江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列事件是随机事件的是（）A.在标准大气压下，温度低于时水结冰

B.任意画一个三角形，其内角和是

C.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上

D.人中至少有人的生日相同3.下列各式从左到右变形一定正确的是（）A. B. C. D.4.已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（

）A. B. C. D.5.如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（

）

A.若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形

B.若四边形是菱形，则四边形是菱形

C.若四边形是矩形，则四边形是矩形

D.若四边形是正方形，则四边形是菱形6.已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（

）①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根；③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根．A.个 B.个 C.个 D.个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。7.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是

．8.若分式的值为0，则x的值是

9.某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是

．（精确到）抽取的乒乓球数次品的频数次品的频率10.甲、乙两人沿着总长度为的道路匀速行走，甲的速度是乙的倍，甲走完全程比乙少用．设乙的速度为，根据题意，可列方程为

．11.如图，已知E、F、G、H分别是矩形四边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形EFGH的周长为16cm，则矩形ABCD的对角线长等于

cm．

12.如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角

°．

13.已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是

．14.如图，在梯形中，，为的中点，过点作，垂足为，，，则梯形的面积为

．

15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，，点在轴负半轴上，连接，，若，且的面积为3，则

．

16.如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为

．

三、计算题：本大题共3小题，共12分。17.计算：(1)；(2)．18.分解因式：(1)；(2)．19.解下列方程：(1)；(2)．四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题5分)

先化简，再求值：，其中．21.(本小题6分)某校八年级举行了知识挑战赛．为了解全年级名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D四个组别，并绘制了下列不完整的统计图表．各组成绩的频数分布表组别成绩分频数ABCD根据以上信息，解决下列问题：(1)本次调查一共随机抽取了

名参赛学生的成绩，表中

；(2)扇形统计图中，B组对应的圆心角的度数为

°；(3)请估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生有多少人？22.(本小题7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为．

(1)求的值；(2)关于的不等式的解集为

；(3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标．23.(本小题8分)如图，在中，平分交于点，平分交于点，分别作、的中线、，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，当

时，四边形是菱形．24.(本小题8分)

已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；(2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值．25.(本小题9分)

解决问题：(1)关于分式有这样一个结论：若，且，则．请补全下面小明的证明过程．

①：

，②：

，③：

.(2)小红从小明的证明过程中获得启发，尝试解决下列问题：已知（，），（，），求证：．证明：设，…请接着完成证明．26.(本小题11分)在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，．

(1)如图①，求证：；(2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点．①求证：平分；②若正方形边长为，则

​​​​​​​．27.(本小题12分)利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．

(1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由．(2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下：1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合；2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点；3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点；5．连接，得到．请根据以上作法，证明．(3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】x≥3

8.【答案】2

9.【答案】

10.【答案】

11.【答案】8

12.【答案】40

13.【答案】且

14.【答案】12

15.【答案】-4

16.【答案】

17.【答案】【小题1】解：原式；【小题2】解：原式．

18.【答案】【小题1】解：；【小题2】解：

19.【答案】【小题1】解：移项得，配方得，即，开方得，解得，．【小题2】解：，方程变形为．两边同乘得，去括号得，移项合并同类项得，解得．检验：当时，．因此是增根．所以原方程无解．

20.【答案】解：，当时，原式．

21.【答案】【小题1】6018【小题2】​​​​​​​【小题3】解：估计该校八年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数为：（人）．

22.【答案】【小题1】解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上，当时，，，；【小题2】或【小题3】解：如图，直线交轴于点，当时，，则，设，则，点的横坐标为，点的横坐标为，，，，则或，解得或，则或．

23.【答案】【小题1】证明：四边形是平行四边形平分，平分，在和中，，、分别是、的中线、分别是的中点，，，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；【小题2】

24.【答案】【小题1】证明：在一元二次方程中，，，，，∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根；【小题2】解：∵方程的一个实数根是，∴，解得：，∴一元二次方程，∴，解得：，，∴方程的另一个实数根为．

25.【答案】【小题1】​​​​​​​

【小题2】证明：∵∴，∴，设，则，∴左边，右边，∴．

26.【答案】【小题1】证明：四边形是正方形，，，，，，，，∵在和中，，，；【小题2】①证明：如下图所示，过点作垂足为点，垂足为点，

则，四边形是矩形，，点是的中点，，由（1）可知，∴，∵，，在和中，，，，四边形是正方形，平分；​​​​​​​

②；

解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，

正方形边长为，，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，，点的坐标是，点的坐标是，设直线的解析式是，把点的坐标代入，可得：，解得：，直线的解析式是，设直线的解析式是，把点、的坐标代入，可得：，解得：，直线的解析式是，解方程组，可得：，点的坐标是，设直线的解析式是，把点、的坐标代入，可得：，解得：，直线的解析式是，当时，可得：，解得：，点的坐标是，，．

27.【答案】【小题1】解：，理由如下，，，，，，，，，，即和是直角三角形，点是的中点，，，，，，，，，，，，则；【小题2】证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，设直线的解析式为，，解得，，当时，，即点在