天津市七校联考2022-2023学年高三下学期总复习质量调查(一)数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页天津市河西区2023届高三二模数学试题一、单选题1．设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（）A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．设命题：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，3．函数在的图像大致为A． B． C． D．4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A．6 B．8 C．12 D．185．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A． B．C． D．7．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知函数，则下列结论中正确个数为（

）①函数为偶函数②函数的最小正周期为③函数在区间上的最大值为1④函数的单调递增区间为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．，若有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或二、填空题10．若复数满足，则的虚部为______.11．若x+a3x8的展开式中x4的系数为12．写出过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程___________.13．已知，，，则的最小值为．三、双空题14．设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，则随机变量的数学期望为___________；设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，则事件发生的概率为___________.15．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______．四、解答题16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)求角A的值；(2)若，，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．17．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，．(1)求证：平面AMC；(2)求异面直线AM与所成角的余弦值；(3)求平面AMC与平面的夹角的余弦值．18．已知椭圆过点，且离心率为(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.19．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，，．(1)求数列和的通项公式；(2)记为的前n项和，求证：；(3)记，数列的前项和为，求证：．20．已知函数，．(1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值；(2)求证：；(3)若函数对恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案1．【答案】C【详解】∵集合S={x|x＞﹣2}，∴∁RS={x|x≤﹣2}由x2+3x﹣4≤0得：T={x|﹣4≤x≤1}，故（∁RS）∪T={x|x≤1}故选C．2．【答案】B【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结论.【详解】因为命题为，，所以命题为，.故选：B.3．【答案】B【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．4．【答案】C【详解】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0．24，0．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图5．【答案】D【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.【详解】依题意，，，显然函数在上单调递增，而，即，又在R上单调递增，于是得，即，所以有.故选：D6．【答案】B【详解】试题分析：由渐近线是y=x得，抛物线y2=24x的准线为，，方程为考点：双曲线标准方程及性质点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查7．【答案】C【分析】三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】在三棱锥中，平面，，，，将三棱锥补成长方体，如下图所示，所以，三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长，设三棱锥的外接球直径为，则，则，因此，三棱锥外接球的表面积为.故选：C.8．【答案】C【分析】化简得到，根据三角函数的奇偶性，单调性和值域得到①③④正确，确定得到②错误，得到答案.【详解】，对①：，为偶函数，正确；对②：，故是的周期，错误；对③：，则，函数的最大值为，正确；对④：取，解得，故函数的单调递增区间为，正确.故选：C9．【答案】D【分析】当时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图像，变换得到，根据函数图像得到或，解得答案.【详解】当时，，，当时，，函数单调递增；当，，函数单调递减，，当时，，其图像可以由向左平移一个单位，再向下平移个单位，再把轴上方的图像翻折到下方得到，画出函数图像，如图所示：，当时，，无零点；当时，，即，函数有两个零点，即函数图像有两个交点，根据图像知：或，解得或.故选：D.10．【答案】.【解析】根据复数的除法与模长公式求解再得出虚部即可.【详解】由题.故虚部为.故答案为：11．【答案】1【详解】x+a3x令8−43r=4，故可得C83a3故答案为：1212．【答案】（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离.先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离，得出方程，即可解出的值.【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径，由弦长为可得，圆心到直线的距离.当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长为，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线的方程为，即，此时圆心到直线的距离，解得.所以，直线的方程为或.故答案为：.13．【答案】4【详解】∵2xy＝x·(2y)≤2，∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.14．【答案】2【分析】由题设知，根据二项分布的期望公式求期望，应用独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求为事件的概率.【详解】由题意知：，且服从，∴.甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2的基本事件有{甲3天乙1天，甲2天乙0天}，又，，，，∴.故答案为：2，.15．【答案】【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由线性规划可求得的取值范围.【详解】，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，正八边形内角和为，则，所以，,,因为，则，所以，解得，所以；设，则，则，令，即，由线性规划知平行移动直线，当此直线经过时有最小值,当此直线经过时有最大值,所以，取值范围.故答案为：，.16．【答案】(1)(2)；【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出；（2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值．【详解】（1）由正弦定理得：，化简得：，由余弦定理得：，又，所以.（2）（ⅰ）由（1）知，，又，，由正弦定理可得：；（ⅱ）因为，所以，所以，，所以.17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定，，得到证明.（2）确定，，根据向量的夹角公式计算得到答案.（3）确定平面的法向量和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，则，；，.，平面，故平面.（2），，则.故异面直线AM与所成角的余弦值为.（3）设平面的法向量为，则，取得到；设平面的法向量为，则，取得到；平面AMC与平面的夹角的余弦值为.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又，，所以，得到，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；综上所述，，为定值.19．【答案】(1)，；(2)见解析(3)见解析【分析】（1）题意可得出，解方程求出，再由等差和等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得：，证明即可；（3）求出，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，由裂项相消法求出，可证得，对放缩可得，再由错位相减法可证得，即可证明.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由，，可得：，解得：或（舍去），则，所以，；（2）由（1）可得：，，即；（3）由（1）知，，，所以，设的前项和，奇数项和为，偶数项和为，，，当为奇数时，，，当为偶数时，，，设，，所以，，所以.20．【答案】(1)时，；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）根据导数研究函数单调性求解函数最值即可；（2）结合（1）将问题转化为证明，进而构造函数证明即可；（3）由题知对恒成立，进而构造函数，结合函数性质，分当，，时三种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：当时，，定义域为，所以，令得，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，函数在处取得最小值，.（2）解：由（1）知，当时，，即，所以，要证成立，只需证，令，则，所以，当时，恒成立，所以，函数为单