3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第3课时）教学课件

第三章圆3.5点与圆、直线与圆的位置关系（3）学

习

目

标12理解并掌握圆的切线判定定理和性质定理．能根据题目条件识别切线的判定定理或性质定理的应用场景，并正确运用定理进行推理．3掌握“连半径；作垂直”的基本辅助线作法，能综合运用圆的相关知识解决问题．知识回顾直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？直线与圆的位置关系

图形

相

交相

切

相

离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系d＜rd＝rd＞r新知探究如何过圆上的一点作圆的切线？

根据直线与圆的三种位置关系，我们知道，如果经过一条半径

OD的外端

D作OD

的垂线

l，那么圆心

O到直线

l的距离

OD等于圆的半径r，所以直线

l与圆

O相切，D为切点．OlrD新知归纳于是，我们得到圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．条件1条件2ODlr∵

OD为⊙O的半径，OD⊥直线

l于点

D，∴

直线

l为⊙O的切线．符号语言：注：这两个条件与“d＝r”的条件在本质上是相同的，仅是说法不同而已．新知探究

反过来，已知直线

l是⊙O的切线，切点为

D，

OD和直线

l有什么位置关系？ODlr

直线

l与⊙O相切，则OD＝r，而OD为圆心

O到直线

l的距离，所以

OD⊥l．新知归纳由此可得圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．ODlr∵

直线

l与⊙O相切于点

D，∴

OD⊥直线l．符号语言：讨论交流定理类型已知条件推导结论用途判定定理性质定理半径＋垂直（过半径外端点）该直线是圆的切线证明“相切”直线是圆的切线半径⊥切线(过切点)得到“直角”圆的切线的判定定理和性质定理的条件和结论有什么不同？用途是什么？例题讲解例3如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠BAD＝∠ACB，

判断直线

AD与

⊙O的位置关系，并说明理由．DOABC解：直线

AD与☉O相切．理由如下：

∵

AC是☉O的直径，∴∠ABC＝90°．∴∠ACB＋∠BAC＝90°．

∵∠BAD＝∠ACB，∴∠BAD＋∠BAC＝90°，

即∠DAC＝90°，

∴AD⊥AC．∴直线AD与☉O相切（圆的切线判定定理）．证明“相切”，用判定定理例题讲解变式

△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠BAD＝∠ACB，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．DOABCE解：直线AD与⊙O相切．理由如下：连接AO并延长交☉O于E，连接BE，则AE为☉O的直径．∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°．∵∠E＝∠ACB，∠BAD＝∠ACB，∴

∠E＝∠BAD，∴∠BAE＋∠BAD＝90°．即∠DAE＝90°，∴AD⊥AE．∴直线AD与⊙O相切.连半径，证垂直新知巩固1．如图，P是⊙O外一点，以

OP为直径作圆，与⊙O相交于

A，B

两点．连接

PA，PB．求证：

PA，PB是⊙O的切线．OABP证明：∵

OP是⊙O的直径，∴

∠OAP＝90°．

同理，∠OBP＝90°．

∴

OA⊥AP，OB⊥BP．

∵

OA，OB是⊙O的半径，

∴

PA，PB是⊙O的切线（圆的切线判定定理）新知巩固2．如图，直线AB经过⊙O上一点

C，且

OA＝OB，CA＝CB．直线

AB与⊙O相切吗？为什么？OABC解：直线AB与⊙O相切．理由如下：

连接

OC．

∵

OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB．∵点

C在⊙O上，∴直线

AB与⊙O相切．例题讲解例4如图，AB是⊙O的直径，弦

AD平分∠BAC，过点

D的切线交AC于点

E．

求证：DE⊥AC．●

OBADCE解：连接OD．

∵

DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD(圆的切线性质定理)，

即∠ODE＝90°．

∵

OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．

∵AD

平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD．∴∠ODA＝∠CAD．∴OD∥AC．∴∠ODE＋∠AED＝180°．∵∠ODE＝90°，∴∠AED＝90°．∴DE⊥AC．见切线，连半径，得垂直新知巩固1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于

点P．PA与

PB相等吗？为什么？ABPO证明：连接OP．

∵

AB是小圆的切线，P为切点，∴OP⊥AB．

∵

AB是大圆的弦，

OP⊥AB，∴PA＝PB．新知巩固BAC●

OD2．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点

B的切线交

AD

的延长线于点

C．已知

AD＝DC．求∠ABD的大小．

新知巩固3．如图，AB

是⊙O

的直径，AC是⊙O

的弦，过点

C

的切线交

AB

的延长线于点

D．若∠D＝30°．求∠A

的大小．BAC●

D

O解：连接OC．

∵

CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD，

∴∠OCD＝90°．

∵∠D＝30°，

∴∠COD＝60°．

∵

OA＝

OC，

∴∠A＝∠ACO．

∵

∠COD＝∠A＋∠ACO，

∴60°＝2∠A．

∴∠A＝30°．能力提升┛1．如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D．AB与以点

P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？BCDPAE┛证明：过点P作PE⊥AB，垂足为E.∵AP是∠BAC的平分线，PD⊥AC，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵PD是⊙P半径，∴AB与以点P为圆心、PD为半径的圆相切．作垂直，证半径能力提升┛2．如图，已知Rt△ABC(∠C＝90°)．作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切(不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由)．BCA┛O过点O作OD⊥AB，垂足为D，由BO平分∠ABC，得OD＝OC，从而⊙O与AB所在直线相切．又由作图可知⊙O与BC所在直线相切，⊙O为满足条件的圆．解：作∠ABC的平分线，交AC于点O；以点O为圆心，OC为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆.D备用练习1．如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点

D

恰使∠ADC＝∠B，

求证：直线CD与⊙O相切．

OBACD证明：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°，

即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD，∵OD是⊙O的半径，

∴直线CD与⊙O相切．备用练习2．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．

判断△CBP的形状，并说明理由．●AOBCP证明：连接OB.

∵

BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC．

∴

∠OBA＋∠PBC＝90°．

∵

OC⊥OA，∴∠OAB＋∠APO＝90°．

∵

OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．

∴∠PBC＝∠APO．