2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.命题“∀x＞1，3x-1＞2”的否定是（）A.∀x＞1，3x-1≤2 B.∀x≤1，3x-1＞2

C.∃x＞1，3x-1≤2 D.∃x≤1，3x-1＞22.若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.103.设集合A={x|x=a+bi,a,b∈R}，B={y|y=|sinα+cosαi|，α∈R}，则集合A∩B=（）A.∅ B.Ν* C.R D.{1}4.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=ex-a,则=（）A.-1 B.1 C. D.-25.已知a,b∈N*，若一组数据1，2，a,b,4的平均数为2，则该组数据的中位数为（）A.1.5 B.2 C.2.5 D.36.已知连续型随机变量，令函数f（x）=P（X≥x），则下列选项正确的是（）A. B.f（x）是增函数

C.f（x）的图象关于点中心对称 D.f（x）的图象关于x=4轴对称7.若整数a,b,c经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则此等比数列的公比不可能是（）A.1 B. C.-2 D.28.如图，直线y=ax+2与曲线y=f（x）交于A、B两点，其中A是切点，记h（x）=，g（x）=f（x）-ax,则下列判断正确的是（）A.h（x）只有一个极值点

B.h（x）有两个极值点，且极小值点小于极大值点

C.g（x）的极小值点小于极大值点，且极小值为-2

D.g（x）的极小值点大于极大值点，且极大值为2

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在边长为2的正方形ABCD中，剪去以C为圆心，1为半径的扇形CEF后得到的图形如图所示，以BE所在的直线为轴，其余边和弧EF旋转一周形成的面围成一个几何体，则（）A.该几何体的形状为圆柱中挖去个球

B.该几何体的形状为圆柱中挖去个球

C.该几何体的表面积为18π

D.该几何体的体积为10.已知事件A，B，，，，则（）A. B.P（|A）= C. D.11.已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数x,y,恒有[f（x）+1]•[f（y）+1]=f（x+y）+1，若f（1）=1，当x＜0时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（）A.f（0）=0

B.函数f（x）的最小值为-1

C.f（x）为R上的增函数

D.关于x的不等式f（x）+f（2-x）＞3的解集为（-∞，0）∪（2，+∞）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的展开式中，常数项为______．13.由样本数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，10），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点（2，2）的残差值为

.14.已知A，B，C为集合M={1，2，…，n}（n∈N*）的非空子集，满足：

①A∩B=A∩C=B∩C=∅，A∪B∪C=M；

②{x∈M|x=3k,k∈N*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；

③A，B，C中所有元素的和分别记为S1，S2，S3，且S1=S2=S3.则正整数n的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1，（n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若，求f′（3）的值.16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且（bcosC+ccosB）sinC=（b-acosC）.

（1）求角A；

（2）如图，D是△ABC外一点，若AB=3，AC=2，cos∠BAD=-，cos∠ADC=，求平面四边形ABCD的对角线BD的长.17.(本小题15分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为棱BC的中点，且PB⊥AM，PD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为45°.

（1）证明：AM⊥BD.

（2）求直线PB与平面PAM所成角的正切值.18.(本小题17分)

某商场举行回馈顾客的抽奖游戏.箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”.每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为-10元，-20元，…，-60元.顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏.游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金.现有一顾客参加了此次抽奖游戏.

（1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率；

（2）求该顾客的奖金不低于270元的概率；

（3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有E（X+Y）=E（X）+E（Y），求该顾客的奖金的期望.19.(本小题17分)

已知函数.

（1）若a=1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）≥3lnx,求a的取值范围；

（3）若a=-2，设0＜s＜1＜t,且f（s）+f（t）=0，证明：.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】14

13.【答案】1

14.【答案】8

15.【答案】an=2n-1

（n-1）3n+1

16.【答案】（1）

（2）

17.【答案】由PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，

所以PD⊥AM，

又PB⊥AM，PD∩PB=P，PD，PB⊂平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，

所以AM⊥BD

18.【答案】

174元

19.【答案】单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；

[-2，+∞）；

证明：由

知，当a=-2时，f（x）≥3lnx，当且仅当x=1时等号成立，

则，即，同理，

于是，即，

当a=-2时，f

=0，，显然当x≥1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当0＜x＜1时，令u（x）=f′（x），则，

当时，；当时，u′（x）＞18-2e＞0，

则当0＜x＜1时，u′（x）＞0，u（x）=f′（x）单调递增，

而，且f′

=3＞0，则存在唯一，使得f′（x0）=0，

当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，

函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上