数学知识点总结

唯荐］数学知识点总结

数学知识点总结1

一、角的定义

“静态”概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

“动态”概念：角可以看作是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位

置所形成的图形。

如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；

大于直角小于平角的角叫做钝角；大于0小于直角的角叫做锐角。

二、角的换算：1周角=2平角=4直角=360°;

1平角=2直角=180°;

1直角二90。；

1度=60分=3600秒（即:1°=60'=3600〃）;

1分=60秒（即：1'=60"）.

三、余角、补角的概念和性质：

概念：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角。

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角。

说明：互补、互余是指两个角的数量关系，没有位置关系。

性质：同角（或等角）的余角相等；

同角（或等角）的.补隹相等。

四、角的比较方法：

角的大小比较，有两种方法：

（1）度量法（利用量角器）；

（2）叠合法（利用圆规和直尺）。

五、角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线。把这个角分成相等的两部

分，这条射线叫做这个角的平分线。

常见考法

（1）考查与时钟有关的问题；（2）角的计算与度量。

误区提醒

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角的度、分、秒单位的换算是60进制，而不是10进制，换算时易受10进

制影响而出错。

初中数学知识点梳理

1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,并且含未知

数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。

2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a#0)。

3.一元一次方程解法的一般步骤：整理方程……去分母……去括号……移

项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解)。

4.列一元一次方程解应用题：

(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共,

合，为，完成，增加，减少，配套-----------"，利用这些关键字列出文字等式,

并旦据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

(2)画图分析法：多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题

意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问

题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数

看做己知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础。

11.列方程解应用题的常用公式：

(1)行程问题：距离=速度•时间；

(2)工程问题：工作量:工效•工时；

(3)比率问题：部分:全体-比率；

(4)顺逆流问题：顺流速度;静水速度+水流速度，逆流速度;静水速度一水流

速度；

(5)商品价格问题：售价:定价•折・，利润:售价一成本，；

(6)周长、面积、体积问题：C圆=2nR,S圆=nR2,C长方形=2(a+b),S

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长方形=ab,C正方形=4a,S正方形=a2,S环形;八（R2—r2）,V长方体=abc,V

正方体=a3,V圆柱=nR2h,V圆锥=JiR2h。

本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境

和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的

问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的

过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。

数学知识点总结2

中考数学知识点：分式混合运算法则

分式四则运算，顺序乘除加减,乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行

化简，因式分解在先,分子分母相约,然后再行运算;加减分母需同,分母化积关键;

找出最简公分母,通分不是很难;变号必须两处,结果要求最简.

分式混合运算法则：

分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；

乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；

加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难；

变号必须两处，结果要求最简.

中考数学二次根式的加减法知识点总结

二次根式的加减法

知识点1：同类二次根式

（I）几个二次根式化成最筒二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次

根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式都是同类二次根式。

（II）判断同类二次根寸的方法：（D首先将不是最简形式的二次根式化为最

简二次根式以后，再看被开方数是否相同。（2）几个二次根式是否是同类二次根

式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。

知识点2：合并同类二次根式的方法

合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根

式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能

合并。

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知识点3：二次根式的‘加减法则

二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合

并，合并的方法为系数相加，根式不变。

知识点4：二次根式的混合运算方法和顺序

运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运

算。运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。

知识点5：二次根式的加减法则与乘除法则的区别

乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减

法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。

中考数学知识点：直角三角形

★重点★解直角三角形

☆内容提要☆

一、三角函数

1.定义：在RtZXABC中，ZC=RtZ,则sinA=;cosA=；tgA=;ctgA三

2.特殊角的三角函数值：

0°30°45°60°90°

sina

cosa

tga/

cigu/

3.互余两角的三角函数关系：sin(90°-a)=cosa

4.三角函数值随角度变化的关系

5.查三角函数表

二、解直角三角形

1.定义：己知边和角1两个，其中必有一边)一所有未知的边和角。

2.依据：①边的关系：

②角的关系：A+B=90"

③边角关系：三角函数的定义。

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注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：

4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解

决。

数学知识点总结3

有理数加法法则

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的'绝对值减去较小的绝

对值；

3、一个数与0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律

1、加法的交换律：a+b=b+a；

2、加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b)

有理数乘法法则

1、两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

2、任何数同零相乘都得零；

3、几个数相乘，有一个因式为零，枳为零；各个因式都不为零，积的符号

由负因式的个数决定。

数学知识点总结4

一、高中数列基本公式：

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

2、等差数列的通项公式：an=al+(nT)dan=ak+(n-k)d(其中al为首项、

ak为已知的第k项)当dWO时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常

数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=

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Sn=

Sn=

当d#0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=O时（alWO）,Sn=nal

是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式：an=alqn-lan=akqn-k

（其中al为首项、ak为已知的第k项，anWO）

5^等比数列的前n顶和公式：当q=l时，Sn=nal（是关于n的正比例式）；

当q#l时,Sn=

Sn=

二、高中数学中有关等差、等比数列的结论

1、等差数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm.S3m-S2m.

S4m-S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列｛an｝中，若m+n=p+q,则

3、等比数列｛an｝中,若m+n=p+q,则

4、等比数列｛an｝的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm>S3m-S2m.

S4m-S3m>……仍为等比数列。

5、两个等差数列｛an｝与｛bn｝的和差的数列｛an+bn｝、｛an-bn｝仍为等差数列。

6、两个等比数列｛an｝与｛bn｝的枳、商、倒数组成的.数列仍为等比数列。

7、等差数列｛an｝的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列｛an｝的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：

a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3（为什么?）

数学知识点总结5

因式分解

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1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因

式分解;注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、

“十字相乘法”.

3.公因式的确定：系数的公约数?相同因式的最低次幕.

注意公式：a+b=b+a;a-b=-(b-a);(a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3.

4.因式分解的公式：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.

5.因式分解的注意事项：

(1)选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；

(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；

(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；

(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；

(5)因式分解的最后结果要求加以整理；

(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.

6.因式分解的解题技巧：(1)换位整理，加括号或去括号整理；(2)提负号；(3)

全变号；(4)换元；(5)配方；(6)把相同的式子看作整体；(7)灵活分组；(8)提取分

数系数；(9)展开部分括号或全部括号；(10)拆项或补项.

7.完全平方式：能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式

x2+px+q,有“x2+px+q是完全平方式?”.

分式

1.分式：一般地，用A、B表示两个整式，A+B就可以表示为的形式，如果

B中含有字母，式子叫做分式.

2.有理式：整式与分式;统称有理式；即.

3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之

有意义；(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式

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的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.

4.分式的基本性质与应用：

(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不

变；

(2)注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，

分式的值不变；

即

(3)繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简

单.

5.分式的‘约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分;

注意：分式约分前经常需要先因式分解.

6.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；

注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.

7.分式的乘除法法则：.

8.分式的乘方：.

9.负整指数计算法则：

(1)公式：aO=l(aWO),a-n=(aWO);

(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

(3)公式：，；

(4)公式：(-1)-2=1,(-1)-3=-1.

10.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原

来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定

最简公分母.

11.最简公分母的确定：系数的最小公倍数?相同区式的次哥.

12.同分母与异分母的分式加减法法则：.

13.含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(aW0)中，x是未知数,a

和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字

母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,

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一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.

14.公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；

注意：公式变形的木质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边

同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.

15.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意：以前学过的，

分母里不含未知数的方程是整式方程.

16.分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了

含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方桂必须验增根;注意：在解

方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.

17.分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方

程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解;若值不为零，求

出的根是原方程的解;注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是

原方程的增根.

18.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一

样，但需要增加“验增根”的程序.

学好数学的方法有哪些

1学好初中数学课前预习是重点

数学解题思路和能力的培养主要在于课堂上，所以想要学好初中数学一定要

重视数学的学习效率和提前预习。只有提前预习才知道自己哪里不会，这样在课

堂上才会注意力集中不走神。同时在初中数学的课上，学生也要紧跟老师的解题

思路，注意自己的解题思路和老师的有什么不同。尤其是基础知识和最基本的技

能学习，课上数学老师讲完后，初中生要在课后及时复习，争取老师讲完每一节

的知识后，学生都不要留下疑问。

2独立完成初中数学作业

在完成老师布置的作业时，初中生要学会自己能够独立完成，想要学好初中

数学就要勤于思考，千万不能偷懒。平时对于自己弄不懂的题目和解题思路，不

要放弃，静下心来认真分析和研究，尽量做到自己能够解决，实在是想不出来在

问同学或者老师。对于初中数学的每一个学习阶段，都要学会进行整理和归纳。

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建立数学思维方式

到了初中，数学出现了很多新的知识点，也是重点考点和关键难点，比如系

统性的开始学习几何知识，首次引入函数的概念并求解一般的线性函数问题，这

些对于初中生来说既是全新的，又是有一定难度的。这就需要学生创新数学思维

方式，紧跟教材进度和课堂进度，训练自己的数学思维尤其的几何图形的感觉，

以及对函数的深刻理解。

八年级上册数学第一章知识点归纳

一、全等形

1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。

2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全

等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。

二、全等多边形

1、定义：

能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相

重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、性质:

(1)全等多边形的对应边相等，对应角相等。

(2)全等多边形的面积相等。

三、全等三角形

1、全等符号：5。如图，不是为：△ABCgZXA'B'C'。读作：三角形

ABC全等于三角形A'B'C’。

2、全等三角形的判定定理：

(1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等c(即SAS,〃边角边〃)；

(2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等c(即ASA,〃角边角〃)

(3)有两角和其中一隹的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS,〃角角边〃)

(4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS,"边边边〃)

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(5)有斜边和一条直隹边对应相等的两直角三角形全等。(即HL,”斜边直角

边〃)

3、全等三角形的性质：

(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等；

(2)全等三角形的周长相等、面积相等；

(3)全等三角形对应边上的中线、高，对应角的平分线都相等。

4、仝等三角形的作用：

(1)用于直接证明线段相等，角相等。

(2)用于证明直线的平行关系、垂直关系等。

(3)用于测量人不能的到达的路程的长短等。

(4)用于间接证明特殊的图形。(如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边

形、矩形、菱形、正方形和梯形等)。

(5)用于解决有关等积等问题。

数学知识点总结6

一：函数及其表示

知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、

函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数

的表示方法等

1.函数与映射的区别：

2.求函数定义域

常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

①当f(x)为整式时，函数的'定义域为R.

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的

实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分

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式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题

的制约。

3.求函数值域

(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得

函数的值域；

(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形

式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域；

(3)、判别式法：

(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值

域；

(5)、换元法；以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为白

变量的函数形式，进而求出值域；

(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那

么就可以利用端点的函数值来求出值域；

(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利

用重要不等式求出函数的值域；

(8)、最值法：对于闭区间［a,b］上的连续函数y=f(x),可求出产f(x)在区间

［a,b］内的极值，并与边界值f(a),f(b)作比较,求出函数的坡值，可得到函数y的

值域；

(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可

以转化为求反函数的定义域。

数学知识点总结7

1、投影

(1)投影：

用光线照射物体，在其个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影

(projection),照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

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(2)平行投影：

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影是平行投影(parallelprojection)。

(3)中心投影：

由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center

projection)。

(4)正投影：

投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

2、三视图

(1)三视图：

是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。将人的视

线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘

制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的

视图称主视图一一能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图

称俯视图一一能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左

视图一一能反映物体的左面形三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

(2)特点：

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从三个不同方向对洞一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半

剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。一个视图只能反映物体的一

个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从加速度我的学习也要

加速三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图

等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

数学的学习思维方法

逻辑法

逻辑是一切思考的'基础。逻辑思维，是人们在认识过程中借助于概念、判

断、推理等思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、

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推理的思维过程。逻辑思维，在解决逻辑推理问题时使用广泛。

逆向思维法

逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过

来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，

从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。

分类法

根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。分

类是以比较为基础的。依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异

点将较大的类再分为较小的类。

分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重

复、不遗漏、不交叉。

初中数学数据的分析知识点

1.算术平均数：

2.加权平均数：加权平均数的计算公式。

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

3.将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇

数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶

数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

4.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode)。

5.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)o

6.方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

数据的收集与整理的步骤：

1.收集数据

2.整理数据

3.描述数据

4.分析数据

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5.撰写调查报告

6.交流

7.平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数

的计算很少不受极端值的影响。

数学知识点总结8

一、四边形性质探索

定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距

离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

平行四边形：两组对边分别平行的四边形，对•边相等，对角相等，对角线互

相平分。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形

是平行四边形，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组对边平行且相

等的四边形是平行四边形

菱形：一组邻边相等的平行四边形（平行四边形的性质）。四条边都相等，

两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。一组邻边相等的平行四

边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱

形。

矩形：有一个内角是直角的平行四边形（平行四边形的性质）。对角线相等,

四个角都是直角。有一个内角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四

边形是矩形。

正方形：一组邻边相等的矩形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切

性质。一组邻边相等的矩形是正方形，一个内角是直角的菱形是正方形。

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。一组对边平行而另一组

对边不平行的四边形是梯形。

等腰梯形：两条腰相等的‘梯形。同一底上的两个内角相等，对角线相等。

两腰相等的梯形是等腰梯形，同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形：一条腰和底垂直的梯形。一条腰和底垂直的梯形是直角梯形。

多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的

封闭图形叫做多边形。n边形的内角和等于（n-2）某180

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多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外

角。多边形的外角和都等于360°。三角形、四边形和六边形都可以密铺。

定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相

重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

二、实数

定义：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小数叫做无理

数（有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示）

一般地，如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x就叫做a的算术平

方根。特别地，我们规定0的算术平方根是0。

一般地，如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根（也

叫二次方根）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没

有平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

一般地，如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根（也

叫做三次方根）。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。有理数和无理

数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都

表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数人。

三、全等三角形

（1）形状、大小相同的图形能够完全重合；

（2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；

（3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；

（4）平移、翻折、旋转前后的图形全等；

（5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；

（6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；

（7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；

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（8）全等表示方法：用“贮表示，读作“全等于"（注意：记两个三角形

全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）

（9）全等三角形的性质：

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应用相等。

数学知识点总结9

1、直线的倾斜角的概念：当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准,x轴正

向与直线1向上方向之间所成的角a叫做直线1的倾斜角.特别地,当直线1与x

轴平行或重合时,规定a=0°.

2、倾斜角a的取值范围：0°Wa

当直线1与x轴垂直时，a=90°.

3、直线的斜率：

一条直线的倾斜角a[aW90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小

写字母k表示，也就是k=tana

⑴当直线1与x轴平行或重合时，a=0°,k=tan0°=0;

⑵当直线1与x轴垂直时，a=90°,k不存在.

由此可知,一条直线1的'倾斜角a一定存在，但是斜率k不一定存在.

4、直线的斜率公式：

给定两点Pl（xl,yl）,P2（x2,y2）,xlWx2,用两点的坐标来表示直线P1P2的

斜率：

斜率公式：

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；

反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少

这个前提，结论并不成立.即如果kl=k2,那么一定有L1//L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；

反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

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3.2.1直线的点斜式方程

1、直线的点斜式方程：直线经过点且斜率为

2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为

3.2.2直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点

2、直线的截距式方程：已知直线

3.2.3直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x、y的二元一次方程

(A,B不同时为0)

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

LI：3x+4y-2=0

LI：2x+y+2=0

解：解方程组

得x=-2,y=2

所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)

3.3.2两点间距离

两点间的距离公式

3.3.3点到直线的距离公式

1.点到直线距离公式：

2、两平行线间的距离公式：

数学知识点总结10

一、集合及其表示

1、集合的含义：

“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的

“全体集合”。数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个

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是名词而已。

所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其

中每一个对象叫元索。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一

个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。

2、集合的表示

通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a,b,c}oa、

b、c就是集合A中的元素，记作a£A,相反，d不屈于集合A,记作d?A。

有一些特殊的集合需要记忆：

非负整数集（即自然数集）N正整数集NJ^N+

整数集Z有理数集Q实数集R

集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：{a,b,c……}

②描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来。如{x?Rx-3>2},{x|x-3>2},

{（x,y）|y=x2+l}

③语言描述法：例：：不是直角三角形的三角形}

例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素

A={（x,y）|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是数组元素（x,

y）,集合B中只有元素y。

3、集合的三个特性

（1）无序性

指集合中的元素排列没有顺序,如集合A={1,2},集合B={2,1},则集合A=Bo

例题：集合A={1,2},B={a,b},若A;B,求a、b的值。

解：，A=B

注意：该题有两组解°

（2）互异性

指集合中的元素不能重复，A=⑵2）只能表示为{2}

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(3)确定性

集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含

混不清的。情况。

集合的含义

集合的中元素的三个特性：

元素的确定性如：世界上的山

元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合｛II,A,P,Y｝

元素的无序性：如：：a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一个集合

3、集合的表示：｛…｝如：｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋，印度洋，

北冰洋｝

用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5)

集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集NxN+整数集Z有理数集Q实数集R

列举法：｛a,b,c.......｝

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方

法。｛x(R|x—3>2｝,｛x|x—3>2)

语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

Venn图：

4、集合的分类：

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=-5)

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里

对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

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可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称

图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1,0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为

单调递减函数，并口下凹.

(5)显然对数函数。

1、函数零点的定义

(1)对于函数)(xfy,我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy)的‘零

点。

(2)方程0)(xf有实根函数(yfx)的图像与x轴有交点函数(yfx)有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根,

有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf,所得实数根就是(fx)的零点⑶

变号零点与不变号零点

①若函数(fx)在零点Ox左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数(fx)

的变号零点。②若函数(fx)在零点Ox左右两侧的函数值同号，则称该零点为函

数(fx)的不变号零点。

③若函数(fx)在区间，ab上的图像是一条连续的曲线，则0

2、函数零点的判定

(D零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断

的曲线，并且有(fa)(fb),那么，函数(xfy)在区间，ab内有零点，即存在，

(Obax,使得O)(Oxf,这个Ox也就是方程O)(xf的根。

(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法

①代数法：函数)(xfy的零点O)(xf的根；②(几何法)对于不能用求根

公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出

零点。

(3)零点个数确定

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0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根；0)(xfy有1个零点0)(xf有两

个相等实根；0)(xfy无零点0)(xf无实根；对于二次函数在区间，ab上的零点

个数，要结合图像进行确定。

3、二分法

(1)二分法的定义:对于在区间[Jab上连续不断且(fa)(fb)的函数(yfx),

通过不断地把函数(yfx)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼

近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；

(2)用二分法求方程的近似解的步骤：

①确定区间L]ab,验证(fa)(fb)给定精确度e;

②求区间(，)ab的中点c;③计算(fc)；

(»)若(代)，则c就是函数的零点；

(ii)若(fa)(fc),则令be(此时零点0(,)xac)；(iii)若(fc)(fb),则

令ac(此时零点0(,)xeb)；

④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b)；否则重复②

至④步。

集合间的基本关系

1、子集，A包含于B,记为：，有两种可能

(1)A是B的一部分，

(2)A与B是同一集合，A=B,A、B两集合中元素都相同。

反之:集合A不包含于集合B,记作。

如：集合A={1,2,3},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4),三个集合的关系可以表

示为，,B=CoA是C的子集，同时A也是C的真子集。

2、真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或

BA)

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为①。中是任何集合的子集。

4、有n个元素的集合，含有2n个子集，2nT个真子集，含有2n-2个非空

真子集。如A;{1,2,3,4,5},则集合A有25=32个子集,25-1=31个真子集,25-2=30

个非空真子集。

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例：集合共有个子集c（13年高考第4题，简单）

练习：A={1,2,3},B={1,2,3,4）,请问A集合有多少个子集，并写出子集，

B集合有多少个非空真子集，并将其写出来。

解析：

集合A有3个元素，所以有23=8个子集。分别为：①不含任何元素的子集

①；②含有1个元素的子集{1}{2}{3}；③含有两个元素的子集{1,2}{1,3}{2,3）；

④含有三个元素的子集U,2,3}。

集合B有4个元素,所以有24-2=14个非空真子集。具体的子集自己写出来。

此处这么罗嗦主要是为了让同学们注意写的顺序，数学就是要讲究严谨性和

逻辑性的。一定要养成白』的逻辑习惯。如果就是为了提高计算能力倒不如直接

去菜场卖菜算了，绝对能飞速提高的，那学数学也没什么必要了。

一、函数模型及其应用

本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题

的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。

1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、时数

函数模型、分段函数模型等。

2、用函数解应用题的基本步骤是：

（1）阅读并旦理解题意。（关键是数据、字母的实际意义）；

（2）设量建模；

（3）求解函数模型；

（4）简要回答实际向题。

常见考法：

本节知识在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解

答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较

大。

误区提醒：

1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题

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理解自变量的取值范围。

2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和

量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。

例1：

（I）某种储蓄的月利率是0。36%,今存入本金100元，求本金与利息的和

（即木息和）y（元）与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的木息

和（不计复利）。

（2）按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,设本利和

为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式c如果存入本金1000元，

每期利率2。25%,试计算5期后的本利和是多少？解：（1）利息=本金某月利率

某月数。y=100+100某0。36%•x=100+0o36x,当x=5时，y=101。8,J5个月

后的本息和为101o8元。

例2：

某民营企业生产A,B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投

资成正比，其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如

图2（注：利润与投资单位是万元）

（1）分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关

系式。

（2）该企业己筹集到10万元资金，并全部投入A,B两种产品的生产，问：

怎样分配这10万元投资，才能是企业获得利润，其利涧约为多少万元。（精确到

1万元）。

集合

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也

可以是数学元素。例如：

1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急〜C

2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的〜。

3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学

第24页共45页

的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（Cantor,G.F.P.,1845年

一1918年，德国数学家先驱，是集合论的，目前集合论的基本思想己经渗透到

现代数学的所有领域。

集合，在数学上是一人基础概念。什么叫基础概念？基础概念是不能用其他

概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来卜.“定义”。集

合

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，

使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合C组成一集合的那些时象

称为这一集合的元素（或简称为元）。

元索与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限

集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做中。空集是任何

集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集

都具有传递性。「说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则

A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B,则A称作是B

的真子集，一般写作A?Bo中学教材课本里将？符号下加了一个W符号（如右图），

不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。」

集合的几种运算法则

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作

AUB（或BUA）,读作“A并B”（或“B并A”）,即AU或{x|x£A,或x£B}交

集：以属于A且属于B的元差集表示

素为元素的集合称为A与B的交（集），记作AAB（或BCA）,读作“A交B”

（或“B交A”）,即AAB=（x|x£A,且x£B}例如，全集U={1,2,3,4,5}A={1,

3,5}B={1,2,5}o那么因为A和B中都有1,5,所以AHB={1,5}。再来看看，

他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。

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那么说AUB={1,2,3,5}。图中的阴影部分就是AAB。有趣的是：例如在1

到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集：设A,B为集合，A与B的对称差集A?B定义

为：A?B=(A-B)U(B-A)例如:A={a,b,c},B={b,d},则A?B={a,c,d}对称

差运算的另一种定义是：A?B=(AUB)-(ACB)无限集：定义：集合里含有无限个

元素的集合叫做无限集有限集：令N_是正整数的全体，且N_n={l,2,3,……，

n),如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。

差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：

AB={x|x£A,x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任

何集合”。补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组

成的集合称为集合A的补集，记作CuA,即CuA={x|x£U,且x不属于A}空集也

被认为是有限集合。例如，全集U={1,2,3,4,5}而八二{1,2,5}那么全集有

而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4}。在信息技术当中，常

常把CuA写成

集合元素的性质

1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能

成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要

用于判断一个集合是否能形成集合。

2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。

3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的刈象。如写成{1,1,2},等同

于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中

时，只能算作这个集合的一个元素。

4.无序性：{a,b,c){c,b,a}是同一个集合。

5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A:{x|x

数学知识点总结11

集合的分类：

(1)按元素属性分类，如点集，数集。

(2)按元素的个数多少，分为有/无限集

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关于集合的概念：

（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定

的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集

合的元素也就确定了。

（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是

互异的），这就是说，集合中的任何两个元索都是不同的‘对象，相同的对■象归入

同一个集合时只能算作集合的一个元素。

（3）无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明

确的标准。

集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：

含有有限个元索的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N。

在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或N_。

整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z。

有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q。（有理数是整数和分数的

统称，一切有理数都可以化成分数的形式。）

实数全体构成的集合，叫做实数集，记作％（包括有理数和无理数。其中

无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数利分数。数学上，实数直观地定

义为和数轴上的'点一一对应的数。）

1、列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元

素都列举出来，写在花括号“｛）”内表示这个集合，例如，由两个元素0,1

构成的集合可表示为｛0,lb

有些集合的元索较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的

情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。

例如：不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为｛0,1,2,3,…，

100｝o

无限集有时也用上述的列举法表示，例如，自然数集N可表示为｛1,2,3,

n,…｝。

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2、描述法：一种更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来

描述。

例如：正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质：”能被2整除，且

大于0”

而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，因此，我们可以用上述性质把

正偶数集合表示为(x£R|x能被2整除，且大于0｝或｛x£R|x=2n,n£N+),

大括号内竖线左边的X表示这个集合的任意一个元素，元素X从实数集合中取值，

在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质。

一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),

而不属于集合A的元索都不具有的性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个

特征性质。于是，集合A可以用它的性质p(x)描述为｛x£l|p(x))它表示

集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的，这种表示集合的方法,

叫做特征性质描述法，简称描述法。

例如：集合A=｛xWR|x2—1=0｝的特征是X2—1=0

数学知识点总结12

1.有向线段的定义

线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像

这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.

2.