四年级奥数-巧妙求和（剖析版）

第11讲巧妙求和

教学目标&

立掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；

宗掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。

知识梳理篇

一、数列的概念

按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后

一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。

如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列

10（）、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列

二、等差数列与公差

一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列,

其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式

等差数列的总和二（首项+末项）X项数+2

项数二（末项-首项）+公差+1

末项二首项+公差x（项数-1）

首项:末项-公差X（项数-1）

公差二（末项-首项）+（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项K项数

中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等

于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.

典例分析而

考点一：等差数列的基本认识

例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6,10,14,18,22,…，98；

②1,2,1,2,3,4,5,6；

③1,2,4,8,16,32,64；

@9,8,7,6,5,4,3,2；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3；

⑥1,0,1,0,/,0,1,0：

【考点】等差数列的基本认识

【解析】①是，公差占4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，因为4-2K2-1.

④是，公差4/.

⑤是，公差d=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

例2、把比1()()大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】该数列为等差数列，首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则1014-(21-1)

x2=141

例3、已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19

项是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191

答案：191

例4、2、4、6、8、1()、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是32(),求它们

中最小的一个.

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数

的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320+5=64,因相邻偶数相差2,

故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

例5、5、8、11、14、17、20、…，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第

几项？

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第〃项=首项+公差x5-1),所以，第201

项=5+3x(201-1)=605,对于数列5,8,11,,65,一共有：-=(65-5)+3+1=21,即65是

第21项.

答案：无限多项；第201项是605;65是第21项

考点二：等差数列求和

例1、一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8x7=56.

答案：56

例2、15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：1995+15=133,所以这个数列最大的奇数即第

15个数是：133+2x(15-8)=147

答案：147

例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算

了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎

求和时漏掉的数是。

【考点】等差数列的求和

【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1,才能使结果正确，共要补上2006,因此这个漏

掉的数是2006。

例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少?

(11++45)-342=980-342=638.

例3、如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式

摆下去，当N=5时，共需要火柴棍根。

△

1W

【考点】找规律计算

【解析】找规律3,3+6,3+6+9…,25时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

答案：45

例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形

中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，笫4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第

6个图形有个小圈。

oOOO

OOoOOOOOOOOOO

OOOOOOOOOooooo

OOooooo^OOOO^ooooo

oOOOOOOQ

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【考点】找规律计算2010年，第8届，希望杯，4年级，1试

【解析】除周围4个小圆外,中间小圆的规律是1x2,2x3,3x4,

第6个图有6x7+4=46个小圆。

答案：46

实战演练

＞课堂狙击

1、在数列3、6、9……，2()1中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少?

【解析】(1)因为在这个等差数列中，首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式:

项数二(末项.首项)+公差+1,便可求出。

(2)根据公式：末项二首项+公差x(项数-1)

解：项数二(201-3)+3+1=67

末项=3+3x(201-1)=603

答:共有67个数,第201个数是603

2、全部三位数的和是多少？

【解析】所有的三位数就是从100〜999共900个数，观察100、101、102.............998、999

这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

解：(100+999)x900-2

=1099x9004-2

=494550

答：全部三位数的和是49455()。

3、求下列方阵中所有各数的和：

1、2、3、4..........49、5()；

2、3、4、5..........50、51；

3、4、5、6..........51、52：

49、50、51、52...........97、98；

50、51、52、53...........98、99。

这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行(或竖

数列之和，再求出这个方阵的和。

解每一横行数列之和：

行

第

一(1+50)x50-2=1275

行

第

二

行(2+51)*50+2-1325

第

三

(3+51)x50-2=1375

第四十九行：(49+98)x50+2=3675

第五十行：(50+99)x50+2=3725

方阵所有数之和：

1275+1325+1375+........+3675+3725

=(1275+3725)x50+2

=125000

4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈

有多少人？最内圈有多少人？

5、【解析】从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是

告诉我们这个等差数列的和是912,项数是16,公差是6。题目要求是的等差数列末项二d

x(n-l)=6x(16-1)=90(人)

解：aH+a,=Sx2-n=912x2-16=114(A)

外圈人数=（90+114）,2=102（人）

内圈人数=(114-90)+2=12(人)

答：最外圈有102人，最内圈有12人。

5、有一串数，已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003

个数是。

【解析】6+4x(2003-1)

=6+4x2002

=8014

6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个

座位，这个剧院共有多少个座位。

【解析】首项二70-(25-1)X2=22

总和=(22+70)X25^-2=1150

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，

最下面一层放本书。

【解析】100、14()

中间一层本数：600-5=120(本)

最上面一层：12-10x2=100(本)

最下面一层：120+1x2=140(本

8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不

相等？

【解析】题中要求办不到。

9、有一堆粗细均匀的圆木，凿成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根,

最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？

【解析】7+95=102（根）95-7+1=89（层）102x89+2=4539（根）

10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第

二层每边有二个点……这个六边形点阵共100层，问,这个点阵共有多少个点？

【解析】第100层有点：6+(99-1)X6

=6+98x6

=6x99

=594(个)

点阵只有点：1+(6+594)x99・2

=1+600x994-2

=29701(个)

答：这个点阵共有点29701个。

＞课堂反击

1、观察右面的五个数：19、37、55、〃、91排列的规律，推知。=

【解析】19+18=37,37+18=55,所以所55+18=73

答案：73

2、2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+(21-1)x3=62

答案：62

3、在等差数列6,13,20,27,…中，从左向右数，第个数是1994.

【考点】等差数列公式的简隼运用

【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项q的公式得〃=(a“-q)+al,列式得:

(1994-6)-7=284

284+1=285

即第285个数是1994.

4、有20个数，第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加，和是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】末项是：9+(20-0x3=66,和是：(9+66)x20-2=750

答案：750

5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,

那么，第1个数与第6个数分别是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210+7=30,所

以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.

答案：40

6、己知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个

数是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8,

偶数项的排列规律是：3、6、9、12,

可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项

数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000+2=1000个数，第2003个数在奇数项

等差数列中是第(2003+1)+2=1002个数，所以第200()个数是3+(1000-1)x3=3000,第

2003个数是2+(1002-1)x2=2004.

答案：2004

7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】平均数：248+8=31,第4个数:31-1=30。第1个数:30-6=24,末项：24+(8-1)x2=38o

即：最大的数为38。

答案：38

5

8、观察下列四个算式：Y=20,y=10,号=1，卷$。从中找出规律，写出第五个算

式：。

【考点】找规律计算，2009年，希望杯，第七届，六年级，二试

【解析】发现规律，第5个算式为/X6="-。

10

9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差(大

数减小数)，如对于差为7-5=2,所有差的总和为。

【考点】数阵中的等差数列

【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0,和为0

第二行第一个圈为1,第二个圈为0,和为1

第三行第一个圈为2,第二个圈为1,第三个圈为()和为1+2=3

第四行第一个圈为3,第二个圈为2,第三个圈为1,第四个圈为()，和为I+2+A6

所以这些差有7个1,6个2,5个3,4个4,3个5,2个6,1个7

和为7xH6x2+5x3+4x4+3x5+2x6+lx7

=7+12+15+16+15+12+7

=84

答案：84

直击赛场

1、(第3届，希望杯，4年级，1试)从I开始的奇数：1,3,5,7,其中第1()()个奇数

是O

【考点】等差数列的基本认识

【解析】199

2、(第4届，希望杯，4年级，1试)观察下列算式:

2+4=6=2X3,

2+4+6=12=3x4

2+4+6+8=20=4x5

然后计算：2+4+6+……+l()