2025-2026学年山西省阳泉市高二下册期末教学质量监测数学试卷（含解析）

/数学（考试时长：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列函数中，在定义域内单调递增且值域为的是（）A. B. C. D.2.设集合，则（）A. B. C. D.3.的展开式中的系数是（）A.8 B. C.32 D.4.从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（）A.210 B.195 C.194 D.1845.有6件产品，其中2件次品，从中有放回地取3次（每次1件），若表示取得次品的次数，则（）A. B. C. D.6.近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升．经统计发现，游客选择百团大战纪念碑的概率为，选择中共创建第一城景区的概率为．两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.8.甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件，“乙获胜”为事件，则（

）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（）参考数据：若随机变量，则，，.A. B.C. D.10.已知，若，则（

）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为8 D.的最小值为11.已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是（）A.的图象关于轴对称 B.4为的一个周期C. D.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．）12.已知函数，则____________．13.若，满足，且，则_______．14.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围．16.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村城市总计从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.（1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与区域有关；（2）在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望.附：17.设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．（1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值；（2）若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．18.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：月份2025年10月2025年11月2025年12月2026年1月2026年2月月份代码12345月销量（单位：千台）810132024（1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般）（2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量；（3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围．参考公式：相关系数，．参考数据：，．19.已知函数是偶函数，（1）求的值．（2）令，，（ⅰ）求的值域．（ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

数学（考试时长：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列函数中，在定义域内单调递增且值域为的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：A选项，在上单调递减，在上单调递增，且值域为，故A错误；B选项，在上单调递增，且值域为，故B正确；C选项，在上单调递增，且值域为，故C错误；D选项，在上单调递增，且值域为，故D错误.2.设集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出，再由交集和并集的定义求解即可.解答过程：因为，所以，解得：，所以，对于A、B，，故A错误，B正确；对于C、D，，故CD错误；故选：B.3.的展开式中的系数是（）A.8 B. C.32 D.答案：D解析：解答过程：的展开式的通项，∴时，的系数为.4.从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（）A.210 B.195 C.194 D.184答案：C解析：思路：直接计算可得结果.解答过程：用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况，.故选：C．5.有6件产品，其中2件次品，从中有放回地取3次（每次1件），若表示取得次品的次数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率相同，均为，从中取3次（每次1件），设为取得次品的次数，则，由独立重复实验的概率计算公式可得，.另解：从中有放回地取3次共有种，其中取得件次品有种，则.6.近年来，阳泉市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升．经统计发现，游客选择百团大战纪念碑的概率为，选择中共创建第一城景区的概率为．两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：记事件为游客选择百团大战纪念碑，事件为游客选择中共创建第一城景区，先由对立事件求得再根据随机事件的概率加法公式计算即得.解答过程：记事件为游客选择百团大战纪念碑，事件为游客选择中共创建第一城景区，则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”.由题意得，，，由得，，∴.7.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：令，则，故，故,所以或,故．8.甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件，“乙获胜”为事件，则（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可.解答过程：甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为.由对立事件概率公式可得.事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况：情况一：乙以获胜，其概率为.情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为.根据互斥事件概率加法公式可得..二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（）参考数据：若随机变量，则，，.A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据学生的体育成绩，求得期望和方差，再结合正态分布曲线的对称性，求得相应的概率，即可求解.解答过程：由题意知，学生的体育成绩，可得期望，方差，即，，故A、B正确；由，，，所以，故D正确；因为，所以，即，故C错误.10.已知，若，则（

）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为8 D.的最小值为答案：ACD解析：思路：AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.解答过程：对于，由于，则，即，当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；对于，因为，当且仅当时，取到最小值，所以B错误；对于C，因为，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；对于，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确.故选：ACD.11.已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的是（）A.的图象关于轴对称 B.4为的一个周期C. D.答案：ABD解析：思路：通过赋值转化已知条件，根据函数的奇偶性、周期性的定义进行判断和计算.解答过程：对于A：因为，所以，由可得，，所以，即，即是偶函数，故的图象关于轴对称，A正确；对于B：由，可得，所以，又，所以，则，所以，即的一个周期为4，B正确；对于C：因为的周期为4，所以.由，令可得，由，令，则，又，所以，故，则，C错误；对于D：由，令，则，即；令，则，又是偶函数，则，所以，因，故.，D正确.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．）12.已知函数，则____________．答案：1解析：思路：根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.解答过程：函数，所以.故答案为：113.若，满足，且，则_______．答案：8解析：思路：利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可.解答过程：由，得，联立上述两式解得，，即，而，则，即，所以.14.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是____．答案：解析：思路：问题可转化为，，利用单调性求出函数的最值，继而即可求解.解答过程：问题可转化为，，的对称轴为，所以在上单调递增，所以，，都为增函数，所以在上单调递增，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可；（2）分、两种情况讨论求解即可.（1）当时，，又，

，．（2）由，

若，则，解得；

若，则或，解得.

综上所述，实数的取值范围为．16.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村城市总计从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.（1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与区域有关；（2）在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望.附：答案：（1）列联表见解析，有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关，理由见解析（2）分布列见解析，数学期望为解析：思路：(1)先根据题意补全列联表，然后根据公式计算，根据表格判断即可；(2)先确定可能取值为，分别求出概率，然后求期望.（1）设城市学校共有所，因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是，所以，所以，即城市学校有所，补全列联表如下：

经常应用偶尔应用或者不应用总计农村404080城市602080总计10060160零假设为智慧课堂的应用与区域独立，，所以根据小概率值α=0.005的独立性检验可以认为智慧课堂的应用与区域有关.（2）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，3个是城市学校，抽取2个，则可能取值为.所以的分布列为：012的数学期望所以的数学期望为：.17.设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．（1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值；（2）若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可；（2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解．（1）由，解得．当时，，对于任意的，都有，所以函数的图象是关于点的中心对称图形，故．（2）由题意可知，存在，且，使得，当时，，则，所以，又知对勾函数在上单调递增，所以，所以；当时，，则不成立；当时，，则，所以，令，易得在上单调递增，所以．综上可知，实数的取值范围为．18.某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示：月份2025年10月2025年11月2025年12月2026年1月2026年2月月份代码12345月销量（单位：千台）810132024（1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般）（2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量；（3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过300