热力学统计物理期末复习试题

一.填空题

1.设一多元复相系有个。相，每相有个攵组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足

条件：广=7°==7一、pa=P==P①城（』2,・・左）

2.热力学第三定律的两种表述分别叫做：能特斯定律和绝对零度不能达到定律°

3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成,粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为:包_。

4.均匀系的平衡条件是T=E>FL尸；平衡稳定性条件是.G>°旦（器）7〈°。

5玻色分布表为“=e一1；费米分布表为a="+1；玻耳兹曼分布表为

a=se。当满足条件时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。

6热刀学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为

牌）二（割/嘉）,,=牌）3牌）,=-口）.（符）「-（第）、.

_______________,_________________,___________________,___________________°

u=—N01rl乙

7.玻耳兹曼系统粒子配分函数用4表示，内能统计表达式为广义力统计表达式为

r=Zain乙S=N&（inZ1-6

a八，烯的统计表达式为印,自由能的统计表达式为

F=-NkTh\Z\

O

8.单元开系的内能、自由能、焰和吉布斯函数所满足的全微分是：，,，。

9.均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：

dU=TdS-pdV+/jdndH=TdS+Vdp+"dndG=-SdT+Vdp+pidndF=-SdT-pdV+〃力

_____________________9___________________，_______________________I_______________________

10.等温等容条件下系统中发生的自发过程，总是朝着自由能减小方向进行,当自由能减小到极小值

时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方

向进行，当吉布斯函数减小到极小值时,系统达到平衡态。

11.对于含N个分子的双原子分子理想气体,在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量无贡献；

、73

温度大大于振动特征温度时，；温度小小于转动特征温度时，。

「=—Nk

温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时，“20

12.玻耳兹曼系统的特点是：系统由全同可分辨粒子组成;粒子运动状态用屋王鱼来描写：确定每个

粒子的量子态即可确定系统的微观态：粒子所处的状态不受泡利不相容原子的约束。

13准静态过程是指过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态的过程;无摩擦准静态过程的

特点是外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。

14.绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响的

过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功与具体的过程无关,仅由初终两态决定。

二.简述题

1.写出系统处在平衡态的自由能判据。

一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变

动，所引起的自由能的改变均大于零。即">0。

2.写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。

一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变

动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即AG>0。

3.写出系统处在平衡态的燧判据。

一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变

动，所引起的炳变均小于零。即AS<()

4.玻尔兹曼关系与燃的统计解释。

由波耳兹曼关系5="皿。可知，系统燃的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微

观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，帽是

系统内部混乱度的量度。

5.为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？

不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为l~10eV,相应的特征温度为

45

10-10KO在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平

均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。

6.为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？

因为双原子分子的振动特征温度斗，〜10，K,在常温或低温下kT«k9v,振子通过热运动获得

能量/①二k%从而跃迁到激发态的概率极小，因此对热容量的贡献可以忽略。

7.能量均分定理。

对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量£的表达式中的每一个独立平方

项的平均值为|kTo

8等概率原理。

对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。

9.系统的基本热力学函数有哪些？什么叫特性函数？什么叫自然参量。

基本热力学函数有：物态方程，内能，燃。

特性函数：适当选择独立变量，只要知道一个热力学函数就可以求偏导数而求得均匀系统的全

部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质确定，这个热力学函数称为特性函数。

11试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论

或无法解释的问题（至少例举三项）？

12.最大功原理

①系统在等温等容过程中对外所做的功不大于其自由能的减小（-wWFa-Fb）

②在等温等压条件下，能够从系统获得的最大体变功等于系统吉布斯函数的减小。

13.写出能斯特定理的内容

凝聚态的熔在等温过程中的改变随绝对温度趋于零

14.什么是近独立粒子系统

粒子之间的相互作用力很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略

粒子之间的相互作用

15.单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么？如果该平衡条件未能满足，变化将朝着

怎样的方向进行？

相变平衡条件：J=d变化方向：（P82）

16.写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。

F=k+2-0F:多元复相系的自由度，是多元复相系可以独立改变的强度量变量的数目。

k：系统的组元数夕：系统的相数

17.写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。

以/=一］）!

与分布｛田｝相应的，玻色系统微观状态数为1）!：费米系统的微观状态

环产口___帝^口勿“

数•，.！（立-a）!；玻耳兹曼系统微观状态数为工，。当满足条件经

典近似条件时，三种微观状态数之间的关系为3C"尸忐C./。

18.为什么说，对于一个史在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态

分布？

19.试说明，在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法

解释的问题？

①.在低温范围内，实验发现固体的热容量随温度降低地很快，当温度趋近绝对零度时，热容量也

趋于零②.对于金属的自由电子，如果将能量的均分定理应用于电子，自由电子的热容量与离子振动

的热容量将有相同的数量级，实验结果是3k以上的自由电子的热容量与离子振动的然容量相比可以

忽略不计。

三.选择题

9.下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有B

（A）经典系统

（B）满足非简并条件的玻色系统和费米系统

（O满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统

（D）非定域体系统

10.4和。分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说法正确的是

（A）时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。

（B）7〉〉。时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结”

（O7>>斗时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻”。

（D）时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻二

11.气体的非简并条件是D

（A）分子平均动能远远大于ZT

（B）分子平均距离极大于它的尺度

（C）分子数密度远远小于1

（D）分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长

12.不考虑粒子自旋，在边长L的正方形区域内运动的二维自由粒子，其中动量的大小处在如

范围的粒子可能的量子态数为B

47rL2271c」（C）

(A)—^~PdP(B)~^~Pdp等如(D)p2dp

h2

五.推导与证明

'等）du,假定Cy可视为常量，由此导出理想气

1.试用麦克斯韦关系，导出方程八/S=G/7+T

体的绝热过程方程7Vk=c（常量）。

as、(ds

解：VdS=dT+ciVf

ydT)Y)r

dSas,0、

・・・TdS=TdT+TdV=C\,dT+TdV

kITJv8V)TT

as]包,7ds=C/r+7(笔dV

由麦氏关系

8V)T

绝热过程dS=0,理想气体〃二华了,nR

inpjw7

G/拳+氏=0积分得gln7+〃RlnV=C'（常量）

,:Cp/G=y，〃R=Cp-Cv=Cv(7-1)

故：InTV7-1=C\即：TV7-1=C(常量)

2•证明:

证明：选T,V为独立变量，则

dG--SdT+Vdp+「idn

3.证明熔态方程:

＜前

证：选T、p作为状态参量时，有

dT+—dp(2)

\^P)T

而,dH=TdS+Vdp

(2)代入(3)得：(4)

比较(1)、(4)得:(6)

将麦氏关系—〔而1代入(6),即得

(dHdV

=V-T

T8T)P

4.导吕含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:

e

U=、2即Nh。①+上3M_⑷],CV=3Nk\⑺—|(产'.if

解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相

同。谐振子的能级为：£=5+1/2)加y(77=0,1,2)

85T”=-ficoll

则，振子的配分函数为：4=Ze"'M""2)=e-以

n=0〃=0

,/InZ,=~f3ha)-\n(\-e-fi^)

..___61nZ.3...3Nhay

U=—3N--------=-Nhco+="h①+

dp2\-e^2八一1

2

dU；3J'S

=3Nk

¥VkT)(*J)2

2

引入爱因斯坦特征温度为：即得：Cy=3Nk⑥

kJ产—T)2

5=3可登1ln(l-e*

5.导出爱因斯坦固体的隔表达式:

解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动,

且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为:

£=(〃+/),(7?=0,1,2,・・・)

则，振子的配分函数为：

1-Bhco

—白-供)

4二＞05++二七p-R

n=U€

°】nZ11.hco

InZ1=—；,力@一ln(l——例"),▼=一，.一『一

，S=3N&(InZ「)=3Nk>沸、-ln(l-^)]

6.证明，对于一维自由粒子，在长度L内，能量在£~£+成的范围内，可能的量子态数为

证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元心切、内的可能

的量子态数为4也。

h

因此，在长度L内，动量大小在〃〜〃+功范围内粒子的可能的量子态数为

生dp

h

■而，£=——1p2,d7p=

2m

故，在长度L内，能量在£~£'+成范围内，可能的量子态数为

D(£)d£=产£一'%£

(as

7.证明:①②>0

JdP),=\dS)

p<avV

①证明:

dH=TdS+VdP,由全微分条件得：

②证明:

由dU=TdS-PdV,令dU=0得:

dS

;P>0,T>0I>0

dVu

8.导出普朗克黑体辐射公式。

解：在体积V内，动量在"P+即范围的光子的量子态数为

8TVV2.

~^rPdp

h

因为,光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为

1

\(o!kT_j

_h(o

又P/

所以,在体积v内，圆频率在。〜/+d/范围内的光子的量子态数为

39

D3d①=驾.埠加4T.co2ds

hC7T~C

2

VCD

在此范围内的光子数为N,/a)=f，D(①)da)=—dco

23八^o/kT

71Ce-1

故，在此范围内的辐射能量为:

ha)—dco

U(T,co)do)=hco-N(,)da)=V

23°Uo/kT

7tce

8}R(dT\

9.对于给定系统，若已知P---2"(二"),求此系统的物态方程。

v-bRv

［方)P

解：设物态方程为〃=p（r,u）,则

——入⑵得

④］」切（竺_____24（u?）］_2。RT

-(3)

二一〔而［（说］=-R［F-R/0/】口时

RT」a/RTa

=d-----

\v-bv2J

积分得：〃="一二，即:a

P+—(v-b)=RT

v-bv~v-)

11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化，采用量子统计方法导出单原

子分子理想气体的内能。

解：气体系统遵从玻耳兹曼分布，粒子配分函数为

4=z例屋网=z屋侬（对所有量子态s求和）

IS

当粒子能量准连续变化时，上述对量子态求和可用〃空间积分替代。因为，在6维〃空间中，X〜x+dx,

）、+〃二〜〃二凡范围内的粒子，其可能的量子

y~y+dy,z~z+dz,px-px+dpt,p,~pdpv,+d

态数为

-^dxdydzdpxdpvdp:

h

且，粒子的能量为：£=1（〃：+〃：+22）。所以

(2：VfB

e$Px+P—+P「d)vdj?AdzAdpAdApdpA.=A—Iedr

nhvYI7

即

、3/2(

7lnZ=lnV+|ln17im

V27cm而1

Z|=7PJ

ainZ)u=

由内能的统计表达式U=-N，得:­

2p2

(dP(8V

12.证明：CP-CV=T