2025-2026学年山东省淄博市淄博中学高一下册5月期中数学试卷（含解析）

/数学一、单选题1.若，则A. B. C. D.2.下列关于空间几何体的说法，错误的是（）A.棱柱的侧棱都互相平行且相等B.正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台D.圆柱的侧面展开图是矩形3.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，为异面直线，，，则5.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.16.的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为A. B.C. D.7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（）A.， B.， C.， D.，二、多选题9.已知复数，则（）A. B.z的虚部为 C.为纯虚数 D.10.下列命题中正确的是（）A.若则或B.在中，若点满足，则为的垂心C.已知非零向量，若，则的夹角为锐角D.若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形11.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A.该正八面体结构的表面积为 B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构的外接球表面积为 D.该正八面体结构的内切球表面积为三、填空题12.如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________.13.已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．14.已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______．四、解答题－问答题15.已知向量，若，与的夹角为．（1）求；（2）求与夹角的余弦值．16.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）设为边上一点，且，求的长．17.如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，.（1）若和圆锥底面所成角大小是，求该圆锥的表面积；（2）若是中点，､是底面圆上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．19.如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点．（1）求证：D，B，F，E四点共面．（2）设平面平面，求证：．（3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

数学一、单选题1.若，则A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数代数形式的除法法则计算可得．解答过程：解：，，则，故选：．2.下列关于空间几何体的说法，错误的是（）A.棱柱的侧棱都互相平行且相等B.正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台D.圆柱的侧面展开图是矩形答案：C解析：解答过程：A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对；B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对；C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点，如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形，此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错，D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对.3.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由投影向量定义结合题设直接计算即可得解.解答过程：由题在上的投影向量为.故选：C.4.已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，为异面直线，，，则答案：C解析：思路：借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确.解答过程：在正方体中，由于平面，平面，但平面与平面不平行，故A错误；同理，由于平面，平面，且但平面与平面不平行，故B错误；同理，由于平面，平面，且与是异面直线，但平面与平面不平行，故D错误；对于C，由，得，而，因此，C正确.故选：C.5.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.1答案：B解析：思路：由得，结合，得，由此即可得解.解答过程：因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.6.的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据余弦定理得到，再根据正弦定理得到答案.解答过程：不妨设，根据余弦定理：，故.，则，，故.故选：.方法提示：本题考查了余弦定理和正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知则四边形ABCD的周长为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先分析直观图等腰梯形，结合斜二测的夹角，求出直观图腰长，再按斜二测规则还原，得到原图形上下底和腰长，并在还原后的直角梯形中，用勾股定理算出斜边，最后将四条边长相加，得到四边形的周长即可.解答过程：由题意可知，直观图为等腰梯形，，，过点作于，，则，在中，，，根据斜二测画法规则还原原图形，如图：则，，∵在轴上，，作于，则，，，四边形的周长为：，故四边形的周长为.8.在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（）A.， B.， C.， D.，答案：D解析：思路：将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可.解答过程：因为，，则，故.又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图：所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长.设三棱锥的外接球半径为，则，故.因此该球的表面积为，体积为.二、多选题9.已知复数，则（）A. B.z的虚部为 C.为纯虚数 D.答案：BC解析：解答过程：，所以，z的虚部为，为纯虚数，，A、D错误，B、C正确.10.下列命题中正确的是（）A.若则或B.在中，若点满足，则为的垂心C.已知非零向量，若，则的夹角为锐角D.若是所在平面上的一点，且满足，则为等腰三角形答案：BD解析：思路：根据向量的数量积定义即可判断AC；根据题意，结合向量的运算得，，即可判断B；根据向量的数量积判断得，又根据E为AB中点，即可判断D.解答过程：对于A，若则或，或，A错误；对于B，由，同理可得，所以P为的垂心，故B正确；对于C，设与的夹角为，则由得，又因为，所以，所以C错误；对于D，如图，取AB中点为E，连接CE，因为，所以，又E为AB中点，所以，故三角形ABC的形状一定是等腰三角形，所以D正确.故选：BD11.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A.该正八面体结构的表面积为 B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构的外接球表面积为 D.该正八面体结构的内切球表面积为答案：ACD解析：思路：分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.解答过程：对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确；故选：ACD．三、填空题12.如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________.答案：解析：思路：令正方体棱长为，求出正方体的体积及四棱锥的体积即可判断.解答过程：设正方体棱长为，则，.所以四棱锥的体积与正方体体积的比为.故答案为：.13.已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．答案：4解析：思路：利用复数的几何意义进行求解.解答过程：复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，而表示圆上的点到定点的距离，圆心到定点距离为：所以（是虚数单位）的最小值为：.14.已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______．答案：##解析：思路：先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解．解答过程：∵，∴，整理可得，∵对任意，上式恒成立，∴；由题意知，∴，∴．∴．故答案为：.四、解答题－问答题15.已知向量，若，与的夹角为．（1）求；（2）求与夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解；（2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解.（1）因为，与的夹角为，所以，∴，∴．（2）由（1）可知，∴．∵，设与的夹角为，∴．16.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求；（2）设为边上一点，且，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先由求得，再由余弦定理求得即可；（2）先由余弦定理求得，再求即可．（1）由得．由，得．由余弦定理，，，，代入并整理得，故．（2）在中，已知，，，则由余弦定理的推论得．因为，所以为直角三角形，则，即，解得．17.如图，一个圆锥的顶点是，是底面的圆心，是底面的一条直径，.（1）若和圆锥底面所成角大小是，求该圆锥的表面积；（2）若是中点，､是底面圆上两点，劣弧的长为，，是线段上一点，求证：平面平面.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据线面角的定义结合圆锥的表面积公式求解即可；（2）根据弧长公式可得，利用平行四边形的性质证明线线平行，再根据面面平行的判定定理证明即可.（1）连接，由题可得，因为，所以，所以圆锥的表面积为.（2）因为分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，劣弧的长为，则，则，因为，所以为等边三角形，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小；（2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可．（1）因为，由正弦定理，得，即，，因为，所以．（2）由（1）得，且，由正弦定理得：，∴，，∵，∴，∴，∴当时，的最大值为，∴周长的最大值是．19.如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点．（1）求证：D，B，F，E四点共面．（2）设平面平面，求证：．（3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，解析：思路：（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即