3.4 圆周角（讲义）（解析版）

第三章圆3.4圆周角知识点一圆周角的定义1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。2.判定三要素：①顶点在圆上②两边是圆的弦③两边都与圆有交点3.区分圆心角与圆周角：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上。即学即练1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可．【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角，故选：B．2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中∠ACB是圆周角的是（

）A． B． C．D．【答案】A【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角．【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合，故选：A．知识点二圆周角定理1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。2.公式：∠3.关键前提：必须是同弧/等弧，不同弧不适用；必须在同圆或等圆中。即学即练1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，BD是⊙O的直径，A，C分别是圆周上的两个点，∠C=40°，则∠AOD的度数为（

）A．40° B．50° C．100° D．108°【答案】C【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出∠AOB的度数，再利用邻补角的性质求出∠AOD的度数．【详解】解：∵∠C与∠AOB分别是⊙O中弧AB所对的圆周角和圆心角∴∠AOB=2∠C∵∠C=40°∴∠AOB=2×40°=80°∵BD是⊙O的直径∴∠AOB+∠AOD=180°∴∠AOD=180°-80°=100°2．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，△ACB和△ACD均为⊙O的内接三角形，且AB为直径，若∠D=66°，则∠CAB的度数是（

）A．16° B．24° C．26° D．34°【答案】B【分析】根据圆内直径所对的圆周角为90°，同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠D，再利用三角形内角和180°，求出∠CAB的度数．【详解】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AC=AC，∴∠ABC=∠D=66°，∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-66°=24°．3．（2026·江苏盐城·二模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB=56°，则∠AOB的度数为____．【答案】112°/112度【详解】解：∵∠ACB=56°，AB⏜∴∠AOB=2∠ACB=112°．知识点三圆周角定理推论1.推论1：一条弧所对的圆心角的度数=弧的度数；一条弧所对圆周角度数=弧度数的一半。2.推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）；逆定理：90°的圆周角所对的弦是直径。（判断直径最重要方法）。3.推论3：同弧所对的所有圆周角相等；同一条弦对应两类圆周角：弦所对优弧、劣弧各对应一组圆周角，两角互补。即学即练1．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】D【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角∠BOC与圆周角∠A存在两倍的关系，由此可求出∠BOC的度数．【详解】解：∵根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，∴∠BOC=2∠A，∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°．2.（2026·安徽淮南·三模）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若AB=DE，求证：点B是DE的中点；(2)若CD=2,AB=8，求⊙O的半径r．【答案】(1)证明：∵DE=AB，∴AB∴AB∴∵OD⊥AB，OD是半径，∴AD∴∴B为DE的中点；(2)半径为5【分析】（1）由DE=AB得到AB=DE，进而有AD=BE，根据垂径定理得到（2）连接OA．设⊙O的半径为r，即OA=OD=r，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=4，进而根据勾股定理在【详解】（1）略（2）解：连接OA．设⊙O的半径为r，即OA=OD=r，∵OD⊥AB,AB=8，∴AC=BC=∵CD=2，∴OC=OD-CD=r-2在Rt△AOC中，AO∴r2=∴⊙O的半径为5．3．（2026·吉林长春·模拟预测）由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）(1)图①中，画出⊙O的圆心O．(2)图②中，在BC边上找到一点D，使得AD平分∠BAC；【答案】(1)解：如图，点O即为所求：(2)解：如图，点D即为所求：【分析】（1）由∠ACB为90°可得AB为直径，利用格点找出中点即可得到圆心；（2）利用格点找出BC的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即AG平分∠BAC，因此AG与BC的交点即为所求的点D．【详解】（1）图略.理由：∵∠ACB为90°∴AB为直径，∵AO=BO=∴点O为圆心；（2）图略．理由：∵OG⊥BC，∴CG⏜∴∠CAG=∠BAG，∴AD平分∠BAC．知识点四圆内接四边形性质1.定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。2.核心性质：①对角互补：圆内接四边形的两组对角之和均为180°；②外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角。即学即练1．（2026·山西阳泉·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D为AC的中点，连接AC，若∠B=60°，则∠ACD的度数为（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】首先由圆内接四边形对角互补求出∠D=180°-∠B=120°，然后利用D为AC的中点求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=60°∴∠D=180°-∠B=120°∵D为AC的中点∴∠ACD=∠A=12．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，⊙O是四边形AECD的外接圆．(1)尺规作图，过点E作AD的平行线，交CD于点F；(2)当∠AEC=120°时，①求证：四边形EBCF是菱形；②若⊙O的半径r=5，AD=8，则点O到CE的距离为_________．【答案】(1)如图，EF即为所求；(2)①证明：∵⊙O是四边形AECD的外接圆，∠AEC=120°，∴∠D=180°-∠AEC=60°，∠BEC=180°-∠AEC=60°，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC,AB∥CD，∠B=∠D=60°，∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=60°，∴△BEC为等边三角形，∴BE=CE，∵EF∥AD，∴EF∥BC，∵BE∥CF，∴四边形EBCF是平行四边形，又∵BE=CE，∴四边形EBCF是菱形；②3【分析】（1）以D为圆心，AE的长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，易得四边形AEFD为平行四边形，则EF∥AD；（2）①先证明四边形EBCF是平行四边形，再根据圆内接四边形的性质，得到∠D=60°，推出△BEC为等边三角形，得到BE=CE，即可得证；②求出CE的长，作OF⊥CE，连接OE，垂径定理结合勾股定理求出OF的长即可.【详解】（1）略（2）解：①略②∵平行四边形ABCD，∴BC=AD=8，由（1）知：△BCE为等边三角形，∴CE=BC=8，作OF⊥CE，连接OE，则OE=5,EF=1∴OF=OE2-EF2题型01利用圆周角定理求角度/（1）确定角所对应的同一段弧；（2）由圆心角求圆周角，或由圆周角反求圆心角；（3）结合三角形内角和、外角、对顶角、邻补角计算。典｜例｜精｜析1．（2026·云南普洱·二模）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=66°，则∠CBA的度数为（

）A．24° B．33° C．34° D．66°【答案】A【分析】利用圆周角定理求得∠ACB=90°，据此求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=66°，∴∠CBA=90°-∠BAC=24°．2．（2026·山西太原·三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，已知∠BAD=60°，∠BOC=110°，则∠AED的度数为（

）A．110° B．85° C．70° D．60°【答案】B【分析】先根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，再运用圆周角定理得到∠ADC=1【详解】解：∵∠BOC=110°，∴∠AOC=180°-∠BOC=70°，由圆周角定理得，∠ADC=1∵∠BAD=60°，∴∠AED=180°-∠ADC-∠BAD=180°-35°-60°=85°B．变｜式｜巩｜固1．（2026·河南南阳·三模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上弦AB上方的一点，连接BD，CD．若∠OAB=18°，则∠D的度数为（

）A．32° B．34° C．36° D．38°【答案】C【分析】等边对等角结合三角形的内角和定理，求出∠AOB的度数，三线合一得到∠BOC的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果.【详解】解：由题意，OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=18°，∴∠AOB=180°-2×18°=144°，∵OC⊥AB，∴∠BOC=1∴∠D=12∠BOC=36°2．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，在⊙O中，∠A=30°，则∠BOC的度数为____________°．【答案】60【详解】解：∵BC⏜∴∠BOC=2∠A=60°．3．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC，若∠A=16°，则∠D的大小为______【答案】58°/58度【分析】由平行线的性质得∠ACB=∠A=16°,∠AOB=∠B，利用圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，求出∠AOB=2∠ACB=32°，由圆周角定理得∠BCD=90°，即可求出∠D=90°-∠B=58°．【详解】解：∵BC∥OA，∴∠ACB=∠A=16°,∠AOB=∠B，∴∠AOB=2∠ACB=32°，∴∠B=32°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠D=90°-∠B=58°．4．（2026·广东清远·一模）如图，在⊙O中，A，B，C为圆周上三点，且∠C=45°，若AB=2，则⊙O的面积为_____．【答案】2π【分析】连接OA,OB，根据圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，判定△AOB为等腰直角三角形，利用勾股定理求出半径的平方，最后利用圆的面积公式求解．【详解】连接OA,OB，∵∠C与∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角，∴∠AOB=2∠C，∵∠C=45∴∠AOB=90∵OA,OB为⊙O的半径，∴OA=OB，在Rt△AOB中，由勾股定理得O设⊙O的半径为r，则2r∴r2∴⊙O的面积为πr5．（2026·安徽安庆·一模）如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，连接AD，CD．若∠OCD=32°，则∠A的度数是______．【答案】13°【分析】连接OD，根据等边对等角可得∠ODC=∠OCD=32°，再根据三角形内角和定理可得∠COD=116°，结合OC⊥AB可求出∠DOB=26°，最后根据圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OD，如图，则OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=32°，在△OCD中，∠COD=180°-∠OCD-∠ODC=180°-32°-32°=116°，∵OC⊥AB，∴∠COB=90°，∴∠DOB=∠COD-∠COB=116°-90°=26°，∴∠A=1题型02利用圆周角定理求长度/（1）识别相等的圆周角，证明三角形全等；（2）结合全等性质（对应边相等）计算线段；（3）出现直径时，构造直角三角形，用勾股定理求解弦、线段长度；（4）结合垂径定理、切线性质综合计算。典｜例｜精｜析1．（2026·福建福州·三模）如图，AC、BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC、BC的中点，⊙O的半径为4．若∠C=45°，则DG的长为（

）A．22 B．3 C．23 D【答案】A【分析】连接OA,OB，根据圆周角定理得出∠AOB=90°，利用勾股定理求出AB=42【详解】解：如图，连接OA,OB，∵∠C与∠AOB所对的弧为AB⏜，且∠C=45°∴∠AOB=2∠C=90°，∵OA=OB=4，∴由勾股定理得AB=O∵D、G分别为AC、BC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∴DG=12．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，A,B,C是半径为6的⊙O上的三点，若∠C=30°，则弦AB的长为___________．【答案】6【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握同弧所对的圆心角是圆周角的2倍是解题的关键．连接OA、OB，利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠AOB的度数，再根据OA=OB判断△AOB的形状，最后结合圆的半径求出弦AB的长度．【详解】解：∵连接OA、OB，∵∠∴∠∵OA=OB=6，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=6，故答案为：6变｜式｜巩｜固1．（2026·湖南长沙·二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若OE=2，∠ACB=45°，则AB=（

）A．2 B．2 C．22 D．【答案】D【分析】连接OA,OB，证明OE是AB边的中线，结合AB=2OE解答即可．【详解】解：连接OA,OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB，OD⊥AB，∴OE是AB边的中线，∴AB=2OE=4．2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，⊙O中，AB是直径，BD、CD是弦，若∠BCD=30°,BD=1，则直径AB的长为【答案】2【分析】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，连接OD，证明△OBD是等边三角形，得到OB=OD=BD=1，即可得到AB的长．【详解】解：连接OD，∵∠BCD=30°,∴∠BOD=2∠BCD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB=OD=BD=1，∴直径AB的长为2，故答案为：23．（2026·陕西延安·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，连接AD，OC．如果∠A=30°，OC=4，那么CD的长是________．【答案】4【分析】根据垂径定理得到BC=BD及CD=2CE，进而求出∠BOC的度数，最后在Rt△OEC中利用勾股定理或含30【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC=BD，∵∠A=30°，∴∠在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴∠∵OC=4，∴OE=1由勾股定理得CE=O∴CD=2CE=434．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=67.5°，且AB=2AD，AB=12，则⊙O半径的长为【答案】6【分析】连接OA，OB，OD，根据∠BOD=2∠BCD=2×67.5°=135°，AB=2AD，得到∠AOB=90°，设⊙O半径为r，由OA2【详解】解：连接OA，∵∠BCD=67.5°，∴∠BOD=2∠∵AB=2∴∠AOB=2∠AOD，∵∠AOB+∠AOD=∠BOD，∴∠AOB=90°，设⊙O半径为r，∵OA2+O∴r2解得r=62，r=-6因此半径为625．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC=6,BC=8，求BD的长．【答案】5【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接AD，由直径对的圆周角是直角，得∠ACB=∠ADB=90°；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得AD=BD，从而在Rt△ABD【详解】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AC=6,BC=8∴AB=∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD，∴AD∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD2∴2BD∴BD=52题型03直径所对圆周角推论/（1）题干出现直径：优先连接直径端点与圆上点，构造直角三角形；（2）题干出现圆上的直角：直接判定直角所对弦为直径；（3）结合直角三角形两锐角互余、勾股定理、全等/相似三角形解题。典｜例｜精｜析1．（2026·贵州遵义·二模）小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格．2．（2026·四川绵阳·一模）如图，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合放置，∠ACB=90°，点M为AB上任意一点，连接CM并延长交半圆于点N，连接BN，若∠ABC=40°，则∠BNC的度数为（

A．60° B．55° C．50° D．30°【答案】C【分析】根据∠ACB=90°，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB重合，可知点C在以点O为圆心的圆上，由∠ABC=40°，得∠BAC=50°【详解】解：∵∠ACB=90°，Rt△ACB的斜边与半圆的直径AB∴点C在以点O为圆心的圆上，∵∠ABC=40°，∴∠BAC=180°-40°-90°=50°，∵CB⏜∴∠BNC=∠BAC=50°．变｜式｜巩｜固1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，AD，BD，BC，若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=（

）A．45° B．55° C．60° D．65°【答案】B【分析】由题意易得∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=40°，然后可得∠DAB=90°-∠ABD=50°=∠BCD，进而根据三角形外角的性质进行求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=∠ACD=40°，∴∠DAB=90°-∠ABD=50°=∠BCD，∵∠AEC=∠BCD+∠CBE=65°，∴∠CBE=65°-∠BCD=15°，∴∠CBD=∠ABD+∠CBE=55°．2．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙O的直径为25寸，矩形ABCD内接于⊙O，若AB=7寸，则BC=______寸．【答案】24【分析】连接AC，由矩形的性质得∠ABC=90°，即得AC是⊙O的直径，再利用勾股定理解答即可求解．【详解】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=25寸，∵AB=7寸，∴BC=AC2-A3．（2026·陕西西安·三模）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，连接AB，AC，BC，若∠BAC=70°，则∠CBD的度数是__________．【答案】20°【分析】连接CD，构造出直角三角形，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，利用三角形内角和计算∠CBD的度数．【详解】解：连接CD，，∵BD是⊙O直径，∴∠BCD=90°，∵BC⏜∴∠BAC=∠BDC=70°，∴∠CBD=180°-90°-70°=20°．4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC=6,BC=8，求BD的长．【答案】5【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接AD，由直径对的圆周角是直角，得∠ACB=∠ADB=90°；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得AD=BD，从而在Rt△ABD【详解】解：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AC=6,BC=8∴AB=∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD，∴AD∴AD=BD，∴在Rt△ABD中，AD2∴2BD∴BD=525．（2026·安徽·三模）如图，在△ABC中，AC=BC，以AC为直径作⊙O交AB于点D，延长BC交⊙O于点E，连接DE．(1)求证：DE=AD；(2)已知DE=8，AD-CD=2，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析(2)⊙O的半径为5【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形的性质可得，AD=BD，∠CAB=∠B，由圆周角定理可得∠CAB=∠CED，则∠CED=∠B，因此DE=BD=AD；（2）结合（1）的结论可得，AD=DE=8，∠ADC=90°，CD=AD-2=6，使用勾股定理计算出AC，进而求出⊙O的半径．【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AC=BC，∴AD=BD，∠CAB=∠B，∵CD=∴∠CAB=∠CED，∴∠CED=∠B，∴DE=BD，∴DE=AD；（2）解：由（1）可得，AD=DE=8，∠ADC=90°，∵AD-CD=2，∴CD=AD-2=6，在Rt△ACD中，AC=∴⊙O的半径为5．题型04同弧/等弧圆周角综合计算/（1）找准同一段弧/等弧，直接对等角进行等量代换；（2）结合圆周角与圆心角的倍数关系（同弧所对圆周角=12（3）多条弧、多个角混杂时，统一以公共弧为桥梁，逐步推导角度。典｜例｜精｜析1．（2026·广西柳州·二模）如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE．(1)求证：CE=CD；(2)若AE⏜所对圆心角的度数为108°，求∠E【答案】(1)见解析(2)27°【分析】（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，根据AC=CD，得出BA=BD，则∠A=∠D，根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠CED，进而可得∠CED=∠D，即可证明CE=CD；（2）连接OE，依题意∠AOE=108°，根据圆周角定理可得∠ACE=54°，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AD．又∵AC=CD，∴BA=BD，∴∠A=∠D．∵∠A=∠CED，∴∠CED=∠D，∴CE=CD．（2）解：如图，连接OE∵∠AOE=108°，∴∠ACE=54°．∵∠ACE=∠CED+∠D, ∴∠CED=12．（2025·河南·三模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB=AC，连接BO并延长交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)猜想OA与CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)OA∥CD，理由见解析【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，证明∠ABC=∠ADB；（2）根据垂径定理得到∠BAO=∠CAO，根据圆周角定理得到∠ABO=∠ACD，得到∠CAO=∠ACD，根据平行线的判定证明即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由圆周角定理得：∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ADB；（2）解：OA∥CD，理由如下：∵AB=AC，即AB∴AO⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∴∠ABO=∠CAO，由圆周角定理得：∠ABO=∠ACD，∴∠CAO=∠ACD，∴OA∥CD．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接BD，延长AC，BD相交于点E，求证：AB=AE．【答案】见解析【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点．由AB是直径得到∠ADB=90°，则∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90°．再由角平分线得到∠BAD=∠EAD，那么∠ABD=∠E，即可得到AB=AE．【详解】证明：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BE，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，∴∠ABD=∠E，∴AB=AE．2．（2026·河南周口·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点E，交⊙O于点D，连接CD、(1)求证：∠ABD=∠ACD；(2)若AB=10,AC=8，求CD的长．【答案】(1)证明：∵AD=∴∠ABD=∠ACD；(2)2【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可；（2）求出AE=CE=12AC=4，DE=OD-OE=2【详解】（1）略（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∵AB=10,AC=8，∴BC=AB2∵OD⊥AC于点E，∴AE=CE=1∴OE是△ABC的中位线，∴OE=1∴DE=OD-OE=2，在Rt△CDE中，∠CED=90°,DE=2,CE=4∴CD=3．（2026·广东江门·三模）如图，经过A，B两点的优弧与海岸线AB围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接AC交优弧于D．(1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线AB最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与说理：连接AE,BE，测得∠AEB=60°，若要使船C不会进入暗礁区，则∠ACB的大小应保持在什么范围内？【答案】(1)如图所示，点E即为所求；(2)0°<∠ACB<60°【分析】（1）过点O作AB的垂线，与优弧AB的交点即为所求；（2）连接BD，则由圆周角定理可得，∠ADB=∠AEB=60°，要使得船C不会进入暗礁区，则点C在优弧AB外即可，再由三角形的外角性质求解即可．【详解】（1）略（2）解：如图，连接BD，则由圆周角定理可得，∠ADB=∠AEB=60°要使得船C不会进入暗礁区，则点C在优弧AB外即可，∵∠ADB>∠ACB∴0°<∠ACB<60°．4．（2026·浙江宁波·二模）单规作图问题：如图1，已知直线l及直线l外一点P，只用一把圆规画一点Q，使得P，Q所在直线与直线AB平行．下面是小尹设计的作图过程．①如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；②以点A为圆心，截取AP长；③以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；则点Q就是所求作的点．(1)根据小尹设计的单规作图过程，补充完成下面的证明．证明：连接AP，BQ，作直线PQ；(2)小周认为“在直线l上取点O时，OP不能垂直于l，否则所作点Q不满足题意．”你认为他说得对吗？请谈谈你的理解．【答案】(1)证明：连接AP，BQ，作直线PQ，连接BP，由作图步骤可知，AP=BQ，∴AP∴∠ABP=∠QPB，∴PQ∥AB；(2)小周说得对，理由如下：∵AP=BQ，∴AP若OP⊥l，则∠AOP=∠BOQ=90°，即点P，Q重合，∴无法作出直线使其与AB平行，即点Q不是所求作的点．【分析】（1）连接BP，根据弧与弦的关系得到AP⏜=BQ（2）根据圆周角定理、垂直的定义求解即可．【详解】（1）略（2）略5．（2026·安徽安庆·二模）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为CD的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F．(1)求证：BF＝(2)若AB＝4，BD＝【答案】(1)证明见解析(2)BE＝4【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质．（1）由垂直关系得出∠EBC＝∠A，再由B为CD的中点得出∠DCB＝∠A，从而（2）由SΔABC=12AC·BE=1【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∴∠A＝∵BE⊥AC，∴∠CEB＝∴∠EBC＝∴∠EBC＝∵B为CD的中点，∴BD=∴∠DCB＝∠A∴∠EBC＝∴BF＝（2）解：∵B为CD的中点，BD＝∴BD=∴BC＝∵AB＝4，由（1）知∴在Rt△ABC中，AC在Rt△ABC中，由等面积法，得S∴12∴BE＝题型05圆内接四边形/（1）核心性质：①对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为180∘；②外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。典｜例｜精｜析1．（2026·重庆·二模）如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠ADC=80°，则∠ABC的度数是（

）A．80° B．100° C．120° D．160°【答案】B【分析】先判断四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠ADC+∠ABC=180°，代入∠ADC的度数即可求解．【详解】解：∵点A,B,C,D在⊙O上，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°．2．（2026·安徽合肥·二模）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点E是劣弧AC上的点（不与点A，C重合），连接BE并延长至点G，连接AE并延长至点F．连接CE．(1)求证：EF平分∠GEC；(2)若BC=16，△ABC的面积为128，求⊙O的半径．【答案】(1)详见解析(2)10【分析】（1）由四边形ABCE为⊙O的内接四边形得∠ABC+∠AEC=180°，又∠CEF+∠AEC=180°，故∠ABC=∠CEF，由于AB=AC，故∠ABC=∠ACB=∠AEB，又∠AEB=∠GEF，故∠GEF=∠CEF，即EF平分∠GEC；（2）过点A作AH⊥BC于点H，由于AB=AC，故AH为BC的垂直平分线，故点O在AH上，又BC=16，故BH=HC=12BC=8，因为S△ABC=128，即12AH⋅BC=128，所以AH=16，设OB=OA=r，则OH=AH-OA=16-r，在Rt△BOH中，由勾股定理得OB2【详解】（1）证明：∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°，又∵∠CEF+∠AEC=180°，∴∠ABC=∠CEF，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠AEB，又∵∠AEB=∠GEF，∴∠GEF=∠CEF，∴EF平分∠GEC；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴AH为BC的垂直平分线，∴点O在AH上，又∵BC=16，∴BH=HC=1∵S△ABC=128∴12AH×16=128设OB=OA=r，则OH=AH-OA=16-r，在Rt△BOH中，由勾股定理得OB2解得r=10，∴⊙O的半径为10．3．（2026·江苏泰州·二模）四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°．(1)如图1，经过A、B、C三点作⊙O，求证：点D在⊙O上；(2)如图2，连结AC、BD，若AC⊥BD，求证：AB=AD．【分析】（1）连接AC，由∠ABC=90°，且⊙O经过A、B、C三点，得到AC为⊙O直径，再根据∠ADC=90°，得到点D在⊙O上．（2）取AC中点O，连接OB，OD，由直角三角形斜边中线得到OB=OD=12AC，即可得到AC垂直平分BD【详解】(1)证明：连接AC，∵∠ABC=90°，且⊙O经过A、B、C三点，∴AC为⊙O直径，∵∠ADC=90°，∴点D在⊙O上．(2)证明：取AC中点O，连接OB，OD，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴OB=OD=∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD∴AB=AD．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形ADBC的四个顶点均在⊙O上，AB=AC，若D是AB的中点，且DE=2，AC=8，则⊙O的半径为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接AO，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得AE=BE=1【详解】解：连接AO，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OE=r-2，∵AB=AC，AC=8，∴AB=8，∵D是AB的中点，∴OD⊥AB，∴AE=BE=1在Rt△AOE中，r-2解得r=5，即⊙O的半径为5，故选：C．2．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点B是劣弧AC的中点，∠ADC=70°，连接AC，则∠BAC的度数为________°．【答案】35【分析】首先利用圆内接四边形对角互补求出∠B，然后利用等弧所对的圆周角相等求解．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=70°∴∠B=180°-∠D=110°∵点B是劣弧AC的中点∴∠A=∠C=13．（2026·河南周口·一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，△ABC为等边三角形．(1)尺规作图：过点B作BM∥CD，交DA的延长线于点M．(2)求证：MA=CD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题干要求作图即可；（2）由等边三角形的性质可得∠CAB=∠ABC=60°，由圆周角定理可得∠CDB=∠CAB=60°，由平行线的性质可得∠CDB=∠MBD=60°，从而即可得出∠DBC=∠MBA，由圆内接四边形的性质可得∠DCB=∠MAB，再证明△MAB≌△DCBASA【详解】（1）解：尺规作图如下：步骤一：以点C为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线CD于点E，交线段BC（或射线CB）于点F；步骤二：以点B为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线BC于点G（使得BG=CF，即点G在射线BC上且BG等于步骤一中的半径）；步骤三：以点G为圆心，以线段EF的长为半径作圆弧，交步骤二中所作的圆弧于点H（取与点E位于直线BC相反侧的交点）；步骤四：过点B和点H作直线，则直线BH即为所求的过点B且平行于CD的直线，交DA的延长线于点M．原理：由作图可知，△CEF≌△BGHSSS，故∠ECF=∠GBH，内错角相等，所以BH∥CD（2）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠ABC=60°，∵BC∴∠CDB=∠CAB=60°，∵CD∥BM，∴∠CDB=∠MBD=60°，∴∠ABC=∠MBD=60°，∴∠ABC-∠ABD=∠MBD-∠ABD，即∠DBC=∠MBA，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCB=180°-∠BAD=∠MAB，∵在△MAB和△DCB中，∠MBA=∠DBCAB=CB∴△MAB≌△DCBASA∴MA=CD．4．（2026·安徽宿州·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD于E，AC平分∠BAD，延长CE交⊙O于F，BF分别交AC，AD于G，H．(1)求证：AB=AH；(2)若∠BCD=140°，求∠AHF的度数．【答案】(1)见解析(2)110°【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACF=∠ABF,∠BAG=∠HFE，证明∠ABF=∠AHB，即可得到结论．（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD=40°，根据等腰三角形的性质得到∴∠ABH=∠AHB=70°，根据补角的定义即可得到答案．【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAH，∵CE⊥AD，∴∠GAH+∠ACF=90°,∠HFE+∠FHE=90°，∵∠ACF和∠ABF是AF所对的圆周角，∠BAG和∠HFE是BC所对的圆周角，∴∠ACF=∠ABF,∠BAG=∠HFE，∴∠GAH=∠HFE，∴∠ACF=∠FHE，∴∠ABF=∠FHE，∵∠FHE=∠AHB，∴∠ABF=∠AHB，∴AB=AH；（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD=140°，∴∠BAD=40°，∵AB=AH，∴∠ABF=∠AHB=70°，∴∠AHF=180°-∠AHB=110°．5．（2026·江苏