圆的一般方程-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册2.3.2圆的一般方程第二章平面解析几何学习目标掌握圆的一般方程，体现数学抽象能力（重点）会把圆的标准方程与一般方程进行转化，体现逻辑推理能力（重难点）会判定二元二次方程是不是圆的一般方程，体现逻辑推理能力（重点）新课导入尝试与发现：把圆的标准方程(x−1)2+(y−2)2=9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？(x−1)2+(y−2)2=9可以化为x2−2x+y2−4y−4=0.新课学习思考一下：圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2可以化成什么？一般地，圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2可以化为x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0.在这个方程中，如果令D=−2a，E=−2b，F=a2+b2−r2，则这个方程可以表示成x2+y2+Dx+Ey+F=0①的形式，其中D，E，F都是常数.新课学习圆的一般方程的概念如果这个方程可以表示成

x2+y2+Dx+Ey+F=0①的形式，其中D，E，F都是常数.形如①式的圆的方程称为圆的一般方程.新课学习思考一下：圆的标准方程与圆的一般方程有什么区别？圆的标准方程明确指出了圆的圆心坐标与半径，而圆的一般方程表明了圆的方程形式上的特点.要给出圆的标准方程，需要确定圆心坐标和半径；而要给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的D，E，F．新课学习例1：已知A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4)都是⊙P上的三点，求这个圆的方程.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A(0,5)，B(1,−2)，C(−3,−4)都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得解方程组可得D=6，E=-2，F=-15.因此所求圆的方程为x2+y2+6x−2y−15=0.新课学习二元二次方程表示圆的必要条件圆的一般方程是一个二元二次方程，因为所有圆的方程都可以化成①的形式，所以一个二元二次方程表示圆的必要条件，就是能化成①的形式.新课学习举个例子：方程x2+2y2−2x−3y+7=0与x2+xy+y2−3x−4y+5=0都不是圆的方程，因为第一个方程中，x2，y2的系数不相等，而第二个方程中xy项的系数不为0，它们都不能化成①的形式.方程2x2+2y2−4x−4y+1=0与x2+y2−2x−2y+2=0都有可能是圆的方程，因为它们都能化为①的形式.新课学习尝试与发现：分别判断2x2+2y2−4x−4y+1=0与x2+y2−2x−2y+2=0是否是圆的方程，然后总结出x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的方程的充分条件.一个二元二次方程是否是一个圆的方程，取决于这个方程能否化成圆的标准方程.因为2x2+2y2−4x−4y+1=0新课学习尝试与发现：分别判断2x2+2y2−4x−4y+1=0与x2+y2−2x−2y+2=0是否是圆的方程，然后总结出x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的方程的充分条件.又因为x2+y2−2x−2y+2=0⇔x2−2x+1+y2−2y+1=0⇔(x−1)2+(y−1)2=0,显然，满足上述方程的实数只有x=1，y=1，因此不是圆的方程.新课学习思考一下：如果把上面的方程换成圆的一般方程呢？一般地，x2+y2+Dx+Ey+F=0因此：新课学习思考一下：如果把上面的方程换成圆的一般方程呢？3.当D2+E2−4F<0时，方程没有实数解，因而原方程也不是圆的方程.新课学习例2：判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：(1)x2+y2+4x−6y−12=0；原方程可以化为x2+4x+4+y2−6y+9=25，即(x+2)2+(y−3)2=25，所以是圆心坐标为(-2,3)，半径为5的圆的方程.新课学习例2：判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：(2)4x2+4y2−8x+4y−15=0；新课学习例2：判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：(3)x2+y2−6x+10=0.因为原方程可以化为x2−6x+9+y2=−1，即(x−3)2+y2=−1，又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程.课堂练习B课堂练习