2.2 一元二次方程的解法（能力提升）（解析版）

.2一元二次方程的解法题型一配方法的应用1．将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（A．-20 B．-10 C．-5 D．0【答案】A【详解】解：∵x2又∵对任意实数x都有x-52∴当x-52=0时，代数式取得最小值，最小值为2．数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=-2a2+4a(1)比较M,N的大小；(2)若P+2N=M-5，证明：P不可能小于0．【答案】(1)M>N；(2)见解析【详解】（1）解：N=-2a∴M-N=-2=-2=4>0，∴M>N；（2）证明：∵P+2N=M-5，∴P=M-5-2N=-2=-2=2=2=2=2a-1∵a-12∴2a-1即P≥1，∴P不可能小于0．3．阅读下列材料：材料一“a2≥0”∵(x+2)2≥0，解决下列问题：(1)填空：x2-6x+10=(x)(2)已知x2-2xy+2y(3)比较代数式x2-1与【答案】(1)-3；1；(2)-2；(3)x2【详解】（1）解：x2（2）解：xxx-y∵x-y∴x-y=0，y+1=0∴x=y=-1∴x+y=-1+-1（3）解：x2x====∵x-1∴x-12∴x∴x24．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式2x解：2=2∵2x-12≥0，∴2x-12+3≥3根据材料中的方法，解答下列问题：(1)若a2-6a+9+b+1(2)求代数式x2(3)用配方法说明：不论x为何值；代数式3x【答案】(1)ab=13；(2)最小值为【详解】（1）解：a∴a-3∵a-3∴a-3=0,b+1=0∴a=3,b=-1∴ab（2）解：x==∵x-3∴x-3∴x2-6x+12的最小值为（3）解：3=3=3=3x+1∵3x+1∴3x+1∴3∴不论x为何值；代数式3x题型二根据一元二次方程的根求参数的值1．若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有实数根，则k的取值范围是（A．k≥1 B．k<-1 C．k≤-1 D．k≥-1【答案】D【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ解得k≥-1．2．如果关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，那么kA．k＞13 B．k<13 C．k≥【答案】D【详解】解：∵方程kx2-2x+3=0∴k≠0∵方程有两个不相等的实数根，∴根的判别式Δ=-2解得k<综上，k的取值范围是k<13且3．若关于x的一元二次方程a+1x2+a+1【答案】-3【详解】解：∵关于x的一元二次方程a+1x∴a+1≠0且Δ=(a+1由a+1≠0得a≠-1，化简Δ=0得：(a+1)2+2(a+1)=0，解得∴a=-3．4．如果关于x的一元二次方程x2-2x+k2=0【答案】3【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴Δ=化简得4-2k<0，解得k>2，∴k的最小整数值为3．题型三换元法解一元二次方程1．已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4＝0，则代数式a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2【答案】A【解答】解：设x＝a2﹣b2，方程化为x2+4x+4＝0，∴（x+2）2＝0，解得：x＝﹣2，∴a2﹣b2＝﹣2，故选：A．2．若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m﹣2025）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2023，x2＝2026 C．x1＝﹣2023，x2＝2026 D．x1＝﹣2027，x2＝﹣2022【答案】B【解答】解：令y＝x﹣2025，由a（x+m﹣2025）2+n＝0可得a（y+m）2+n＝0，∵a（x+m）2+n＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，∴a（y+m）2+n＝0的两根分别为y1＝﹣2，y2＝1，∴﹣2＝x﹣2025或1＝x﹣2025，解得x1＝2023，x2＝2026；故选：B．3．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（）A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2【答案】D【解答】解：由题知，将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换，可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0．因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣3，1，所以2x﹣3＝﹣3或1，解得x＝0或2，即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x1＝0，x2＝2．故选：D．4．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．【答案】3【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长设斜边为c，∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0即（c2﹣3）（c2+4）＝0，∵c2+4≠0，∴c2﹣3＝0，解得c=3或c=-则直角三角形的斜边长为3．故答案为：31．已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0（1）当k＝1时，请判断此方程根的情况．（2）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（3）若等腰△ABC的一边长为a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．【答案】（1）方程有两个相等的实数根；（2）见解析；（3）三角形的周长为16或22．【解答】（1）解：∵Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k）＝（k﹣1）2，当k＝1时，Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；（2）证明：Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2，∵（k﹣1）2≥0，∴Δ≥0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；（3）解：原方程因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，解得：x1＝2k，x2＝k+1，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k，c＝k+1，当a、b为腰，则a＝b＝6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4＝16；当b、c为腰，则k+1＝2k，解得k＝1，∴b＝c＝2，这种情况不成立；当a、c为腰k+1＝6则k＝5，∴b＝10，∴三角形的周长为：6+6+10＝22．综上，三角形的周长为16或22．2．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为a△b＝a2﹣b2，根据这个规则，解决下列问题．（1）求4△3的值．（2）当（x+2）△5＝0时，求x的值．（3）已知一个直角三角形的两边长是方程3△（x﹣8）＝0的两个根，求第三边的长．【答案】（1）7；（2）x＝﹣7或x＝3；（3）146或46．【解答】解：（1）4△3＝42﹣32＝7；（2）（x+2）△5＝0，即（x+2）2﹣52＝0，解得x＝﹣7或x＝3；（3）3△（x﹣8）＝0即32﹣（x﹣8）2＝0，解得x＝5或x＝11，即直角三角形的两边长分别为5和11，当11为直角边长时，第三边的长=5当11为斜边边长时，第三边的长=1综上所述，第三边的长=146或463．已知方程ax2+2bx+c＝0，其中实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c＝0．（1）试求ca（2）求证：方程ax2+2bx+c＝0有两个不相等的实根，且均小于2．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：a＞b＞c，a+b+c＝0，b＝﹣（a+c），a＞﹣（a+c）＞c，﹣2＜c（2）证明：Δ＝（2b）2﹣4ac＝4b2﹣4ac＝4（a+c）2﹣4ac＝4（a2+c2+ac）＝4[（a+12c）2+34且a≠c≠0，∴Δ＞0，∴有两个不相等的实根，解方程ax2+2bx+c＝0得x=-b±令x1＞x2，x1=-b+b2∵﹣2＜c∴x1＝1+ca∴方程ax2+2bx+c＝0有两个不相等的实根，且均小于2．4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4．∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4．∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值．（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）154；（2）5；（3）最大面积是50m【解答】解：（1）m2+m+4＝（m+12）2因为（m+12）2所以（m+12）2则m2+m+4的最小值是15（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，因为﹣（x﹣1）2≤0，所以﹣（x﹣1）2+5