2025-2026学年山东省德州市平原县第一中学高一下册期末模拟考试一数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）的共轭复数等于（）A. B. C. D.2.某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（）A.2 B.4 C.5 D.63.已知在中，，，，则（）A. B. C.或 D.或4.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则C与B相互对立B.若，则C.若事件A与B相互独立，则D.若事件A与B相互独立，则5.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.6.为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（）A.甲店月营业额的平均值在内B.乙店月营业额总体呈上升趋势C.7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少D.乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差7.已知，且，则（）A. B. C. D.8.在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是虚数单位，以下说法正确的是（）A.复数的虚部是1 B.C.若复数是纯虚数，则 D.若复数满足，则10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（）A. B.事件A与事件C互斥C.事件A与C相互独立 D.11.在锐角中，角的对边分别为，且．则（）A.的面积为 B.C.若，则 D.的取值范围为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将正确答案写在答题卡的相应位置上.）12.已知，则__________．13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号）14.某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.（1）求实数的值；（2）求的坐标；（3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.16.为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率.17.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.（1）求B；（2）若，，求a、c.18.某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功．（1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率；（2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围．19.已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．（1）求A；（2）若的面积，且，求的周长；（3）求的最小值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）的共轭复数等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，则.2.某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（）A.2 B.4 C.5 D.6答案：B解析：思路：先由从部门抽取员工6名列方程求出，再根据分层抽样的定义可求得结果.解答过程：由题意得，解得，所以从部门抽取员工的数量为.故选：B3.已知在中，，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：利用正弦定理计算可得.解答过程：由正弦定理，即，解得，又，所以，所以.故选：B4.已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（）A.若，则C与B相互对立B.若，则C.若事件A与B相互独立，则D.若事件A与B相互独立，则答案：C解析：思路：根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD.解答过程：对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误；对于B，若，则，错误；对于C，若事件A与B相互独立，则，则，正确；对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立，则，错误.故选：C5.已知向量，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解.解答过程：因为向量满足，，，可得，，所以.故选：D.6.为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（）A.甲店月营业额的平均值在内B.乙店月营业额总体呈上升趋势C.7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少D.乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差答案：D解析：思路：根据折线图对选项逐一分析即可知，甲店月营业额的平均值为，可判断A正确；由折线图可知乙店每月的营业额总体呈上升趋势，故B正确；易知甲店月份的总营业额为，乙店的总营业额为，所以C正确；根据折线图可知甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误.解答过程：对于A，甲店月营业额的平均值为，，所以A正确；对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确；对于C，由营业额折线图可知，甲店的月份的总营业额为，乙店的月份的总营业额为，，所以C正确.对于D，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误；故选：D.7.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：使用二倍角公式得到关于一元二次方程，求解，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；解答过程：由得，即，解得或（舍）.又，所以，所以.故选：D.8.在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用面积比可得，结合等面积法可得,即可利用向量的模长求解.解答过程：由,由于，则,,因此,又,化简得，故,因此,故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是虚数单位，以下说法正确的是（）A.复数的虚部是1 B.C.若复数是纯虚数，则 D.若复数满足，则答案：BD解析：思路：根据复数的定义与代数形式的运算性质，逐项判断即可．解答过程：对于A，复数的虚部是，选项A错误；对于B，，选项B正确；对于C，设，则，，，选项C错误；对于D，设，、，则，令，得且，所以，选项D正确．故选：BD．10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（）A. B.事件A与事件C互斥C.事件A与C相互独立 D.答案：ACD解析：思路：对于A：根据古典概型分析求解；对于BCD：利用列表法结合古典概型求，进而结合互斥事件、独立事件以及事件的运算分析求解.解答过程：对于选项A：因为第二次的点数有，共6个可能值，事件B包含的点数有，共3个可能值，所以，故A正确；因为第一次的点数有，共6个可能值，可得，对于事件C，列表可得：1234561╳√╳√╳√2√╳√╳√╳3╳√╳√╳√4√╳√╳√╳5╳√╳√╳√6√╳√╳√╳可知共有个基本事件，且，则，又因为事件，即，则.对于选项B：因为，所以事件A与事件C不互斥，故B错误；对于选项C：因为，可知事件A与C相互独立，故C正确；对于选项D：因为，故D正确；故选：ACD.11.在锐角中，角的对边分别为，且．则（）A.的面积为 B.C.若，则 D.的取值范围为答案：ACD解析：思路：根据三角形面积公式判断A，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断B，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D.解答过程：对于A，由，所以，故A正确；对于B，由，可得，所以，故B错误；对于C，，又，，所以，即，所以，即，所以，即，所以，由为锐角知，故解得，故C正确；对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图，所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且，令，且，则在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当或时，，所以，即的取值范围为，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将正确答案写在答题卡的相应位置上.）12.已知，则__________．答案：解析：思路：利用三角恒等变换化简即可求解.解答过程：由，所以，所以，所以.13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号）答案：解析：思路：中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可.解答过程：因为，在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，，即纪念碑高为米.故答案为：.14.某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________．答案：0.973解析：解答过程：由柱状图可知，100件样本中，一级品共70件，因此任取1件产品是一级品的概率为，任取1件产品不是一级品的概率为.“取出3件中至少有1件一级品”的对立事件是“取出的3件都不是一级品”，因此从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件产品是一级品的概率为.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.（1）求实数的值；（2）求的坐标；（3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可；（2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解；（3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解.（1）复数在复平面内对应的向量，复数在复平面内对应的向量，复数在复平面内对应的向量，，因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，所以，解得，；（2）；（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，设，则，因为，所以，解得，即点A的坐标为.16.为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率.答案：（1），平均数为；中位数为（2）900（3）解析：思路：（1）根据小矩形的面积之和等于1可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数；（2）由频率分布直方图求出不低于75分的频率再乘以2000即可求解；（3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生至多有2人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.（1）由频率分布直方图可得，第4组的频率为，所以．由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为：．由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中．设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为．（2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为，用样本估计总体，可以估计高三年级名学生中成绩不低于75分的人数为．（3）由（1）可知，位于，，的人数分别为：，，，这三组中所抽取的人数分别为，，，设事件“成绩在的学生至多有2人被抽到”，则=“成绩在的学生全都被抽到”记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为，则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，成绩在的学生全都被抽到包含的基本事件为，有1个．故．17.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.（1）求B；（2）若，，求a、c.答案：（1）（2），或，解析：思路：（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出，即可得解；（2）首先求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理求出，最后解得即可.（1）因为，即，即，由正弦定理可得，，，，，，，.（2）由（1）可得.，，，又，即，，由，解得或.18.某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随