2025-2026学年辽宁省大连理工大学附属高级中学高一（下）期末数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年辽宁省大连理工大学附属高级中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量，，满足，则x的值为（）A.-6 B. C. D.62.若角α的终边上有一点P（-3，m），且，则m=（）A.4 B.±4 C.-4 D.3.函数的图象可由函数y=tan2x的图象（）个单位得到.A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移4.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）A.

B.

C.

D.25.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（）A.

B.

C.

D.6.一艘船从A处出发，以40nmile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东30°的方向上，30min后船航行至B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离是（）A. B. C.20nmile D.7.已知α，β为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若m∥α，n⊥α，则m⊥n

B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β

C.若m∥n,m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

D.若α⊥β，α∩β=m,n⊂α，n⊥m,则n⊥β8.已知A（3，0），B（0，4），复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，，则的最小值为（）A.-6 B.-5 C.-4 D.3二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（）A.

B.在方向上的投影向量为

C.与的夹角为30°

D.

10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.y=f（x）的图象关于直线轴对称

B.f（x）在区间上单调递增

C.将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y=2sin

D.函数h（x）=f（x）-log2（x+1）在区间[0，π]上有且仅有一个零点

11.下列命题中，正确的是（）A.在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B

B.在锐角三角形ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tanα=2.且π＜α＜2π则的值等于

.13.已知cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，则cos（α-β）=

.14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知，则的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=1-2i（i为虚数单位）.

（1）若z•z0=2z+z0，求复数z0的共轭复数及|z0|；

（2）若z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根，求实数m的值.16.(本小题15分)

已知向量=（2，），=（cosθ，sinθ）.

（1）若，求|+|；

（2）若⊥，求.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=sinxcosx+.

（1）证明：f（x+π）=f（x）；

（2）求f（x）图象的对称中心；

（3）若α为锐角，且，求.18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D为A1C1的中点.

（1）求证：平面BCD⊥平面ACC1A1；

（2）已知，BC=4.

（i）求点B1到平面BCD的距离；

（ii）若点E在AB上，且A1E∥平面BCD，求的值.19.(本小题17分)

若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b+c=2acosB.

（1）求证：△ABC是倍角三角形；

（2）已知△ABC为锐角三角形，c=2.

（i）若△ABC的面积为1，求tanA；

（ii）若D点满足，求线段CD长度的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】（-1，1）

15.【答案】，；

2

16.【答案】解：（1）θ=时，=（，），

+=（，），所以|+|==；

（2）若⊥，则•=2cosθ+sinθ=0，

所以tanθ=-，tan（θ+）==-．

17.【答案】解：（1）证明：f（x）=

=

=，

可得f（x+π）==sin（2x+），

因此f（x+π）=f（x），得证；

（2）令2x+=kπ（k∈Z），解得，

所以f（x）图象的对称中心为（k∈Z）；

（3）已知，即，

因为α为锐角，即，

所以，

又因为，

所以，

所以，

因为2）=，

又因为，

所以，

则，

因为α为锐角，

所以，

所以．

18.【答案】解：（1）证明：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，所以C1C⊥BC，又AC⊥BC，且C1C∩AC=C，

所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面ACC1A1；

（2）（i）由（1）平面BCD⊥平面ACC1A1，平面BCD∩平面ACC1A1=CD，

在平面ACC1A1内过C1作C1F⊥CD于F，

则C1F⊥平面BCD，

又，BC=4，

所以根据等面积法可得C1F==，

即C1到平面BCD的距离为，

又B1C1∥BC，B1C1⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，

所以B1C1∥平面BCD，

所以B1到平面BCD的距离等于C1到平面BCD的距离，

故点B1到平面BCD的距离为；

（ii）取A1B1中点G，则易知BC∥DG，

所以平面BCD即为平面BCDG，

若点E在AB上，且A1E∥平面BCD，

又A1E⊂平面ABB1A1，且平面ABB1A1∩平面BCDG=GB，

所以A1E∥GB，又G为A1B1中点，

所以E为AB中点，

所以=．

19.【答案】解：（1）证明：因为b+c=2acosB，由正弦定理，得sinB+sinC=2sinAcosB，

又C=π-A-B，所以sinC=sin（A+B），

所以sinB+sin（A+B）=2sinAcosB，

即sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

整理得，sinB=sin（A-B），因为A，B为三角形内角，

所以B=A-B或B+（A-B）=π，即A=2B或A=π（舍去），

所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以△ABC是倍角三角形；

（2）（i）由（1）A=2B，又A+B+C=π，所以C=π-3B，

由正弦定理，得，c=2，则，

因为sin3B=sin（B+2B）=3sinB-4sin3B=sinB（3-4sin2B）=sinB（4cos2B-1），

所以，a=2bcosB，

由，

即2bcosBsinB=1，所以，

整理得，，即2sinA=2cosA+1，

两边平方得，4sin2A=4cos2A+4cosA+1，

所以8cos2A+4cosA-3=0，因为△ABC为锐角三角形，

解得，（舍去），

所以，所以；

（ⅱ）因为△ABC为锐角三角形，所以，即，

由正弦定理，得，即，

由（2）知si