石大090103线性代数（理）期末复习题

《线性代数（理）》课程综合复习资料

一、单选题

2%+x2=0

1.齐次方程组<2/+占=0有非零解的充分必要条件为（）。

X+AX3=0

A.A=—1

B.2^-1

C.2=0

D.丸工0

答案：A

2.矩阵0222的秩为（）。

、0000,

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

3.假设7,%满足线性方程组以二〃，Sw。），则下列说法正确的是（）。

A.7+4仍然满足Ar=b

B.7+%满足­=0

C.%-%满足Av=〃

D.%满足/U=0

答案:D

’1000、

4.设A=220°,则下列说法正确的是（）。

333（）

、4444,

A.A为可逆矩阵

B.A为不可逆矩阵

C.A为正交矩阵

D.A为对称矩阵

答案：A

5.设A为〃阶可逆方阵，则下列说法不正确的是（）。

A.12Al=2"同

B.|2/4|=2|A|

1

c.|A_,

冈

D.|A7|=|A|（4『表示A的转置）

答案：B

6.要使非齐次方程组（）1=1有无穷多个解,必须（）。

I。

0

A.a=2,b=3

B.a=2,b

C.2,b=3

D.〃r2,b手3

答案：A

7.设向量组％=则它的一个最大无关组为（）。

A.%

B.%，巴

C.

D.

答案：C

10iUI(n

8.非齐次方程组0iif=i的解可表示为()。

。八wJ1°>

、。0

任意的左£氏。

任意的kwR。

任意的人我。

任意的keR。

U⑼IU,

答案：B

9.设4为〃?x〃阶矩阵，则线性方程组Ar=/?有解的充分必要条件为()。下面R(A),R(A力)

分别表示矩阵A,增广矩阵(A6)的秩。

A.R(A)=m

B.R(A)=〃

C.R(A,b)=m

D.R(A,b)=R(A)

答案:D

10.设4是〃阶可逆矩阵，4是伴随矩阵，则下列等式成立的是()。

A.|A|=|A*

C.|A|”=W|

D.[A[=|A*

答案：B

15.若A为〃阶方阵.日=（）,则下列说法正确的是（，

A.A必有一列（或一行）元素全为零

B.A必有两列（或两行）元素对应成比例

C.A的任一列向量都可由其余列向量线性表示

D.A中必有一个列向量可由其余列向量线性表示

答案:D

二、填空题

答案：6a

Cla

\\\i《3

2.行列式%生。23中元素%的代数余子式为（）。

答案：”22033—“32023

kX[+x2+x3=0

3.若齐次方程组，内+々+&=0有非零解，则攵=（）。

%1+2X2+x3=0

答案：k二l

aaa

4.设矩阵人=bbb则矩阵的主对角线上的元素之和为（）。

答案：3（/+6+。2）

m⑶

5.若向量£=2与尸=k正交（即二者内积为零），则攵=（）。

<2；L

答案：8

o

^

o

1

b，

贝l

1

4

G

1

4

q

.

。~

：一2

答案

U0

01

程组

次方

8.齐

（）。

示为

可表

解）

所有

解（即

的通

、（）0

左£上

意的

）二任

，一山

：火（1

答案

23、

（）。

尤为

征值

的特

对应

与J

，则

向量

特征

一个

3的

2i

矩阵

1是

“

9.若

(3

⑵

,

36

9

：2=

答案

2

-

12

()。

4=

0,则

-1=

1

2

10.若

2

3-4

=4

：4

答案

4+a

4a

3/

2a2

2

2

()o

3b3=

2b2

)+b

则/?

b

b、

11.若

2

2

c

3c3

2c2

q+c?

2

q

：6a

答案

为夕二

达式

的表

表示

线性

()o

bc

a

=

cib

13.c

ca

b

3

3

3

abc

c-3

b+

：a+

答案

iA

(\

)o

=(

为A"

矩阵

的逆

A=

阶方阵

14.2

3

(2

3-V

答案:

一21；

15.设3阶方阵A的3个特征值为-3,2,5,则网=（）。

答案：-30

三、计算题

r200、

1设.A=03-1,求A的特征值及与特征值对应的特征向量。

I。

-1

2-200

答案：以£一4|=02-31=(2-2)2(2-4)

012-3

所以，特征值为4=2,2,4

「000

4=2时，（花-心=0-110,其解即对应的特征向量为

<01-1

,,k2eR且二。

,200王0、

4=4时，(/IE—A)x=01I工20,其解即对应的特征向量为

(()1⑼

0

1任意的keR且攵工0

-1

T20、

2.已知矩阵A210

<00a

（1）求A的特征值;

（2）求与最小特征值对应的全部特征向量。

A—1—20

答案：|4£一山二-2A-l0=(2-6)(2-3)(2+1)

002-6

所以，（1）A的特征值为-1,3,6

(2)最小特征值为a=-1,其对应的特征向量满足方程组

-20不

-2-20X-)—0»

0-7X3>

'1、

整理,

得刍=0,+x2=0,因此，其一组基础解系为-1

1

要求的全部特征向量为々-1&€R,且4H0

0,对任意的

-xx+4X2+x3=3

3.己知方程组7+3々+与=6,讨论:

3玉+2X2+axy=b

(1)4/在什么情况下方程组无解？

(2)a,b在什么情况下方程组有唯一解?

(3)4/在什么情况下方程组有无穷多解？

答案:对增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯型

J413、<-1413、'-1413

G-2与

1316-0729T0729

,32ab.<0144+3"9,、00a-\b-9

由此得

(1)〃=1,〃金9时方程组无解：

(2)时方程组有唯一解；

(3)1=1,人=9时方程组有无穷多解。

’201、

4.已知矩阵4=040

J02,

(1)求4的特征值；

(2)求与最小特征值对应的全部特征向量。

A-20-1

答案：|4E-A|=0A-40=U-1)(2-3)(2-4)

-102-2

所以，(1)A的特征值为1,3,4

（2）最小特征值为2=1,其对应的特征向量满足方程组

1

整理，得工2=0，X]+x3=0,因此，其一组基础解系为0

要求的全部特征向量为攵0,任意的攵eR

‘I-1I）

5.求矩阵4=11-1的逆矩阵

I—L

答案：用初等行变换方法

1-11100、

010

001,

(11)

100--0

1-1110022

00、1

1111

1001-1---0—>()10()--