2025-2026学年山西省阳泉市高一下册期末教学质量监测数学试卷（含解析）

/数学（考试时长：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量，，且，则（）A. B. C. D.3.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（）A.40人 B.36人 C.30人 D.24人4.，，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.5.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（）A. B. C. D.6.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（）A. B. C. D.7.在，若，且，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形8.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，为异面直线，且，，，，则10.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若与相互独立，则D.若发生时一定发生，则11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（）A.B.鳖臑体积的最大值为2C.点到面的距离是D.鳖臑内切球的半径为第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．）12.样本数据，，，，的中位数为_______．13.复数，则______.14.“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m．四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，，且向量与共线.（1）证明：；（2）求向量与的夹角；（3）若，求实数m的值.16.已知中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，且的面积为，求边，的长．17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，．（1）设分别为的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．18.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的上四分位数；（3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．19.甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的．（1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）；（2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题：①求甲总分为分的概率；②求甲的总分高于乙的总分的概率．

数学（考试时长：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答过程：由题意得，复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.2.已知平面向量，，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先根据向量共线求解出参数的值，然后根据坐标运算即可计算出的结果.解答过程：因为，，且，所以，，故选：A.3.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（）A.40人 B.36人 C.30人 D.24人答案：D解析：思路：确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解；解答过程：由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，故选：D4.，，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据投影向量的公式计算即可.解答过程：由题意可得，，，则在上的投影向量是.故选：B5.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在直角梯形中，，由斜二测画法规则，得直角梯形对应的四边形，如图，在四边形中，，则，所以四边形的周长为.6.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率.解答过程：设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，4个节气中任选2个节气，有以下情况，，共6种情况，其中这2个节气至少有一个在八月的情况有，共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为.故选：C7.在，若，且，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案：C解析：思路：利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论.解答过程：因为，由正弦定理可得，则，．所以，又因为，所以，又，可得，故的形状是等腰直角三角形.故选：C8.如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积.解答过程：设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，则，设棱台的高为，体积为，则棱台的高为，设其体积为，则，则，所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知两个不同的平面，和两条不重合的直线，，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，为异面直线，且，，，，则答案：BD解析：思路：结合线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理逐一判断各选项即可.解答过程：如图所示，正方体对于A，若，，则平面与可能平行也可能相交，如平面和平面，并非一定垂直，故A错误；对于B，若，由线面平行的性质可知，存在直线，使得，又，因此，根据面面垂直的判定定理，可得，故B正确；对于C，若，，则与可能平行，也可能异面，如，平面，平面，其中，此时异面，不一定满足，故C错误；对于D，由，，可得内存在直线平行于；由，，可得内存在直线平行于，又、为异面直线，故两个平面内分别存在两条相交直线平行于另一平面，结合面面平行的判定定理，可得，故D正确.10.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若与相互独立，则D.若发生时一定发生，则答案：ABD解析：思路：根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合概率的基本性质逐项求解判断.解答过程：对于A，与互斥，则，A正确；对于B，与相互独立，则，，B正确；对于C，与相互独立，，C错误；对于D，发生时一定发生，即，，D正确.故选：ABD11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（）A.B.鳖臑体积的最大值为2C.点到面的距离是D.鳖臑内切球的半径为答案：BCD解析：思路：根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD.解答过程：选项AB：设鳖臑外接球半径为，由题意可得，解得，因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等，所以点是外接球的球心，，因为平面，，，所以，设，，则，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确；选项C：设点到面的距离为，因为平面，所以，，所以，，解得，即点到面的距离为，C说法正确；选项D：因为，所以，，，，设鳖臑内切球的半径为，则，即，解得，D说法正确；故选：BCD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．）12.样本数据，，，，的中位数为_______．答案：解析：解答过程：将样本数据按照从小到大的顺序排列为，该组数据的样本容量为（奇数），所以中位数为排序后第个数据，即为．13.复数，则______.答案：解析：解答过程：试题分析：.考点：14.“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高为____m．答案：解析：思路：利用三角形内角和及正弦定理可求得，再由正切函数即可求解.解答过程：在中，由三角形内角和定理可得，再由正弦定理得：，再解直角三角形可得：，故答案为：四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，，且向量与共线.（1）证明：；（2）求向量与的夹角；（3）若，求实数m的值.答案：（1）由向量与共线，得，得，得，，则，故．（2）（3）解析：思路：（1）由平面向量的共线定理求解；（2）由向量的夹角公式求解；（3），由向量的模的公式求解．（1）略（2），设向量与的夹角为，则，由，得，故向量与的夹角为：．（3），由得，，解得．16.已知中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，且的面积为，求边，的长．答案：（1）（2），解析：思路：（1）利用三角形内角性质化简正弦项，结合正弦定理角化边，再用余弦定理求角；（2）先由三角形面积公式求的值，再结合余弦定理得的值，联立求解.（1）在中，，故，则可化为：

，由正弦定理，，整理得，由余弦定理，，又，故.（2）由（1）可知，，，解得①，由余弦定理，得：

，即得②，联立①②，得，即，代入，得.17.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，．（1）设分别为的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行；（2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面；（3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得.（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则，，因，则，因平面，平面，故平面.（2）取中点，连接，因为等边三角形，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，故，因，平面，故平面.（3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角，因为等边三角形，，则，又，在中，.即直线与平面所成角的正弦值为.18.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的上四分位数；（3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．答案：（1）；（2）84；（3）总平均数为65；总方差为37.解析：思路：（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数；（2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数；（3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差.（1）因为每组小矩形的面积之和为1，所以，则；（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设上四分位数为m，由，得，故上四分位数为84；（3）成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故这两组成绩的总平均数为，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为.19.甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设