}(答案不唯一)【解析】由题意，知5∈A，且A中不再含∁UB中的其他任何元素，而是否再含B中的元素则不影响等式A－B＝{5}，因此A＝{5}符合题意．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.【解析】∵U＝R，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，∴∁UA＝{x|x≥3，或x≤－2}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≥3，或x≤－2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥3，或x≤－2}∩{x|－3<x≤3}＝{x|－3<x≤－2，或x＝3}．18．(本小题满分12分)在①B＝{x|x<－2，或x>1}；②B＝{x|x≤－eq\f(\r(2),2)，或x≥eq\f(\r(2),2)}这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知全集U＝R，A＝{x|2x－1<0}，且_________，求(∁UA)∩B.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】因为A＝{x|2x－1<0}＝，所以∁UA＝，若选择①，B＝{x|x<－2，或x>1}，所以(∁UA)∩B＝{x|x>1}．若选择②，由B＝{x|x≤－eq\f(\r(2),2)，或x≥eq\f(\r(2),2)}，所以(∁UA)∩B＝.19．(本小题满分12分)如果A⊆M＝{x|x2－px＋15＝0，x∈R}，B⊆N＝{x|x2－ax－b＝0，x∈R}，又A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，那么p，a，b应满足什么条件？【解析】∵A∩B＝{3}，∴3∈A.又∵A⊆M，∴3∈M，∴32－3p＋15＝0，即p＝8，∴M＝{3，5}．又∵A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，且B⊆N＝{x|x2－ax－b＝0，x∈R}，∴B中至多有两个元素，而A⊆M＝{3，5}，∴B＝{2，3}，A＝{3，5}，而B⊆N＝{x|x2－ax－b＝0}，∴关于x的方程x2－ax－b＝0有两根2和3.由根与系数的关系可知，a＝5，b＝－6.故p，a，b应满足的条件为p＝8，a＝5，b＝－6.20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－6，或x>1}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．【解析】(1)因为A∩B＝∅，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－6，,a＋3≤1，))解得－6≤a≤－2，所以a的取值范围是[－6，－2].(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a＋3<－6或a>1，解得a<－9或a>1，所以a的取值范围是(－∞，－9)∪(1，＋∞).21．(本小题满分12分)向50名学生调查对A，B两件事的态度，有如下结果：赞成A的人是全体人数的eq\f(3,5)，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生比对A，B都赞成的学生数的eq\f(1,3)多1人，问：对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？【解析】赞成A的人数为50×eq\f(3,5)＝30，赞成B的人数为30＋3＝33.如图，记50名学生组成的集