3.3 圆的对称性（基础达标）（解析版）

3.3圆的对称性题型一弧、弦、圆心角间的关系1．如图，在扇形OAB中，点C在AB上，连接OC，AC，BC，∠ACB=132°．若∠BOC=2∠AOC，则AC的度数为（

）A．16° B．24° C．32° D．36°【答案】C【详解】解：∵AO=OC,OC=OB，∴∠OCA=∠OAC,∠OCB=∠OBC，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OAC+∠OBC，∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB=360°，∴∠AOB+2∠ACB=360°，∴∠AOB=360°-2∠ACB=96°，∵∠BOC=2∠AOC，∴∠AOC=1则AC的度数为32°．2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=150°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（

）A．75° B．37.5° C．30° D．60°【答案】B【详解】解：如图，连接OB，∵点B是AC的中点，∴AB=∴∠AOB=∠BOC=1∵∠AOC=150°，∴∠AOB=75°，∴∠D=13．如图，射线AM交一圆于点B,C，射线AN交该圆于点D,E，且BC=(1)求证：AC=AE(2)利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN【答案】见解析【详解】(1)证明：如图，作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO，∵BC=∴BC=DE，∵OP⊥AM，OQ⊥AN∴BP=1∵OB=OD，∴Rt∴OP=OQ，∵AO=AO，∴Rt∴AP=AQ，∵CP=EQ，∴AP+CP=AQ+QE，即AC=AE；(2)解：作图如下：证明：∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，∴∠ECM=∠CEN，∵AF是CE的垂直平分线，∴CF=EF，∴∠FCE=∠FEC=1∴EF平分∠CEN．4．如图，AB是直径，BC⏜=CD⏜=【答案】60°【详解】解：∵BC⏜=∴∠DOE=∠DOC=∠BOC=40°，∵AB是直径，∴∠AOE=180°-∠DOE+∠DOC+∠BOC题型二求圆弧的度数1．已知AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE=40°，则BD的度数是（

A．70° B．110° C．40° D．70°或110°【答案】D【详解】如图，∵OC=OE，∴∠1=∠2，∵∠COE=40°，∴∠1=∠2=1∵弦CE∥∴∠AOE=∠2=70°，∴∠BOD=∠AOC=∠COE+∠AOE=110°∴BD的度数是110°；如图，∵OC=OE，∴∠C=∠E，∵∠COE=40°，∴∠C=∠E=1∵弦CE∥∴∠AOC=∠C=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°∴BD的度数是70°；综上可知：BD的度数是70°或110°，故选：D．2．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，且D为BC的中点，若∠CBA=50°，则∠BCD等于（

）A．40° B．30° C．25° D．20°【答案】D【详解】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=50°，∴∠A=90°-∠CBA=40°，∵四边形ABDC是半⊙O的内接四边形，∴∠BDC=180°-∠A=140°，∵D为BC的中点，∴CD=∴CD=BD，∴∠BCD=∠DBC=1故选：D．3．如图，在扇形AOB中，点C、D在AB上，连接AD、BC交于点E，若∠AOB=110°，CD的度数为40°，则∠DEB=______°．【答案】35【详解】解：∵∠AOB=110°，∴AB的度数为：110°，∵CD的度数为40°，∴AC,BD的度数和为：∵∠ABC,∠DAB分别是AC,∴∠DEB=∠ABC+∠DAB=1故答案为：35．4．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB,CE⏜的度数为70°，则BD⏜的度数为【答案】55【详解】解：如图所示，连接OE，∵CE⏜∴∠COE=70°，∵OC=OE，∴∠OCE=180°-70°∵CE∥AB，∴∠AOC=∠OCE=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°，∴BD⏜的度数为55°故答案为：55．题型三利用垂径定理求值1．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=6cm，则球的半径为（

）A．154cm B．4cm C．17【答案】A【详解】解：如图，取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，∵M是EF的中点，MN⊥AD于点M，∴MN经过球心O，∴取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∵MN⊥AD，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=6cm设OF=ON=xcm，∴OM=MN-ON=6-x∵MF=1∴在直角三角形OMF中，OM2+M解得：x=15∴球的半径为1542．如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦AB的长为8cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=8cm，则球的半径为（

A．5cm B．4cm C．8cm【答案】A【详解】解：设圆的圆心为点O，如图，连接OA，由题意得，DC⊥AB，∴AC=BC=1设半径为rcm，即OA=OD=r则OC=CD-OD=8-r在Rt△AOCAC2+O解得r=5，∴球的半径为：5cm3．如图，AB是⊙O的直径，且AB=8，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点E．若D为OB中点，则CE的长为____________．【答案】4【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，且AB=8，CD⊥AB，∴OA=OB=OC=4，CE=2CD，∵D为OB中点，∴DO=1根据勾股定理，得CD=O∴CE=2CD=434．如图，在∠AOB中，按下列步骤作图：①在OA边上取一点C，以C为圆心，OC长为半径画⊙C，交OB于点D；②分别以O, D为圆心，大于12OD长为半径画弧，两弧交于点G，连接CG交OD于点E，交⊙C于点F，若OC=5, OD=8【答