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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题02命题与常用逻辑

基础知识复习

1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为

假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且qp

p是q的必要不充分条件pq且q⇒⇏p

p是q的充要条件⇏p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件pq且qp

⇏⇏

【知识拓展】

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条

件又可以叙述为:

(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;

(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;

(3)若A=B,则p是q的充要条件;

(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;

(5)若A⊆B,则p是q的必要不充分条件;

(6)若A⊇B且A⊊B,则p是q的既不充分也不必要条件.

典型习⊊题强化

1.若x,y为实数,则“”是“”的()

11

�<�22

A.充分不必要条件B.必要不充log分�条>件logC�.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由题意可知当时,满足,但不满足;

11

�=−2,�=1�<�log2�>log2�

由,得,满足,

11

log2�>log2��>�>0�<�

所以“”是“”的必要不充分条件,

11

�<�22

故选:B.log�>log�

2.命题“,”的否定是()

A.∀�∈,��>sin�B.,

C.∃�0∈�,�0<sin�0D.∃�0∉�,�0≤sin�0

【答∀案�】∈D��≤sin�∃�0∈��0≤sin�0

【解析】

对于全称量词的否定是特称量词,并对结果求反,

即;

故选∃�:0∈D.�,�0≤sin�0

3.已知集合,的一个必要条件是,则实数的取值范围为()

�−2

�+1

A.�={�|B≤.0}�∈�C.�≥�D�.

【答�案<】0C�≥2�≤−1�≥−1

【解析】

解不等式,即,得,

�−2

(�+1)(�−2)≤0

�+1≤0−1<�≤2

故�,+1≠0

所以�={�|的−一1<个�必≤要2条}件是,

�∈��≥�

则对于A,,不一定是的子集,A错误;

对于B,�<,0�={�|−1<�≤2不}是[�的,+子∞集),B错误;

对于C,�≥2,�={�|−1<�≤2}是[�,+∞)的子集,C正确;

对于D,�≤−1,�={�|−1<�≤2不}一[定�,是+∞)的子集,比如时,D错误;

故选:C�≥−1�={�|−1<�≤2}[�,+∞)�=0

4.下列命题正确的是()

A.命题“若,则”的否命题为“若,则”

22

B.若给定命�题−3�+2=,0�=2,则�−,3�+2=0�≠2

22

C.已知�:∃�∈,R�+�−1<0¬�:∀�,∈则R是�的+充�分−必1>要条0件

�+1

D.若�:−为1假<命�题<,2则�,:2都为+假log命2题�+2<10��

【答案�】∨D���

【解析】

命题“若,则”的否命题为“若,则”,A错;

22

命题�−3,�+2=0�=的2否定是,�−3�+2≠,0B错�;≠2

22

易知函�:∃数�∈R�+�−1<0在定义∀�域∈内R是增�函+数�,−1≥0,,

�+1

所以�(�)=2时,+log2(�+2)满足�(−1)=1�(2)=,10

�+1�+1

但−1<�<21<2时,+log2�+2不<满1足02+l,og因2此�+题2中应<不10充分不必要条件,C错;

�+1

2为假+l命og题2,�+则2,<1都0为假命−题2<,�若<2中有一个−1为<真�,<则2为真命题,D正确.

�故∨选�:D.���,��∨�

5.已知条件直线与直线平行,条件,则是的()

2

A.充要条件�:�+2�−1=0��+B.�充+分1不�必−要1条=件0�:�=1��

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

当直线与直线平行时,

2

�+2,�−解1得=0,��+�+1�−1=0

2

��+11

当1=2≠时1,直线�=−2与直线重合,

2

所以�=是1的既不充�分+也2�不−必1要=条0件,��+�+1�−1=0

故选:�D�

6.设,则“”是“”的()

A.充�分,�不∈必R要条件|�|+B.1≤必�要不充|�分+条�|件≥1C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

,所以充分性成立,

�当≥|�|+,1⇒|�+时�,|≥满|足�+|�|+1|≥,1但不成立,所以必要性不成立.

所以�=“0�=−5”是“|�+�”的|≥充1分不必|�要|+条1件≤.�

故选:|�A|.+1≤�|�+�|≥1

7.已知,则“且”是“”的()条件.

A.充分�不,�必∈要��B.<必1要不�充<分2�+C.�充<要3D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

解:充分性:若,则,充分性得证;

必要性:若�<1,,�取<2,�+�满≤足�条+件�,<但3不能得出,

故为非必要条�件+;�<3�=2�=0.5�<1,�<2

综上所述,“”是“”的充分不必要条件,

故选:A.�<1,�<2�+�<3

8.“”是“”的()

1

log2(�+2)<0

A.�充>要1条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

当时,可得,可得,即充分性成立;

1

�>1�+2>3log2�+2<0

反之:当时,可得,解得,所以必要性不成立,

1

log2(�+2)<0�+2>1�>−1

综上可得“”时“”的充分不必要条件.

1

log2(�+2)<0

故选:B.�>1

9.设命题,则为()

1

�:∃�0<0,�0+2022>0¬�

A.B.

11

∀�0≥0,�0+2022≤0∀�<0,�+2022≤0

C.D.

11

0020222022

【答∃案�】<B0,�+≤0∀�≥0,�+≤0

【解析】

根据全称命题与存在性命题的关系,可得:

命题“”的否定为“”.

11

0020222022

故选:�B:∃.�<0,�+>0¬�:∀�<0,�+≤0

10.已知命题,,则()

2

A.命题�:∀�∈,��+�−1>为0假命题

2

B.命题¬�:∀�∈�,�+�−1≤0为真命题

2

C.命题¬�:∀�∈�,�+�−1≤0为假命题

2

D.命题¬�:∃�∈�,�+�−1≤0为真命题

2

【答案】¬D�:∃�∈��+�−1≤0

【解析】

解:显然当时不满足,故命题,为假命题,

22

所以�=,0�+�为−真1命>题0,�:∀�∈��+�−1>0

2

故选:¬�D:∃.�∈��+�−1≤0

11.下列命题中正确命题的是()

A.已知、是实数,则“”是“”的必要不充分条件

1�1�

33

B.命题:��,3<,3其否定lo形g式�为>:log�,

����

C.函数∃�∈−∞,与02<3的图象关于直线∀�∈−对∞称,02>3

D.在等�比=数�列1+�中,�=、�1−是�方程�=的1两根,则

2

【答案】AD���4�12�+3�+1=0�8=−1

【解析】

对于A选项,已知、是实数,,,

1�1�

33

��3<3⇔�>�log�>log�⇔�>�>0

因此,“”是“”必要不充分条件,A对;

1�1�

33

对于B选3项<,命3题:log�>log,�,其否定形式为:,,B错;

����

对于C选项,函数∃�∈−∞,与02<3的图象关于直线∀�轴∈对称−∞,,0C错;2≥3

对于D选项,在等�比=数�列1+�中,�=、�1−是�方程�的两根,

2

���4�12�+3�+1=0

设等比数列的公比为,则,,则,

8

��,所以,��4�12=1�4,+D�1对2=.�41+�=−3�4<0

4

∵故�选8:=A�4D�.<0�8=−�4�12=−1

12.下列说法正确的是()

A.对于任意两个向量,若,且与同向,则

B.已知,为单�位,�向量,�若>���,则在上�的>投�影向量为

3�

4

C.设�为=非6零向�量,则“存在负数<�,,�使>得=�”是�“”的充分−不3必2要�条件

D.若�,�,则与的夹角是钝角��=���⋅�<0

【答案�】⋅�BC<0��

【解析】

选项A:向量是既有大小又有方向的量,但不能比较大小,故选项A错误;

选项B:在单位向量上的投影向量为,故选项B正确;

2

选项C:若�存在负数,�使得,则�cos<�,�>�=6×;−2�=−32�

22

若,则向量�与的夹�角=为��钝角或�⋅�=,��故选=项��C正<确0;

选项�⋅D�:<若0,�则�与的夹角是钝角1或80°角,故选项D错误;

故选:BC.�⋅�<0��180°

13.在半径为10的圆上有三点M,N,C,其中M,N两点的坐标分别为、.现有两个命题

如下:p:若∠MNC为60°,则三角形MNC的面积为;q:若0,−4,10则四3,6边形MCND的面

积为.那么下列选项正确的是()503��=−3,3

A.命4题0p3是真命题B.命题p是假命题

C.命题q是真命题D.命题q是假命题

【答案】AD

【解析】

M,N都在圆上,线段,因此MN为直径.由圆的性质知为直

22

|𝑀|=(103−0)+(6+4)=20△𝑀�

角三角形,有一个角为60°,,因此其面积为,故命题p为真命题,因此A

13

正确.|��|=102×20×10×2=503

,,则,所以与垂直,因此

四𝑀边=形(M10CN3D,1的0)面积𝐶应=当为−3,3𝑀⋅𝐶,=命1题0q3为×假(−命题3),+故10D×正3确=.0𝑀𝐶

��

��⋅2=203

故选:AD.

14.命题p:若,则.则命题p的否命题是___________.

2

【答案】若�,≥则2�−�+2022>0

2

【解析】�<2�−�+2022≤0

根据否命题的定义,若,则的否命题为:若,则.

22

故答案为:若,则�≥2�−�+2.022>0�<2�−�+2022≤0

2

15.若命题“�<2�−�+20”2是2假≤命0题,则实数的取值范围是__________.

��

00

【答案】∃�∈6,3,tan�>��

【解析】[3,+∞)

由题意得“”为真命题,故(),

��π

000

故答案为:∀�∈6,3,tan�≤��≥tan����=tan3=3

16.已知下列[命3,+题∞:)

①命题:“,,”的否定是:“,,”;

�3�3

②若∀�∈(02),3则>�,∃�∈(0;2)3≤�

�−�

③若�(�)=2−2,则∀�∈,��(−,�)=−�(�);

1

00

④等差�(�数)列=�+的�+前1项∃和�为∈(,0若+∞),�(则�)=1;

⑤在中��,若�,则���4=3.�7=21

其中真△命𝐴题�是____�__>__�______s_in_.�(>只s填in写�序号)

【答案】①②④⑤

【解析】

对于①,全称命题的否定为特称命题,所以命题:“,,”的否定是:“,,”,

�3�3

故①正确;∀�∈(02)3>�∃�∈(02)3≤�

对于②,因为,所以,所以,故②正确;

�−�−��

对于③,�(�),=2−2,所以�(−�)=2−2�(−�)=−�(�),当

111

∵�0∈(0+∞)�(�0)=�0+�0+1=�0+1+�0+1−1≥2�0+1×�0+1−1=1

今当,即,所以(舍去),

12

0000

所以�+1=�,+故1③错�误;+1=1�=0

0

对于④�(�,)等>差1数列中,,因为,所以,故④正确;

7�1+�7

�7447

对于⑤,在中�,若�=,则2=,7�所以�=3,�所=以21,故⑤正确;

△𝐴��>��>�2�sin�>2�sin�sin�>sin�

故答案为:①②④⑤

17.已知函数.

2

(1)若为偶�函�数,=求ln�;+��+1

(2)若命��题“,�”为假命题,求实数的取值范围.

【答案】(1∃)�∈0,1��≥0�

(2)�=0

【解−析2,】−1

(1)解:因为函数为偶函数,

2

所以�,�即=ln�+��+1,

22

所以�−�=��ln�−,��即+1=ln,�+��+1

22

所以�−�.�+1=�+��+12��=0

(2)解�:=因0为命题“,”为假命题,

所以命题“∃�,∈0,1�”�为真≥命0题,

所以,对∀�∈0,1,��<0且恒成立,

22

所以,对∀�∈0,1,�+��且<0�+�恒�成+立1>,0

1

∀�∈0,1�<−��>−�−�

由对勾函数性质知,函数在上单调递增,

1

所以,且,�即=实−数�−的取值0,1范围是.

18.已知�<命−题1P:�方>程−2�没有实数根−.2,−1

2

(1)若P是真命题,求实�数+t�的�取+值�=集0合A;

(2)集合,若是的必要条件,求a的取值范围.

【答案】�(=1)�2�−1<�<�+1�∈��∈�

(2)�=�0<�<4

1

【解�≥析】2

(1)若P是真命题,则,解得,则.

2

(2)因为是的Δ必=要�条−件4,�<所0以,0<�<4�=�0<�<4

当�时∈,�由�∈�,得�⊆,�此时,符合题意;

�=∅2�−1≥�+1�≥2�⊆�

当时,则有,解之得,

2�−1<�+11

�≠∅2�−1≥02≤�<2

�+1≤4

综上所述,a的取值范围为.

1

2

19.已知,�≥.,.

22

(1)若为真�:命∃�题∈,R求�的+取�值�范+围2=;0�:∀�∈0,1�−�<0

(2)若�,一个是真命�题,一个是假命题,求的取值范围.

【答案�】�(1)�

(2)22,+∞∪−∞,−22

【解−析∞】,−22∪1,22

(1)解:由,,

2

若为真命�题:∃,�∈R�+��+2=0

则�,解得或,

2

所以�=的�取−值8范≥围0为�≥22�≤−22;

(2)解�:若为真命题时2,2,+∞∪−∞,−22

则对�恒成立,

2

所以�>�,∀�∈0,1

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