2025-2026学年山西省运城市高二下册7月期末数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知展开式中的系数为，则实数的值为（）A. B. C.3 D.64.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B. C. D.5.若，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知函数定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（）A.0 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数，则下列选项正确的是（）A.图象关于直线对称 B.在单调递增C.的值域为 D.有两个零点10.已知随机变量，若，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.事件“”与事件“”相互独立11.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B.的最小值为C.的最小值为2 D.最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________．13.在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，4次移动后质点落在圆内，不同的移动方法共有______种.14.给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.16.蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.整理收集到的数据，得到下表：242.964616842268850.470308表中，，，.（1）根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程；（2）据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.17.已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且.（1）求，并用表示；（2）证明是增函数；（3）对，，恒成立，求实数的取值范围.18.已知函数（且，），且函数为奇函数.（1）求函数的解析式；（2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值；（3）若函数图象与图象有3个交点，求实数a的取值范围.19.某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分.负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是p（），各局比赛之间的结果互不影响.（1）当时，若两队共进行3局比赛，求甲队最终获胜的概率；（2）若两队共进行局比赛，.当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了k（，1，2，…，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值；（3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜概率记为，已知.证明：单调递减.

数学满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：由解得.因为，所以.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：因带量词的命题的否定为：改变量词，否定结论，故命题“，”的否定是“”.3.已知展开式中的系数为，则实数的值为（）A. B. C.3 D.6答案：B解析：解答过程：对于，根据二项式展开式的通项公式得，令的次数为，即，解得.将代入得的系数，由题意知，故实数的值为.4.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由函数定义域、值域及对称性判断.解答过程：B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误；CD选项，对于函数，当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误；A选项，函数，定义域为，，函数为奇函数，图象关于原点对称，当或时，；当或时，.A选项正确.5.若，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用不等式的性质和充要条件的判定方法逐一判断各选项即得.解答过程：因，故A显然不合要求；对于B，若取，显然满足，但得不出，即不是的充分条件，不合题意；对于C，因，故也不是的充分条件，不合题意；对于D，，故可得，即是的充分条件；同时，因，若取满足，但得不出，即不是的必要条件，故D正确.6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解．解答过程：对数函数在上单调递增，且，所以，即；对数函数在上单调递增，且，所以，即；对数函数在上单调递增，且，所以，即；综上可得．7.已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据题意，得出是偶函数，通过且在的表达式确定在有且仅有个不同的零点即可求解.解答过程：已知函数，，则，因此是偶函数，图象关于轴对称，若函数有且仅有个不同的零点，则且在有且仅有个不同的零点，所以，即，当时，，则，，所以，由于此时有且仅有个不同的零点，需满足，解得，因此实数的取值范围是.8.已知函数定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（）A.0 B. C. D.答案：B解析：思路：根据函数的奇偶性，先分析函数和函数的基本性质，再结合函数的对称性、周期性求解可得.解答过程：已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，因为为奇函数，所以，则函数的图象关于点对称.因为函数，且为偶函数，则，所以函数的图象关于直线对称，即.由，且，可得，，则对任意成立，即，所以是奇函数.由函数的图象关于点对称，且为奇函数，可得，用代替x，则，所以函数的一个周期为4.因为是奇函数，其图象是一条连续不断的曲线，所以，由，且，令，可得，令代入得，所以.因为函数的周期为4，所以，，，.由，可得：，，，，，，，，可以发现：，，依次类推：每4项为一个周期，每个周期的和为，40项中共有10个周期，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数，则下列选项正确的是（）A.图象关于直线对称 B.在单调递增C.的值域为 D.有两个零点答案：AD解析：思路：先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数，时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项.解答过程：函数需满足，即定义域为，由对数的运算法则得到，对于A项，因为，所以，即图象关于直线对称，故A正确；对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴，时，单调递增，时，单调递减，因为外层函数在单调递增，所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误；对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增，所以当时，函数有最大值，又因为当或时，函数，，所以函数的值域为，故C错误；对于D项，令，即，得到，整理得到，解得，所以函数有两个零点，故D正确.10.已知随机变量，若，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.事件“”与事件“”相互独立答案：ABD解析：思路：利用正态分布的性质，结合方差的性质、条件概率及独立性的定义依次分析判断各选项即可.解答过程：已知随机变量，则正态分布的均值，正态曲线关于对称，方差，逐个分析选项：选项A：根据方差性质，因此，故A正确；选项B：由对称性得，可得，又，由对称性得，B正确；选项C：.由对称性.因此，C不正确.选项D：记事件，即，事件，则，概率，，，则，故相互独立，D正确.11.已知，，，则下列选项正确的是（）A. B.的最小值为C.的最小值为2 D.最小值为答案：ACD解析：思路：将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项.解答过程：对于A，由去分母，整理得，因，，则，且，因，则有，故A正确；对于B，由A得，则，因，则，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，故B错误；对于C，由去分母，得，即得，因，，则，当且仅当时等号成立，由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确；对于D，由A得，代入，得，设，则，当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________．答案：1解析：解答过程：由可得，又，则.13.在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，4次移动后质点落在圆内，不同的移动方法共有______种.答案：132解析：思路：先确定4次移动后满足落在圆内的所有整数坐标点，再分别计算每个点对应的移动路径数，求和得到总方法.解答过程：因为质点每次移动一个单位，4次移动后横纵坐标均为整数，可得到横纵坐标同奇偶，原点，满足，另外四个点分别为，，，，均满足，情况1：到原点的路径数，分三类情况，①仅上下移动：向上两步，向下两步，排列数为，②仅左右移动：向左两步，向右两步，排列数，③上下左右各1步：四个不同方向各走一步，全排列数为，总路径数：，情况2：到点的路径数，即向右比向左多一步，向上比向下多一步，总步数为4，分两类情况，①抵消步为上下方向，向右一步，向上两步，向下一步，排列数为，②抵消步为左右方向，向右两步，向左一步，向上一步，排列数为，所以到的总路径数为，同理到，，三个点的路径数也均为24，所以四个点总路径数为，所以所有符合条件的移动方法总数为：.14.给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______.答案：3解析：思路：由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与的差的绝对值.结合已知元素逐一讨论即可.解答过程：当时，取，则，命题成立；当或时，命题也显然成立；由题意，对，应有故或或，解得又因为为三元数集，故，且，所以四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先求出，再根据集合交集求解即可.（2）根据得到，再列式求解即可.（1），不等式，可化为，所以，即，所以，当时，，∴.（2）∵，∴.由（1），.因为集合非空，∴，解得，∴实数a的取值范围是.16.蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.整理收集到的数据，得到下表：242.964616842268850.470308表中，，，.（1）根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程；（2）据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.答案：（1）①拟合效果更好.理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好.（2），解析：（1）①拟合效果更好.理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好.令，则，，所以，因此z关于x的线性回归方程为，所以产卵数y关于温度x的回归方程为.（2）每年需要人工防治的概率为，且.所以，.17.已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且.（1）求，并用表示；（2）证明是增函数；（3）对，，恒成立，求实数的取值范围.答案：（1），（2），且，则，因为，所以，所以，因为当时，，则，所以，所以又因为时，，所以，所以，所以，即，所以是上的单调递增函数.（3）解析：思路：（1）根据题意，对③式，令，即可求出；对③式，令即可得到关于的表达式；（2）根据题意，利用函数单调性的定义，对于任意，当时，证明即可；（3）根据题意，得到恒成立，令，由单调递增即可求解.（1）对③式，令，，则，由于，解得，对③式，令，则，又因为，即，所以.（2）略.（3）由（2）知，是单调递增函数，所以最大值为，所以对任意，恒成立，即，令，由于在上单调递增，故需满足最小值，设，其在上单调递增且，故由，解得，所以实数的取值范围为.18.已知函数（且，），且函数为奇函数.（1）求函数的解析式；（2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值；（3）若函数图象与图象有3个交点，求实数a的取值范围.答案：（1）（2），，可知关于对称，即曲线为中心对称图形..（3）解析：思路：（1）利用奇函数性质取特殊值求参数，舍去不合题意的值并回代验证；（2）利用对称中心配凑证明中心对称，按首尾配对求和；（3）方程有三个交点等价于换元后关于的方程有两个合适区间的根，由根的分布确定参数范围.（1）∵为奇函数，∴，恒成立.取得，解得（舍去）或，当时，是奇函数，∴.（2），，∴关于对称，即曲线为中心对称图形.∴.，所以.（3）已知函数图象与图象有3个交点，即有三个实根，即有三个实根，令，则原方程等价于关于的二次方程，因为，可知方程有两个根，又因为，可知方程的两根一正