数字信号处理(程佩青)课后习题解答(五)

第五章数字滤波器的基本结构

1.用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

3+4.2ZT+0.8Z-2

H(z)=

2+0.6z-l-0.4z-2

分析：①注意系统函数的分母的z°项的系数应该化简为L

②分母z-(/=1,2.....)的系数取负号，即为反馈链的系数。

解：

=L5+22+0.4Z：=L5+2N+0.4Z；

1+0.3Z-'-0.2z-2l-(-0.3z-1+0.2z-2)

M

_y(z)

•.,"⑶

n=l

「.q=-0.3,a2=0.2

Z?o=1.5,/?,=2.1,b、=0.4

2

2.用级联型结构实现以下系统函数H(z)=:产十?Q、

(z-0.5)(z-+0.9z+0.8)

试问一共能构成几种级联型网络。

分析：用二阶基本节的级联来表达(某些节可能是一阶的\

解：〃(z)=An：+#M：+&z：

k^~a\kz-a2kz

++z~2)

(1-0.5Z-,)(1+0.9Z-14-0.8Z-2)

•・A=4

Pw=L221=。，3-14,%=1

a—

xx0.5,。21=0，a]2=-0.9,a22=-0.8

4

X(n)47(n)

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式,

则有四种实现形式。

3.给出以下系统函数的并联型实现。

5.2+1.58z-,+1.41Z-2-1.6Z-3

(1-0.5z-,X1+0.9zM+0.8z-2)

分析：注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的，这是因为系统函数化为部分

分式之和，分子的Z-的最高阶数比分母Z-'的最高阶数要低一阶，如果分子、分母多项式

的ZI的最高阶数相同，则必然会分解出一个常数项的相加（并联）因子。

解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得：

5.2+1.58Z-1+1.41Z-2-1.6Z-：

(1-0.52-,)(1+0.93_,+0.8z-2)

,0.2l+0.3z-1

l-0.5z-,l+0.9z-1+0.8z-2

*0-=4

crN=0.5,a2i=0,crI2=-0.9,a22=-0.8

/o]=°.2，=0，几2=1，/i2=0-3

4.用横截型结构实现以下系统函数:

H(z)=(1-gz)l+6z-)(1-2z-[1+：zT)(1-Z-)

分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。

解:

”(z)=(1-;z-i)(1+6z-1)(1-2z-1)

=(l--z-1-2z-14-z-2)

2

xCl+-z-1+6Z-1+Z-2)(1-Z-,)

6

=(l--z-'+z-2)

2

37

x(l+—z-'+z^Xl-z-1)

6

=1+§Z\KZ-2+变二

31212

8

——zT一Z-5

3

5.已知FIR滤波器的单位冲击响应为

h(n)=3(〃)+0.3b(〃-I)+0.723(〃-2)

+0.116(〃-3)+0.125(〃-4)

试画出其级联型结构实现。

分析：级联型是用二阶节的因式乘积表示。

/解Irr•

N—l

根据H(z)='>(〃)*〃得：

n=0

W(Z)=1+0.3Z-,4-0.72Z-2

4-0.1Iz^+O.lZz-4

=(l+0.2z-,+0.3z-2)

x(l+0.1z_,+0.4z-2)

而FIR级联型结构的模型公式为：

[T]

H(z)=n(0ok+仇AZ-I+02kz-2)

k=l

对照上式可得此题的参数为：

00\=1，002=L

/”=。.2，4=0.1

A.=0.3,/=0.4

6.用频率抽样结构实现以下系统函数:

5-_

H(z)=-^~~

1-z-1r

抽样点数N=6,修正半径r=0.9o

分析：FIR滤波器的修正的频率抽样结构

—,N=奇数

H%+0尸”=1，2,2

“A(Z)=------------汇----------

1—z-12rcos(-^—A:)4-r2Z~2A=1,2,--LN=偶数

N

其中％.=2Re[H(A)L凡=-2rRcfW)W^]

解；因为N=6,所以根据公式可得：

“(Z)=

Ir2

工(1-NZ-6)”O(Z)+"3(Z)+£"A.(Z)

6Lk=l_

〃⑶-T)

1-Z

=(5+3z—3)(l+zT+z-2)

故"⑻=H(Z)/欣/“

=(5+3i)(1+”+e3~)

因而

77(0)=24,〃⑴=2-2何，"(2)=0

"(3)=2,"(4)=0,H(5)=2+2何

则”。⑶二出与24

1-rz1-0.9Z-1

"心）=给2

l+0.9z-,

求:凡（z）

%+为zT

口⑶---------石K-------

l-2z-,rcos—+r2z-2

(NJ

AH=2Re[H(l)]=2Re[2-2V3j]=4

几=(-2).(O.9).Re["⑴W：]=3.6

、4+3.6z-,

H,(z)=-------；---------

l-0.9z-,+0.81z-2

攵=2时：402={2=°，42(Z)=0

24

,234

7.设某FIR数字滤波器的系统函数为：H(Z)=1(I+3Z-+5Z-+3Z-+Z-)

试画出此滤波器的线性相位结构。

分析：FIR线性相位滤波器满足/?(〃)=±〃(N-1一%),即对"=(%-1)/2呈现偶对

称或奇对称，因而可简化结构。

解：由题中所给条件可知：

2)

+2演〃-3)+(〃-4)

55

则〃(0)=介(4)=』=0.2

5

/?(1)=/2(3)=-=0.6

〃(2)=1

N—1

即/?(〃)偶对称，对称中心在n=-----=2

2

处，N为奇数(N=5)。

8.设滤波器差分方程为：y(n)=x(〃)+x(/?-l)+->,(/?-1)+—y(n-2)

⑴试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方

程。

⑵求系统的频率响应(幅度及相位I

(3)设抽样频率为10kHz,输入正弦波幅度为5,频率为1kHz,试求稳态输出。

分析：Q)此题分子z-'的阶次低于分母z-1的阶次，故一阶节的并联结构没有常数项

(2)由"(z)="(/'"),且要用模和相角表示，

(3)正弦输入以/)情况下要先化成x(n)=输出信号幅度等于输入信号

幅度与的乘积，频率即为输入的数字频率g,相角为输入相角加

上系统频率响应在。。处的相角ar©Hjo)|

解：

x(n)T>-*T(n)

x(n)e-»♦y(n)

直接II型

x(n)y(n)

z'1

级联型

(1)直接I型及直接口：

NM

根据y(〃)=WAJGZM)+(〃一k)可得:

k-1k-0

11

Cl\——yCly——b。=1,b、=1

1324

一阶节级联型：

z~'

H(z)=—

l--zl--Z-2

34

1+z-1

l+z,

(l-0.7z-,)(l+0.36z_,)

一阶节并联型：

l+z-1

H(z)=

「可)

6

66

=1.6_________0.6

-l_0.7z_,-l+0.36z-1

[-I

(2)由题意可知H(z)=—+z_

=>H(〃°)=—J|--------

(I+cos⑼-jsinco

1——cos。——cos2o+j-sin①+-sin2①

3434

幅度为：

卜

^/(l+cos69)2+sin2co

J(1一;cos①一:cos20尸+(；sin<y+；sin20>

相位为：

arg[77(e^)]=-arg|Sin('j)

I1+COS3

1.1.c

sin69+—sin269

-arg——)

1---cos。---cos2功

34

(3)输入正弦波为：x(t)=5sin(2M103)

由。7=24x1()37；=2乃可得：

周期为：T.=----=1035=1/775

1000

又抽样频率为10kHz,即抽样周期为

-3

T=—!-r=0.1xio=o.l/m-

10xl03

.•在x⑴的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2万)间

的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为

x(^)=5sin(2^-xIO3XH7)

=5sin[103.2^-10-4n]

=5sin-nn:(n=0,1

由此看出外=0.24

根据公式可得此稳态输出为：

y(/i)=5附(，")cos[ty()F?+arg[//(e"/)]]

=12.13cos[o.2勿?-51.6r]

(2)由题意可知H(z)=一■―—―

H(y)=

(14-cosiy)-jsin6y

11cos2o+j^sin69+-sin2co

--C0S6W--

34

幅度为：

^(1+cos6?)12+sin2co

J(1-；cos①一:cos2①>+(；sin①+；sin2①>

相位为：

arg["(e"")]=_arg7g(sin69)、

1+COS69>

1.1.

-sin^y+—sin2oco

-argtg(34

11c

1---COS69----COSZ69

34

(3)愉入正弦波为：x(t)=5sin(2mIO3)

由。T=2乃'1()34=2乃可得：

周期为：T.=—匚=10-3s=\ms

1000

又抽样频率为10kHz,即抽样周期为

T=―二=0.1x10-3=。1侬

10xl03

••在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0,2万)间

的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为

x(〃)=5sin(2.7rxlO3xnT)

=5sin[103-2^-10-4n]

=5sin-nrt(n=0,1,---,9)

由此看出a)o=0.24

根据公式可得此稳态输出为：

y(n)=)cos[ty(/?+arg[//(©"%)]]

=12.13cos[o.2^n-51.6]

9.写出右图所示结构的系统函数及差分方程。

对此题的分析：

(a)第一题图结构的左边是一个典范型结构的转置，右边是一个并联

型结构。

所以此结构是两者的级联。

可遵循并联相加，级联相乘的原则求得此结构的系统函数。

(b)第二题图结构的求解，可通过对各结点的求解来获得：将输入结

点和输出结点分别用中间结点表示，然后将中间结点消去，即可

得到输入结点与输出结点之间的关系，从而求得此结构的系统函

数

解：

Q)根据图中结构，可直接写出此结构的