浙江省杭州市四校2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题

2023-2024学年浙江省杭州市四校联考高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）设全集U＝{2，3，m2+m﹣4}，集合A＝{m，2}，∁UA＝{3}，则m＝（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣42．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣x≤1”的否定是（）A．∀x≤0，x2﹣x≤1 B．∀x＞0，x2﹣x＞1 C．∃x≤0，x2﹣x≤1 D．∃x＞0，x2﹣x＞13．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞04．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）命题p：∃x∈{x|1≤x≤9}，x2﹣ax+36≤0，若p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≥37 B．a≥13 C．a≥12 D．a≤136．（5分）函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．那么不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0成立的充分不必要条件是（）A． B．[1，2] C．[1，3） D．[1，3]7．（5分）设集合A＝{m，﹣1，2}，其中m为实数．令B＝{a3|a∈A}，C＝A⋃B．若C的所有元素和为9，则C的所有元素之积为（）A．0 B．2 C．4 D．0或48．（5分）正数a，b满足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则下列选项正确的是（）A．a+b+c＝0 B．a＜0 C．b＞0且c＜0 D．不等式ax2+cx+b＞0的解集是R（多选）10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．{0}∈{x|x2﹣2x＝0} B．“A∪B＝B”的充要条件是A⋂B＝A C．不等式x2﹣7ax+12a2＜0（a∈R）的解集为{x|3a＜x＜4a} D．若x＞1，y＞1，且满足x+y＝xy，则的最小值为（多选）11．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4 C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞0 D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4（多选）12．（5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S，给出如下命题，其中真命题是（）A．若m＝1，则S＝{x|x≥1} B．若m＝﹣，则≤n≤1 C．若n＝，则≤m≤0 D．若n＝1，则﹣1≤m≤0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高．当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n．但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低．设住第n层楼时，环境不满意程度为．则此人应选第楼，会有一个最佳满意度．14．（5分）对于集合A，B，用card（A）表示有限集合A中元素的个数，已知card（A）＝M，card（B）＝N（M＜N），集合C满足A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数是．15．（5分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|（x﹣b）2＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是．16．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最大值是．三、解答题17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知命题p：∀x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命题q：∃x∈R，x2+2kx+3k+4＝0．（1）当命题¬p为假命题时，求实数k的取值范围；（2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围．19．（12分）记不等式ax+b＞0的解集为A，不等式（ax﹣b）（x﹣a）≥0的解集为B．（1）设a∈R，b＝﹣2a，求A；（2）若A＝（﹣∞，1），求B．20．（12分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为1m的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：（1）海报纸的斜边最短是多少？（2）若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径r最大值是多少？21．（12分）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）解关于x的不等式y＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b；（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，求的最大值．22．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a，b为实数）（1）若x＝1时，y＝1且对∀x∈（2，5），y＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若x＝1时，y＝1且对∀a∈[﹣2，﹣1]，y＞0恒成立，求实数x的取值范围；（3）对∀x∈R，b＞0时，y≥0恒成立，求的最小值．

2023-2024学年浙江省杭州市四校联考高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）设全集U＝{2，3，m2+m﹣4}，集合A＝{m，2}，∁UA＝{3}，则m＝（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣4【考点】补集及其运算．【答案】A【分析】根据U＝（∁UA）∪A，由集合相等的定义列方程求出m的值，结合集合元素的互异性求出m的值，即可得到本题的答案．【解答】解：由题意集合A＝{m，2}，∁UA＝{3}，又因为U＝（∁UA）∪A＝{2，3，m}，且全集U＝{2，3，m2+m﹣4}，所以m＝m2+m﹣4，解得m＝±2，但当m＝2时，集合A＝{m，2}违背了元素之间的互异性，而当m＝﹣2时，集合A＝{﹣2，2}，∁UA＝{3}，U＝{﹣2，2，3}满足题意，综上所述：m＝﹣2．故选：A．2．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣x≤1”的否定是（）A．∀x≤0，x2﹣x≤1 B．∀x＞0，x2﹣x＞1 C．∃x≤0，x2﹣x≤1 D．∃x＞0，x2﹣x＞1【考点】全称命题的否定．【答案】D【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定．【解答】解：“∀x＞0，x2﹣x≤1”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞1”．故选：D．3．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞0【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】A【分析】由c＜b＜a，且ac＜0知c＜0，a＞0，从而可判断选项A、B、D；当b＝0时判断选项C即可．【解答】解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴ab＞ac，c（b﹣a）＞0，ac（a﹣c）＜0，故选项A正确，B、D错误；当b＝0时，cb2＝ab2，故选项C错误；故选：A．4．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式及其应用．【答案】D【分析】由已知得＝5，然后利用乘1法结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数x，y满足x+3y＝5xy，所以＝5，则3x+4y＝（3x+4y）（）＝（13+）＝＝5，当且仅当且x+3y＝5xy，即y＝，x＝1时取等号，此时3x+4y取得最小值5．故选：D．5．（5分）命题p：∃x∈{x|1≤x≤9}，x2﹣ax+36≤0，若p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a≥37 B．a≥13 C．a≥12 D．a≤13【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【答案】见试题解答内容【分析】先得到a≥（x+）min，再利用基本不等式求出最值即可．【解答】解：∵命题p：∃x∈[1，9]，使x2﹣ax+36≤0，即x2+36≤ax，即a≥（x+）min，设f（x）＝x+，则f（x）＝x+≥2＝12，当且仅当x＝，即x＝6时取等号，∴a≥12，∵p是真命题，∴a的取值范围是a≥12．故选：C．6．（5分）函数y＝[x]在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．那么不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0成立的充分不必要条件是（）A． B．[1，2] C．[1，3） D．[1，3]【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可．【解答】解：因为4[x]2﹣12[x]+5≤0，则（2[x]﹣1）（2[x]﹣5）≤0，则，又因为[x]表示不大于x的最大整数，所以不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0的解集为：1≤x＜3，因为所求的时不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式4[x]2﹣12[x]+5≤0解集的一个非空真子集即可，选项中只有[1，2]⫋[1，3）．故选：B．7．（5分）设集合A＝{m，﹣1，2}，其中m为实数．令B＝{a3|a∈A}，C＝A⋃B．若C的所有元素和为9，则C的所有元素之积为（）A．0 B．2 C．4 D．0或4【考点】元素与集合关系的判断．【答案】A【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后求元素之积．【解答】解：根据集合中元素的互异性，m≠﹣1且m≠2．由题意，B＝{a3|a∈A}＝{m3，﹣1，8}．情况一：若m3＝m时，即m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{0，﹣1，2}，B＝{0，﹣1，8}，C＝A⋃B＝{0，﹣1，2，8}，C的所有元素和为9，符合题意，此时C的所有元素之积为0；当m＝1时，A＝{1，﹣1，2}，B＝{1，﹣1，8}，C＝A⋃B＝{1，﹣1，2，8}，C的所有元素和为10，不符题意；情况二：若m3＝2时，此时，，B＝{2，﹣1，8}，但C＝A⋃B此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为9，舍去；情况三：若m≠±1，m≠2，且m≠0时，则A，B中只有唯一重复元素﹣1，则C＝A⋃B＝{m，﹣1，2，m3，8}，由题意m﹣1+2+m3+8＝9，即m3+m＝0＝m（m2+1），此时m＝0，矛盾．综上所述，m＝0时符合题意，此时C的所有元素之积为0．故选：A．8．（5分）正数a，b满足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）【考点】函数恒成立问题．【答案】A【分析】求出a+b＝（a+b）（+）＝10++≥10+6＝16（当且仅当b＝3a时取等号），问题转化为m≥﹣x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：∵正数a，b满足+＝1，∴a+b＝（a+b）（+）＝10++≥10+2＝10+6＝16（当且仅当b＝3a时取等号）．由不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，可得﹣x2+2x+18﹣m≤16对任意实数x恒成立，即m≥﹣x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥﹣（x﹣1）2+3对任意实数x恒成立，∵﹣（x﹣1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则下列选项正确的是（）A．a+b+c＝0 B．a＜0 C．b＞0且c＜0 D．不等式ax2+cx+b＞0的解集是R【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】AB【分析】根据一元二次不等式的解集求得a，b，c的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案．【解答】解：由于不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是（﹣1，2），所以a＜0，B正确；且，即，则b＝a，c＝﹣2a，所以a+b+c＝a+a﹣2a＝0，A正确；b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，C错误；不等式ax2+cx+b＞0，即ax2﹣2ax+a＞0，即x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＜0，无解，D错误．故选：AB．（多选）10．（5分）下列命题中为真命题的是（）A．{0}∈{x|x2﹣2x＝0} B．“A∪B＝B”的充要条件是A⋂B＝A C．不等式x2﹣7ax+12a2＜0（a∈R）的解集为{x|3a＜x＜4a} D．若x＞1，y＞1，且满足x+y＝xy，则的最小值为【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用；基本不等式及其应用．【答案】BD【分析】根据“∈”的使用对象可判断A；由集合性质可判断B；讨论a＜0时的不等式解集可判断C；妙用“1”求最值可判断D．【解答】解：A选项：“∈”用于元素与集合之间，故A错误；B选项：A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A，故B正确；C选项：解x2﹣7ax+12a2＝0得x＝3a或x＝4a，当a＜0时，3a＞4a，所以x2﹣7ax+12a2＜0的解集为{x|4a＜x＜3a}，C错误；D选项：，因为x+y＝xy，所以，所以，当且x+y＝xy，即时，等号成立，D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4 B．a2+≥4 C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞0 D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4【考点】函数的零点与方程根的关系；命题的真假判断与应用．【答案】ABD【分析】利用判别式判断A；基本不等式判断B；利用二次不等式的性质判断C；通过韦达定理，转化求解判断D；【解答】解：因为y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，故可得Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b＞0，对A：a2﹣b2≤4等价于b2﹣4b+4≥0，显然（b﹣2）2≥0，故A正确；对B：，故B正确；对C：因为不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），Δ＝a2﹣4b＞0，所以，故可得x1x2＝﹣b＞，故C错误；对D：因为不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则方程x2+ax+b﹣c＝0的两根为x1，x2，故可得，故可得c＝4，故D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S，给出如下命题，其中真命题是（）A．若m＝1，则S＝{x|x≥1} B．若m＝﹣，则≤n≤1 C．若n＝，则≤m≤0 D．若n＝1，则﹣1≤m≤0【考点】命题的真假判断与应用．【答案】BC【分析】直接利用分类讨论思想的应用和恒成立问题在集合中的应用判断m的取值，进一步判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：若m＝1时，所以S＝{x|1≤x≤n}，所以∀x有1≤x2≤n2，所以n≥n2，所以：n≤1，所以S＝{1}，故A错误；对于B：若m＝﹣，①﹣时，∀x∈S，有，所以x2∉S，舍去，②时，∀x∈S，有，所以，③n时，∀x∈S，有0≤x2≤n2，所以n2≤n，故．故B正确；对于C：若n＝时，①，∀x∈S，有，所以m2≥m，所以m≥1舍去；②当时，所以∀x∈S，有，成立；③m时，∀x∈S，有0≤x2≤m2，所以，所以．故C正确；对于D：若n＝1时，①0＜m≤1时，∀x∈S，有m2≤x2≤1，所以m2≥m，所以m≥1，故m＝1；②﹣1≤m≤0时，∀x∈S，有0≤x2≤1，所以x2∈S；③m＜﹣1时，∀x∈S，有0≤x2≤m2，所以m2≤1，所以﹣1≤m≤1，舍去；综上所述：m∈[﹣1，0]∪{1}，故D错误；故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高．当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n．但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低．设住第n层楼时，环境不满意程度为．则此人应选第3楼，会有一个最佳满意度．【考点】根据实际问题选择函数类型；数列的应用．【答案】3．【分析】先得到不满意程度为，利用基本不等式可得n＝3取最小值即为最佳满意度．【解答】解：由题意知，当住n层楼时，不满意程度为，因n＞0，且n∈N*，所以，当且仅当，即n＝3时等号成立，所以住3楼时，不满意程度最低．故答案为：3．14．（5分）对于集合A，B，用card（A）表示有限集合A中元素的个数，已知card（A）＝M，card（B）＝N（M＜N），集合C满足A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数是2N﹣M．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【答案】2N﹣M．【分析】分析可知，集合C可以看成集合A与∁BA的子集的并集，然后根据∁BA的子集个数可得答案．【解答】解：因为card（A）＝M，card（B）＝N（M＜N），A⊆B，所以card（∁BA）＝N﹣M，由A⊆C⊆B可知，满足条件的集合C必含有A中所有元素，所以，集合C可以看成集合A与∁BA的子集的并集，因为集合∁BA的子集个数为2N﹣M，所以集合C的个数为2N﹣M．故答案为：2N﹣M．15．（5分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|（x﹣b）2＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（﹣2，2）．【考点】充分条件与必要条件．【答案】见试题解答内容【分析】分别化简集合A，B，根据“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，即可得出．【解答】解：由A＝{x|＜0}＝{x|（x﹣1）•（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜1}，当a＝1时，B＝{x|（x﹣b）2＜1}＝{x|b﹣1＜x＜b+1}，因为A∩B≠∅，所以，解得﹣2＜b＜2．故答案为：（﹣2，2）．16．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最大值是．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】．【分析】由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1，把转化为关于a的函数可求得其最大值．【解答】解：由a＞0，b＞0，且a+b＝1，可知0＜a＜1且b＝1﹣a，则＝＝，∵a∈（0，1），∴3a2﹣4a+2＝3（a﹣）2+∈[，2），∴的最大值＝．故答案为：．三、解答题17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【考点】充分条件与必要条件；集合的包含关系判断及应用．【答案】（1）实数a的取值范围为[7，+∞）；（2）实数a的取值范围（﹣∞，）．【分析】（1）根据充分不必要条件的定义得出关于a的不等关系，然后求解；（2）根据集合的包含关系的定义求解．【解答】解：（1）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B，又A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}，因此或，解得a≥7，所以实数a的取值范围为[7，+∞）；（2）由已知B⊆A，当B＝∅时，﹣1﹣2a＞a﹣2，解得，符合题意，因此；当B≠∅时，而A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}，则1≤﹣1﹣2a≤a﹣2≤5，无解，所以实数a的取值范围（﹣∞，）．18．（12分）已知命题p：∀x∈[﹣1，1]，x2+2x﹣k≤0，命题q：∃x∈R，x2+2kx+3k+4＝0．（1）当命题¬p为假命题时，求实数k的取值范围；（2）若命题p和q中有且仅有一个是假命题，求实数k的取值范围．【考点】复合命题及其真假；命题的真假判断与应用；二次函数的性质与图象．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（﹣∞，﹣1]⋃[3，4）．【分析】（1）根据p为真命题，分离参数得到k≥（x2+2x）max＝3，得到答案；（2）根据题意得到命题p和q一真一假，分两种情况p为真，q为假时和当q为真，p为假时，求出参数的取值范围．【解答】解：（1）当命题¬p为假命题时，命题p为真命题，p：∀x∈[﹣1，1]，x2+2x≤k，当x∈[﹣1，1]时，x2+2x∈[﹣1，3]，∴k≥（x2+2x）max＝3，即k≥3；∴实数k的取值范围为[3，+∞）．（2）∵命题p和q中有且仅有一个是假命题，∴命题p和q一真一假，当命题q为真命题时，Δ＝4k2﹣4（3k+4）≥0，解得k≤﹣1或k≥4，①当命题p为真，命题q为假时，，解得3≤k＜4，②当命题q为真，命题p为假时，，解得k≤﹣1，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]⋃[3，4）．19．（12分）记不等式ax+b＞0的解集为A，不等式（ax﹣b）（x﹣a）≥0的解集为B．（1）设a∈R，b＝﹣2a，求A；（2）若A＝（﹣∞，1），求B．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）当a＞0时，A＝{x|x＞2}，当a＝0时，A＝∅，当a＜0时，A＝{x|x＜2}．（2）当a＜﹣1时，B＝{x|a≤x≤﹣1}，当a＝﹣1时，B＝{﹣1}，当﹣1＜a＜0时，B＝{x|﹣1≤x≤a}．【分析】（1）根据b＝﹣2a，代入化简可得a（x﹣2）＞0，分别讨论a＞0、a＝0和a＜0三种情况，求得对应的集合A即可．（2）根据集合A，可得a，b的关系，代入可得（x+1）（x﹣a）≤0，分别讨论a＜﹣1，a＝﹣1和﹣1＜a＜0三种情况，求得对应的集合B，即可得答案．【解答】解：（1）由a∈R，b＝﹣2a，可得ax﹣2a＝a（x﹣2）＞0，①当a＞0时，解得x＞2，②当a＝0时，无解，③当a＜0时，解得x＜2，综上，当a＞0时，解集A＝{x|x＞2}，当a＝0时，解集A＝∅，当a＜0时，解集A＝{x|x＜2}．（2）若A＝（﹣∞，1），则a＜0，且a+b＝0，即b＝﹣a，所以原式化简为：（ax+a）（x﹣a）≥0，即（x+1）（x﹣a）≤0，①当a＜﹣1时，解得a≤x≤﹣1，②当a＝﹣1时，解得x＝﹣1，③当﹣1＜a＜0时，解得﹣1≤x≤a，综上，当a＜﹣1时，集合B＝{x|a≤x≤﹣1}，当a＝﹣1时，集合B＝{﹣1}，当﹣1＜a＜0时，集合B＝{x|﹣1≤x≤a}．20．（12分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为1m的铁丝，首尾相连做成一个直角三角形的海报纸，求：（1）海报纸的斜边最短是多少？（2）若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径r最大值是多少？【考点】基本不等式及其应用．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据均值不等式计算即可；（2）利用三角形内切圆的性质及基本不等式计算即可．【解答】解：（1）设该直角三角形的两直角边分别为：a，b，则其斜边为，由题意可知，由，当且仅当a＝b时取得等号，即，所以，即斜边的最小值为米；（2）由三角形内切圆的性质可知其面积S△与周长C△满足：，由题意及（1）可知，且，当且仅当a＝b时取得等号，即直角三角形内切圆半径r最大值是．21．（12分）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝1，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）解关于x的不等式y＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b；（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，求的最大值．【考点】交集及其运算；一元二次不等式及其应用．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）．【分析】（1）由题设ax2+x﹣1＝0有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值；（2）由题设x2﹣（b+1）x+b＜0，应用分类讨论求一元二次不等式的解集；（3）由题意f（x）＝ax2+x﹣b＞0在（﹣2﹣t，﹣2+t）上有解，且∀t∈（0，+∞），而区间（﹣2﹣t，﹣2+t）关于x＝﹣2对称，且区间长度为2t∈（0，+∞），进而只需保证f（﹣2）＝0得到参数a，b的数量关系，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意取值条件．【解答】解：（1）由题设y＝ax2+x﹣1（a∈R），又{x|y＝0}有且只有一个元素，所以ax2+x﹣1＝0有且仅有一个根，当a＝0时，x﹣1＝0，即x＝1，则{x|y＝0}＝{1}，满足题设；当a≠0时，Δ＝1+4a＝0，即，则{x|y＝0}＝{2}，满足题设；所以a的取值集合为．（2）由题设ax2+x﹣b＜（a﹣1）x2+（b+2）x﹣2b，整理得x2﹣（b+1）x+b＝（x﹣b）（x﹣1）＜0，当b＜1时，解集为{x|b＜x＜1}；当b＝1时，解集为∅；当b＞1时，解集为{x|1＜x＜b}；（3）由t＞0，恒有t﹣2＞﹣t﹣2，故Q≠∅，y＝f（x）＝ax2+x﹣b＞0且a＞0，b＞1，故f（x）开口向上且f（0）＝﹣b＜0，故对应