湖南省长沙市长沙县长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一下学期入学考试数学试卷（含解析）

湖南长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一下学期开学数学试题一、单选题1．已知集合，，则中的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．3．已知O，A，B，C是不同的四个点，且，则“”是“A，B，C共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（

）A． B．C． D．5．若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．设直线与函数图象的相邻3个公共点自左向右依次为A、B、C，若，则（

）A．2 B． C． D．7．若实数满足，则的大小关系不可能是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．函数与是同一个函数B．命题“，”的否定是，C．当时，D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称11．已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的有（）A．B．函数的图象关于点对称C．D．若，则三、填空题12．函数的单调递增区间为______．13．在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，，，则该扇面的面积为________.

14．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，若，则实数的所有可能值构成的集合为_____.四、解答题15．已知集合，集合(1)若，求和.(2)若，求实数a的取值范围.16．已知函数．(1)求图象的对称中心；(2)求的单调递增区间；(3)时，有零点，求的范围．17．已知函数.(1)若为偶函数，求实数a的值；(2)当时，（ⅰ）证明：函数的图象关于点对称；（ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.18．已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中．(1)求函数和的解析式；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若，，使成立，求实数的取值范围．19．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质．(1)设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由；(2)已知函数具有性质，求函数在上零点的个数；(3)在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围．参考答案1．C【详解】依题意，，，所以，共4个元素.故选：C2．A【详解】因为向量，则向量在向量上的投影向量为.故选：A.3．C解：若得，则由得，即，则，即，即A，B，C共线，即充分性成立反之若A，B，C共线，则存在一个实数x，满足，即，则，令，则，即必要性成立，则“”是“A，B，C共线”的充要条件，故选C．4．D【详解】由题意可知，当时，，在上单调递减，则的解集为；当时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为；所以，的解集是的解集是．因为不等式等价于不等式组或所以不等式的解集是．故选：D.5．D【详解】因为m，n是关于的方程的两个正实数根，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以，所以的最小值为．故选：D．6．B【详解】函数和在同一直角坐标系的图象如下图所示：函数的最小正周期为，令，对称轴为，由题意，结合图形可知：，又，所以，因此点横坐标为，所以，当为奇数时，，舍去，当为偶数时，，符合题意，故选：B7．D【详解】令，则，在同一坐标系内作出函数的图象，如图：当时，；当时，；当时，，选项ABC可能，D不可能.故选：D8．C【详解】设，则原方程可化为，解得或.作出函数的图象，如下图所示，观察图象可知，当时，方程无解；当时，方程有个解；当时，方程有个解；当时，方程有个解；当时，方程有个解.由题可知方程有且仅有5个不同的解，又因为，则此时方程有个解，因此有个解，结合前面分析可知，须满足或，即或，即.故选：C.9．ACD【详解】因为，定义域为，所以函数与是同一个函数，故A正确；命题“，”的否定是，，故B错误；根据基本不等式可知，当且仅当时取等号，当时，可得，则必有，故C正确；函数的定义域为，则或，解得，故D正确；10．BCD【详解】对于A：因为，所以，又，所以或，又点在单调递增区间上，所以，故A错误；对于B：又关于对称，且为单调递减区间上的对称中心，所以，解得，又，即，即，解得，所以，则，所以，即的最小正周期为，故B正确；对于C：因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D：因为，所以的图象关于点对称，故D正确.故选：BCD11．ABD【详解】选项A：令，得再令得因为，所以，故A正确，选项B：令，由得：，所以是奇函数，函数的对称中心满足即，此时，因此对称中心为，故B正确，选项C：令，得，由且为奇函数得，即，因此，因为，所以，故C错误，令，得，①令，且利用奇函数，得，②+②得：，由选项C得，代入得即由令：，，因此，周期，已知，由递推得由递推得，，，所以D选项正确.故选：ABD12．【详解】令，解得或，即函数的定义域为，设则，而在上单调递减，对于函数在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为．13．【详解】设，圆心角，则，解得，所以该扇面的面积.故答案为：14．【详解】因为，，所以或．因为当时，或．当时，且，由已知关于x的方程有3个实数解，且是方程的解，且，若是方程的解，则，此时方程的解集只有个元素，矛盾，若是方程的解，则，矛盾，所以关于x的方程只有一个解且不为1和，则，解得．当时，的解为1，不符合题意；当时，的解为，符合题意．综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为．故答案为：.15．(1)，或(2).【详解】（1）因为，，所以，所以，所以①若，则，，因为或，所以或（2）若，则，①当时，，解得，②当时，，解得，综上，实数a的取值范围为.16．(1)(2)(3)【详解】（1）因为，由，得到，所以图象的对称中心为.（2）由，解得，所以的单调递增区间为.（3）当时，，，在上的图象如图所示，因为有零点，令，得到，所以与有交点，由图可知,.17．(1)(2)（ⅰ）时，，定义域为，而，∴的图象关于点对称.（ⅱ）【详解】（1）为偶函数，，，即对任意的实数恒成立，.（2）（ⅰ）略（ⅱ）因为是增函数，也是增函数，所以函数是单调增函数.由（ⅰ）知，函数的图象关于点对称，所以由得：即，所以在区间上有两个不相等的实数根，∴，解得.所以实数m的取值范围是.18．(1)，(2)(3)【详解】（1）由题意知，则，因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以，联立，解得，．（2）函数为增函数，函数为减函数，所以函数为增函数，因为为奇函数，，故在上恒成立，则不等式在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以实数的取值范围为．（3）设，因为，，使成立，则，因为函数为增函数，则当时，，函数在上的最小值记为，则，令，函数为增函数，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，则，由得，即，解得，因为，则，由得，即，解得因为，所以，则；当时，函数在上单调递减，则在上单调递减，所以，又，，则当时，恒成立．综上，实数的取值范围为．19．(1)具有性质不具有性质，理由见解析；(2)2027个；(3).【详解】（1）函数具有性质不具有性质，说明如下：，，对任意，都有，所以具有性质；，，所以不具有性质.（2）由函数具有性质，得，即，而，则，，若，不妨设，由，得，只要充分大时，将大于1，而的值域为，则上述等式不可能成立，因此必有成立，即，又，即，则，解得，此时，则，而，即有