山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期中数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期中数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知，，则“”是“与夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则4．设P是所在平面内一点，，则（

）A． B． C． D．5．记函数的最小正周期为T，若，且是图像的一个最高点，则（

）A． B． C． D．6．已知函数，令，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．7．为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．20298．若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(多选)已知正实数a,b满足ab=3-a-b,则下列结论正确的有 ()A．ab的最大值为1B．ab的最大值为9C．a+b的最小值为2D．2a+b的最小值为42-310．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则下列结论正确的有（

）A．的最小值为 B．C．的最大值为 D．当时，为等腰直角三角形11．已知函数，则（

）A．是R上的增函数 B．函数有且仅有一个零点C．函数的最小值为－1 D．存在，使得函数为奇函数12．已知数列，对任意的都有，则称数列为“差增数列”，下列结论正确的是（

）A．若，则数列为差增数列B．若，则数列为差增数列C．若数列为差增数列，，且，，，则m的最小值为39D．若数列为差增数列，，且，，的前n项和为，当最小时，三、填空题13．已知，则．14．已知等差数列是递增数列，且，，则．15．若函数，则的最小值是．16．设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为．四、解答题17．已知．(1)若，求的单调区间；(2)若且，解关于x的不等式．18．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答．问题：已知中，角、、的对边分别为、、，是边的中点，，且．(1)求的值；(2)若的平分线交于点，求的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知函数，若在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域．20．记为数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，，求证：．21．受气候影响，我国北方大部分农作物一直遵循着春耕秋收的自然规律，农作物生长的时间主要集中在2月份至10月份．为了保证A，B两个产粮大镇农作物的用水需求，政府决定将原来的蓄水库扩建成一个容量为50万立方米的大型农用蓄水库．已知蓄水库原有水量为18万立方米，计划从2月初每月补进q万立方米地下水，以满足A，B两镇农作物灌溉需求．若A镇农作物每月的需水量为2万立方米，B镇的农作物前x个月的总需水量为万立方米，其中，且．已知B镇前4个月的总月的总需水量为24万立方米．(1)试写出第x个月水被抽走后，蓄水库内蓄水量W（万立方米）与x的函数关系式；(2)要使9个月内每月初按计划补进地下水之后，水库的蓄水量不超蓄水库的容量且总能满足A，B两镇的农作物用水需求，试确定q的取值范围．22．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个极值点，．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：．

参考答案1．【答案】C【分析】解绝对值不等式和对数不等式，再求并集即可.【详解】由得：或，解得或，所以或，由得：，所以，则.故选：C2．【答案】B【分析】根据与夹角为钝角求出的范围即可判断.【详解】当时，与反向共线，且，所以不能推出与夹角为钝角；当与夹角为钝角时，，且与不反向共线，解得，且，此时可以推出，所以“”是“与夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.3．【答案】D【分析】AC选项找出反例即可说明错误；B选项利用作差法比较大小；D选项利用指数函数的单调性判断大小.【详解】A选项：当时，，故A错；B选项：，当，且时，，，，所以，即，故B错；C选项：当，，此时，故C错；D选项：设，因为，所以单调递减，，即，，故D正确.故选：D.4．【答案】B【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以,，故选：B5．【答案】A【分析】由周期范围求得的范围，由图像最高点求解与值，可得函数解析式，则可求．【详解】函数的最小正周期为，则，由，得，，因为是图像的一个最高点，则且，则，取，可得，所以，则故选:A.6．【答案】D【分析】先根据函数解析式求值，然后比较大小即可求解.【详解】因为，，，易得，又因为，所以，故，所以，故选：D.7．【答案】C【分析】前6年的维修费用构成等差数列，第6年及之后每年的维修费用构成等比数列，分成两部分单独求和，最后逐一计算第n年的前n年平均维修费用，与40作比较即可.【详解】设前n年的总维修费用为，，，则，即前6年可继续使用.当时，所以，则计算得，故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.故选：C.8．【答案】A【详解】因为，所以，设，则，，令恒成立，故单调递减，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；.故所以，得到.故选A.9．【答案】ACD【解析】由a，b是正数，且3－ab＝a＋b可得3－ab≥2ab，所以ab＋2ab－3＝(ab＋3)(ab－1)≤0，于是ab≤1，即ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，故ab的最大值为1，故A正确，B错误；由ab＝3－a－b≤1，可得a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号，即a＋b的最小值为2，故C正确；由ab＝3－a－b，可得b＝4a+1－1，故2a＋b＝2a＋4a+1－1＝2(a＋1)＋4a+1－3≥22a+1·4a+1－3＝42－3，当且仅当2(a＋1)＝4a+1，即a＝2－1(a＝2－1舍去)时取等号，此时b＝4a+1－1＝22－1，故2a＋10．【答案】BCD【分析】根据题意将题干条件化简，求出，然后利用二倍角公式、基本不等式及诱导公式逐一检验即可求解.【详解】因为，又因为，所以，所以，在中，因为，所以，又因为，所以，所以，，故选项错误；所以，故选项正确；因为（当且仅当时取等号），所以，故，故选项正确；因为，所以，解得：，故选项正确，故选：BCD.11．【答案】BD【分析】对于A，直接对函数求导，然后讨论其在上的单调性即可；对于B，通过对分三种情况（，，）来求解函数值的正负情况即可判断函数的零点个数；对于C，根据，，利用放缩法构造不等式可解；对于D，令，代入，构造函数，即可判断奇偶性.【详解】对于A，，，当时，，，，在上单调递增.当时，，则，，即的符号不能恒为正，在上不是单调递增函数，不是在上的增函数，故A错误；对于B，当时，，，当时，，当时，，，，从而函数有且仅有一个零点，故B正确；对于C，时，，当时，，当时，，，，－1不是函数的最小值，故C错误；对于D，令，则，令，则的定义域为，，存在，使得函数为奇函数，故D正确.故答案为：BD12．【答案】ABD【分析】AB选项根据差增数列的定义判断即可；C选项利用特殊值的思路判断；D选项根据最小时，要求数列的每一项都要最小，得到数列的规律，然后利用累加法求通项即可.【详解】A选项：，则数列为差增数列，A正确；B选项：，则数列为差增数列，B正确；C选项：当时，数列满足差增数列，所以最小值为，C错；D选项：当最小时，要求数列的每一项都要最小，又，，则，，，，，整理得，，，，，，所以，，D正确.故选：ABD.13．【答案】【分析】结合已知条件，利用诱导公式和二倍角公式即可求解.【详解】由诱导公式可知，，因为，所以.故答案为：.14．【答案】143【分析】由等差数列的基本量与前项和公式运算求得公差和首项，再由前项和公式计算．【详解】设公差为，则由题意得，又，解得，∴．故答案为：143．15．【答案】【分析】因为三角函数具有周期性，令，对函数求导数，研究导函数在区间内的符号，得到函数的单调性，求出最小值.【详解】不妨设，则在上的单调性如下表：x0+0-0+极大极小，，因为，所以函数的最小值为.故答案为：.16．【答案】6【分析】利用函数的性质，在同一坐标系下分别画出函数和的图像，将函数的零点转化为两个函数图像的交点问题，利用对称性，即可求解零点的和.【详解】首先由条件可知，函数关于轴对称，又因为，所以函数关于直线对称再根据当时，，可以画出函数的图像，同一坐标系下再画出函数的图像，由图可知，时，两个函数有6个交点，根据对称性可知，左边两个交点关于对称，和为0，中间两个交点关于对称，和为2，右边两个交点关于直线对称，和为4，所以所有零点和为6.故答案为：617．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析【详解】（1）由已知得，，∴，解得，∴，由得，，令，则在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由得，又且，，，因为，所以，所以，即，①当时，，又因为，所以．②当时，，又因为，所以．综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．18．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，在和中，应用余弦定理，由，求得结论；选②，由正弦定理化边为角，求得角，然后设，，在和中对角应用余弦定理列方程组求解；（2）由求得，再由角平分线定理求得后可得三角形周长．【详解】（1）解：选择①：设，则，在中，，在中，，∵，∴，即，所以，故．选择②：由正弦定理得，，∵，∴，∴，即，于是，∴，设，，在中，，即（i），在中，，即（ii），联立（i）（ii）解得，，，即，．（2）解：由题意得，，∴，∴，又∵，∴，∴故的周长为．19．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合题干中的切线，算出参数，得到的解析式；（2）求导分析在上的单调性，求出极值，分析出上的最值，然后比较端点处的函数值，得出上的最值.【详解】（1），，故，∴在点处的切线方程为，即，∴，即，所以函数的解析式为（2），，，令得，，∵，∴，∴，即，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，，∵，∴所以函数在上的值域为．20．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用得出数列递推关系，再由连乘法求得通项公式，注意的验证；（2）用裂项相消法求得即可证．【详解】（1），当时，，两式相减得，，，化简得，，∴，时，满足上式，∴，（2）由（1）得，，，∴，21．【答案】(1)（，）(2)【分析】（1）根据B镇前4个月的总需水量为24万立方米，列出方程，求得，即可得到关系式；（2）根据题意即可得到，对且恒成立，分离参数可得的范围，然后再根据对且恒成立，分离参数计算，最后即可得到的范围.【详解】（1）因为B镇前4个月的总需水量为24万立方米，所以，则，所以（，）．（2）①由题意知：对且恒成立，即对且恒成立，令，则，，所以，②首先，即，其次，对且恒成立，所以对且恒成立，令，则，因为且，所以恒成立，所以函数单调递减，所以当时，y取得最小值，且所以，综合①②可得q的取值范围为．22．【答案】（1）答案见解析；（2）（i），（ii）证明见解析.【详解】（1）由定义域为，且，令得，或，①当时，，