双曲线性质应用技术参考试题

双曲线性质应用参考试题

一.双曲线的定义

1.已知两定点Fi（5,0）,F2（-5,0）,曲线上的点P到Fi、F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为（）

A.B.C.D.

2.AB是某平面上一定线段且|AB|=3,点P是该平面内的一动点，满足，则点P的轨迹是（）

A.圆B,双曲线的一支C.椭圆的一部分D.抛物线

3.双曲线上的点P到点（5,0）的距离是6,则点P的坐标是（）

A.（8,±3）B.（8,-）C.（8,）D.（8,±）

二双曲线的方程

4.（2011•安徽）双曲线2x2-y2=8的实轴长是（）

A.2B.C.4D.

5.（2002•北京）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）

A.x=±B.y=C.x=D.y=

6.若k£R,则“k$-5〃是“方程表示双曲线〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.中心在原点，且过（0,3）的等轴双曲线方程为（）

A.x2-y2=9B.y2-x2=9C.x2-y2=±9D.y2-x2=18

8.关于x,y的方程Ax2+Cy2+F=O的图形是双曲线的充要条件是（）

A.AC>0B.AC<0C.AC<0,AF>0D.AC<0,FHO

9.已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是（）

A.B.C.D.

10.若双曲线的焦点为（0,4）和（0,-4）,虚轴长为，则双曲线的方程为（）

A.B.C.D.

11.若方程Wsina-y%osa=l（0<a<2n）表示等轴双曲线，则角a的值为（）

A.或B.或C.或D.或

12.方程所表示的曲线是（）

A.焦点在x釉上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线

13.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）

A.x2-y2=2B.y2-

C.x2-y2=4或y2-x2=4D.x2-yJ2或y?・x2=2

14.方程表示双曲线，则k的取值范围是（）

A.-l<k<lB.k>0C.kNOD.k>l或kV・l

15.方程x=所表示的曲线是（）

A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分

三双曲线的主要性质应用

16.（2。12•湖南）已知双曲线C：・=1的焦距为10,点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（）

A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1

17.（2012•福建）已知双曲线-=1的右焦点为（3,0）,则该双曲线的离心率等于（）

A.B.C.D.

18.（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为（）

A.4B.3C.2D.1

19.（2010•福建）若点O和点F（-2,0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的

取值范围为（）

A.B.C.D.

20.（2。05•安徽）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

21.设集合P={(x,y)|},Q={(x,y)|x-2y+l=0),记A=PcQ,则集合A中元素的个数有()

A.3个B.1个C.2个D.4个

22.“双曲线C的方程为（a>0,b>0）〃是“双曲线C的渐近线方程为y=〃的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

23.双曲线=1和椭圆=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a,b,m为边长的三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

24.已知点臼、F2分别是双曲线的左、右焦点，过Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若4ABF2为

锐角三角形，则该双曲线的离心率c的取值范围是（）

A.（1,+8）B.C.（1,2）D.

25.点P为双曲线Ci：和圆C2：x?+y2=a?+b2的一个交点，且2/PFIF2=/PF2F1,其中Fi,F2为双曲线Ci的两个

焦点，则双曲线Ci的离心率为（）

A.B.C.D.2

26.双曲线（a8，b>l）的离心率为2,则的最小值为（）

A.B.C.2D.

27.双曲线，（n>1）的两焦点为Fi.、F2,P在双曲线上，且满足|PFI|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为（）

A.B.IC.2D.4

28.已知定点A、B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是.

29.（2008•上海）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0、设Fi、F2分别为双曲线的

左、右焦点、若|PF2|=3,则|PFI|二

30.P是双曲线-=1（a>0,b>0）石支上一点，Fi、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆

心的横坐标为.

双曲线性质应用参考试题

参考答案与试题解析

1.已知两定点Fi(5,0),F2(-5,0),曲线上的点P到Fi、F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为()

A.B.C,D.

考点：双曲线的定义.

专题：计算题.

分析：利用双曲线的定义判断出动点的轨迹；利用双曲线中三参数的关系求出b,写出双曲线的方程.

解答：解：据双曲线的定义知，

P的轨迹是以Fi(5,0),F2(-5,0)为焦点，以实轴长为6的双曲线.

所以c=5,a=3

b2=c2-a2=16,

所以双曲线的方程为：

故选A.

点评：本题考查双曲线的定义：要注意定义中“差的绝对值〃且“差的绝对值”要小于两定点间的距离.注意双曲线中

三参数的关系.

2.AB是某平面上一定线段且|AB|=3,点P是该平面内的一动点，满足，则点P的轨迹是()

A.圆B,双曲线的一支C.椭圆的一部分D.抛物线

考点：双曲线的定义.

专题：阅读型.

分析：根据双曲线的定义(与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，差的绝对值小于两定点间

的距离)，又由于，2V3,故只有一支.

解答：解；•••，且2V3

「•根据双曲线的定义知：点P的轨迹是双曲线的一支

故选B

点评：本题考查了双曲线的定义，要注意题目中没有绝对值，故只有一支，属于基础题.

3.双曲线上的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是()

A.(8,±3)B.(8,-)C.(8,)D.(8,±)

考点：双曲线的定义.

专题：计算题.

分析：先根据双曲线的方程求得其隹点坐标，设出P的坐标，利用两点间的距离公式分别表示出|PFi|和|PF2|,利用

双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a=8求得|PFi|的值，最后联立方程求得x,代入双曲线方程艮J可求得y.

解答：解：根据双曲线方程可知c==5,

」•焦点为(5,0),(-5,0)

设p(x,y)：由两点间距离公式:|PF2|==6①

|PFi|=

,/|PF1|-|PF2|=2a=8

=2a+6=14②

/.(x+5)2+y2=196(2)

②①联立可求x=8；

代入原式可求y=±3

故选A

点评：本题主要考查了双曲线的定义，两点间的距离公式.考查了基础知识的综合运用.

4.（2011•安徽）双曲线2x2・y2=8的实轴长是（）

A.2B.C.4D.

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长.

解答：解：2x2-y2=8即为

/.a2=4

a=2

故实轴长为4

故选C

点评：本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值.

5.（2002•北京）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）

A.x=+B.y=C.x=D.y=

考点：双曲线的标准方程；椭圆的标准方程.

专题：计算题.

分析：先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c,令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程

求得双曲线的渐近线方程.

解答：解：二•椭圆和双曲线由公共的焦点

3m2-5n2=2m2+3n2,整理得m2=8n2,

=2

双曲线的渐近线方程为y=±=ix

故选D

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合.考查了学生综合运用双曲线的基础的能力.

6.若kWR,则“kv-5〃是“方程表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：先求出方程表示双曲线时k的取值范围，然后根据根据若pnq与qnp的真假命题，进行判定即可.

解答：解：•.・方程表示双曲线

（k-4）（k+4）>0解得：k>4或kV-4

・.•k4-5=k>4或kV-4是真命题，反之是假命题

・•.P是q的充分非必要条件

故选A

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所

表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分"的原则，判断命题p与命题q的关系.

7.中心在原点，且过（0,3）的等轴双曲线方程为（）

A.x2-y2=9B.y2-x2=9C.x2-y2=±9D.y2-x2=18

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：设出等轴双曲线的方程，把双曲线经过的点的坐标代入方程，求出待定系数，进而得到所求的双曲线的方

程.

解答：解：设等轴双曲线方程为y2-x2=a,

把（0,3）代入方程得：a=9,

所求的等轴双曲线方程为y2-X2=9,

故选B.

点评：本题考查等轴双曲线方程的特征，应用待定系数法求方程.

8.关于x,y的方程Ax2+Cy2+F=0的图形是双曲线的充要条件是（）

A.AC>0B.AC<0C.AC<0,AF>0D.AC<0,FM

考点：双曲线的标准方程.

专题：探究型.

分析：方程可化为：，利用分母异号和可求.

解答：解：方程可化为：

ACVO,F=0时，方程Ax2+Cy2+F=0的图形是双曲线

故选D.

点评：本题以方程为载体,考查双曲线的标准方程,关键是化为标准方程的形式.

9.已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=O与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是（）

A.B.C.D.

考点：双曲线的标准方程；直线的一般式方程.

专题：规律型.

分析：方程mx-y+n=O一定表示直线，方程nx2+my2=mn,如果m,n同正，则表示椭圆，如果一正一负，则表

示双曲线，从而可得结论.

解答：解；方程mx-yin=0表示直线，与坐标轴的交点分别为（0,n）,（,0）

若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m,n同为正，V0,故A,B不满足题意；

若方程nx，my2=mn表示双曲线，则m,n异号，「.，故C符合题意，D不满足题意

故选C

点评：本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，判断曲线的类型是关键，属于基础题.

10.若双曲线的焦点为（0,4）和（0,-4）,虚轴长为，则双曲线的方程为（）

A.B.C.D.

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：根据双曲线的性质c2=a?+b2,由焦点，虚轴长是4,分别求出半焦距c和半虚轴b,即可求出半实轴a的值,

然后根据焦点在y轴上，从而求得的双曲线标准方程.

解答：解：根据题意可知2c=8,2b=4,解得c=4,b=2,根据双曲线的性质可得a?=c2-b?=4

又••・双曲线的焦点为（0,4）和（0,-4）

/.双曲线在y轴上

.1•双曲线的标准方程为

故选B

点评：此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道基础题.

11.若方程x%ina-y2cosa=l（0WaV2n）表示等轴双曲线，则角a的值为（)

A.或B.或C.或D.或

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：利用等轴双曲线的定义，可得sina=cosa,所以tana=l,结合04aV2jt,可求角a的值.

解答：解：二,方程x2sina-y2cosa=l（O«a<27t）表示等轴双曲线

sina=cosa

/.（ana=l

,/0<a<2n

「•角a的值为或

故选C.

点评：本题以双曲线为载体，考查等轴双曲线的定义，考查三角函数，属于基础题.

12.方程所表示的曲线是（）

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：利用*in。值的范围，求得24品+3与小。・2的范围,结合标准形式判断曲线的形状.

解答：解：•・.-IWsine。，

2sin0+3>O.sinO-2<0,

方程所表示的曲线是：

表示焦点在x轴上的双曲线，

故选C.

点评：本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键.

13.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）

A.x2-y2=2B.y2

C.x2-y2=4y2-x2=4D.x2-y2=2y2-x2=2

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：首先根据焦点在不同的坐标轴上分别设出双曲线的方程，然后由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为

产士X,准线方程为x=,焦点在y轴上的双曲线的方程为y=x,准线方程为y二，且均有性质c2=a?+b2,则列

出方程组分别解之即可.

解答：解：若双曲线的焦点在x轴匕设其方程为，

因为它的渐近线方程为y=±x,准线方程为x=,

所以,解得a?=b2=2,

所以焦点在x轴上的双曲线的方程为；

同理设焦点在y轴上的双曲线的方程为，

则,解得a2=b?=2,

所以焦点在y轴上的双曲线的方程为.

因此满足要求的双曲线的方程为或.

故选D.

点评：本题主要考查焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程及性质，同时考查解方程组的能力，此题要注意分

别设在x轴和y轴上的双曲线方程进行解答.属于基础题.

14.（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是（）

A.-l<k<lB.k>0C.k>0D.k>l或kV-1

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：根据双曲线的标准方程，可得只需k+1与1-k只需异号即可，则解不等式(k+1)(1-k)<0即可求解.

解答：解：由题意知(k+1)(1-k)<0,

即(k+1)(k-1)>0

解得k>l或kV-I.

故选D.

点评：本题主要考查了双曲线的定义，属基础题，解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系.

15.方程x=所表示的曲线是()

A.双曲线B,椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分

考点：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析：方程两边平方后可整理出双曲线的方程，由于x的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个双曲线

的一部分.

解答：解：x=两边平方，可变为y2-=l(xX)),

表示的曲线为双曲线的一部分：

故选C.

点评：本题主要考查了曲线与方程.解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想.

16.(2012•湖南)已知双曲线C：-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()

A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1

考点：双曲线的简单性质：双曲线的标准方程.

专题：计算题.

分析；利用双曲线C；-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上，可确定几何量之间的关系，由此可求

双曲线的标准方程.

解答：解：双曲线C：-=1的渐近线方程为

•.・双曲线C：-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上

2c=10,a=2b

*/c2=a2+b2

.—=20,b2=5

・•.C的方程为

故选A.

点评：本题考有双曲线的标准方程，考杳双曲线的几何性质，正确运用双曲线的几何性质是关键.

17.(2012•福建)已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()

A.B.C.D.

考点：双曲线的简单性质.

专题：计算题.

分析：根据双曲线-=1的右焦点为(3,0),可得a=2,进而可求双曲线的离心率.

解答：解：双曲线的右焦点为(3,0),

a2+5=9

/.a2=4

a=2

c=3

故选C.

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键.

18.（2011•湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=O,则a的值为（）

A.4B.3C.2D.1

考点：双曲线的简单性质.

专题：计算题.

分析：先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值.

解答：解：的渐近线为y=,

•「y=与3x±2y=O重合，

a=2.

故选C.

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用.

19.（2010•福建）若点O和点F（-2,0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的

取值范围为（）

A.B.C.D.

考点：双曲线的简单性质；平面向量数最积的运算.

专题：计算题.

分析：先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得，设出点P,代入双曲线方程求得yo的表达

式，根据P,F,O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围

可得.

解答：解：因为F（-2,0）是已知双曲线的左焦点，

所以a2|l=4,即a?=3,所以双曲线方程为，

设点P（xo,yo）,

则有，解得，

因为，，

所以=xo（xo+2）+=,

此二次函数对应的抛物线的对称轴为，

因为，

所以当时，取得最小值=,

故的取值范围是，

故选B.

点评：本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考

查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.

20.（2005•安徽）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

考点：双曲线的简单性质.

专题：计算题.

分析：由双曲线的一条掂线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离心率.

解答：解：由题意可知，，解得a?=3,或（舍去）.

故选D.

点评：本题考查双曲线的离心率，解题时注意审题.

21.设集合P={(x,y)|},Q={(x,y)|x-2y+l=0},记A=Pr>Q,则集合A中元素的个数有()

A.3个B.1个C.2个D.4个

考点：交集及其运算；双曲线的简单性质.

专题：计算题.

分析：求出集合p与Q表示的直线与双曲线的位置关系，即可得到集合A中元素的个数.

解答：解：由于直线x-2y+l=0与双曲线的渐近线y=x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，

故选B.

点评：本题是基础题，考查双曲线的渐近线与直线的关系，从而推出集合A的元素的个数，是解题的关键.

22.“双曲线C的方程为(a>0,b>0)”是“双曲线C的渐近线方程为y="的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断：双曲线的简单性质.

专题：综合题.

分析：判断充分与必要的条件关系，关键是看题设与条件能否互推，此题双曲线C的渐近线方程为的双曲线是不

唯一的，从而进行求解.

解答：解：,••双曲线C的方程为(a>0,b>0)”

根据双曲线C的渐近线的定义可得：y=；

・••双曲线C的方程为(a>0,b>0)n“双曲线C的渐近线方程为y=〃；

若双曲线C的渐近线方程为y==±x：

・••双曲线C的方程还可以为:，

了."双曲线C的渐近线方程为y=〃推不出双曲线C的方程为；

了.双曲线C的方程为(a>0,b>0)"是"双曲线C的渐近线方程为y="的充分不必要条件；

故选A.

点评：此题是一道基础题，主要考查充分条件和必要条件的定义，不过这类基础题也是高考中经常考的.

23.双曲线=1和椭圆=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a,b,m为边长的三角形是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

考点：三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质.

专题：计算题.

分析：求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a.b,m的关系，判断三角形的形状.

解答：解：双曲线=1和椭圆=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，所以，

所以b2m2・a2b2・b4=0即n?=a2+b2,所以以a,b,m为边长的三角形是直角三角形.

故选C.

点评：本题是中档题，考查椭圆与双曲线基本性质的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力.

24.已知点Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点，过Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若AABF?为

锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()

A.(1,+8)B.C.(1,2)D.

考点：双曲线的简单性质；双曲线的应用.

专题：计算题.

分析：由过Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知^ABC为等腰三角形，所以△ABF2为锐角三角

形只要/AF2B为锐角即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围.

解答：解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要NAF2B为锐角即可，

所以有,BP2ac>c2-a2,解出eW,

故选D.

点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘.

25.点P为双曲线C1：和圆C2：x2+）2=a2+b2的一个交点，且2/PF1F2;NPF2F1,其中Fi,F2为双曲线Ci的两个

焦点，则双曲线C1的离心率为（）

A.B.C.D.2

考点：双曲线的应用.

专题：计算题.

分析：由题意:PFI±PF2,且2ZPFIF2=ZPF2F1,故NPFIF2=30\ZPF2FI=60°.设|PF2|=m,则|PFi|=m,|FiF2|=2m.由

e=,能求出双曲线的离心率.

解答：解：由题意：PFI_LPF2,且2/PFIF2=NPF2F1,

ZPFIF2=30°,ZPF2FI=60°.

设|PF»=m,

则|PFi|二m,

|FiF2|=2m.

e==

=+l.

故选C.

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化.

26.双曲线（aNl,b>l）的离心率为2,则的最小值为（）

A.B.C.2D.

考点：双曲线的应用.

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：根据双曲线（aNl,b>l）的离心率为2,可得a,b的关系，代入化简，利用单调性，即可求得的最小值.

解答：解：,•,双曲线（ail,b>l）的离心率为2,

b2=3a2

••==

a>l

在n，+<-）上单调增

之

故选A.

点评：本题考杳双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几何性质是关键.

27.双曲线,（n>l）的两焦点为FL、F2,P在双曲线上，且满足|PFI|+|PF2|=2,则」PFIF2的面积为（