2025-2026学年四川省成都市石室天府中学高二下册5月学业练习数学试卷（含解析）

/数学（考试时间120分钟，满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（）A.， B.，C.， D.，2.已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.在的展开式中，的系数为12，则的值为（）A.2 B. C.1 D.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（）A.12种 B.24种 C.36种 D.30种6.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前项，构成新数列，即，记数列的前项和为，则（）A.128 B.558 C.884 D.49448.已知实数x，y满足且，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.设分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（）A. B.若，则C. D.10.已知函数，，，则下列说法中正确的是（）A.函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点．B.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数．C.，且，都有．D.，，使得成立，则实数．11.如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第45行的所有数字之和被9除的余数为1D.若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则Cn1+k三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．12.甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是________．13.已知等差数列的前项和为，且，，则时，的最小值为_____.14.已知函数，若恒成立，则的最大值是________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.16.我国是全球制造业大国，制造业主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：）．（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望．（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差．17.已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.设抛物线的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知.（1）求C的方程；（2）过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于.①证明:直线MN过定点；②求的最大值.19.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围；（3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有.

数学（考试时间120分钟，满分150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可.解答过程：由正态分布和的密度函数图象，的对称轴在的对称轴的左侧，故，由图象可得的数据的集中程度相比更加分散，根据方差的意义可得，故选：C.2.已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可.解答过程：由题意可知，所以.故选：D.3.在的展开式中，的系数为12，则的值为（）A.2 B. C.1 D.答案：B解析：思路：先写出通项公式，即可求出a.解答过程：的展开式的通项为，∵的系数为12，∴当6-2r=4时，解得r=1，有，即-6a=12，解得：a=-2.故选：B方法提示：方法点睛：二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可.解答过程：因为，所以，则在点处切线的斜率为，故切线方程为，即.5.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（）A.12种 B.24种 C.36种 D.30种答案：B解析：思路：根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.解答过程：因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法；若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，则有种分配方法；所以不同的安排方式有种；故选：B.6.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.解答过程：在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B7.已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前项，构成新数列，即，记数列的前项和为，则（）A.128 B.558 C.884 D.4944答案：B解析：思路：分别利用等差数列，和等比数列的前项和公式求得，然后确定是和中的哪些项的和，结合的表达式计算出，最后令得结论.解答过程：因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，数列的通项公式为，所以数列为等比数列，所以数列的前项和为，所以i=1，当时，．8.已知实数x，y满足且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值.解答过程：∵，∴，∴，即，设,则上式表明,求导得，当时，,单调递减，由于，∴，∴，∴,∴，∴,令,,当时，单调递减；当时，单调递增，∴,故选：D.方法提示：本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.设分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（）A. B.若，则C. D.答案：BCD解析：思路：对于A，举反例即可判断；利用条件概率公式及概率的性质可判断BC，利用全概率公式可判断D.解答过程：对于A，设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”，则，，此时，故A错误；对于B，，所以，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.10.已知函数，，，则下列说法中正确的是（）A.函数只有1个零点，当时，函数只有1个零点．B.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数．C.，且，都有．D.，，使得成立，则实数．答案：BD解析：思路：先分别求出函数和的单调性，对于A，直接解和时的最小值即可判断得解；对于B，根据函数的单调性结合函数的最小值和值的正负分布情况即可得解；对于C，根据函数的单调性即可得解；对于D，先由条件得到，再根据单调性确定并求解即可得解.解答过程：由题意，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；定义域为，，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.对于A，令，故函数只有1个零点；当时，，故没有零点，故A错误；对于B，，时，，时，，故有两个不相等的实数根，则实数，故B正确；对于C，在上单调递减，故C错误；对于D，，，成立，则，所以，即，故D正确.故选：BD.方法提示：思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项.11.如图所示为杨辉三角，第行的第个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行中从左到右第28个数和第2000个数大小相等B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C.第45行的所有数字之和被9除的余数为1D.若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则答案：ABD解析：思路：利用组合数对称性、组合数求和公式、二项式定理构造分析余数、组合数性质与二项式展开，逐一验证各选项正误.解答过程：对于选项A：第行的第个数为，因此第个数为，第个数为.由组合数对称性，得，故A正确.对于选项B：第行的第个数为，所求和为.由组合数求和公式，得，故B正确.对于选项C：第行所有数字之和为，由二项式定理展开：,展开式中前项均含有因式，均可被整除，仅剩最后一项，因此（），即，可得被除余数为，故C错误.对于选项D：由组合数性质，得数列为公差不为的等差数列.是关于的次多项式，等差数列对应一次多项式，故，即.所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．12.甲箱中有个白球，个黑球，乙箱中有个白球，个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是________．答案：##解析：思路：根据全概率公式直接求解即可.解答过程：记事件为“从甲箱中取出一个白球放入乙箱”，事件为“从乙箱中取出白球”，则，，，，.故答案为：.13.已知等差数列的前项和为，且，，则时，的最小值为_____.答案：21解析：思路：利用等差数列的通项公式根据题意求出，，从而得到，再根据等差数列的前项和公式将化为，即可求出答案.解答过程：由得，由得，即，即，即，所以，所以，即，由题意知，，可化为，所以，又，所以，又，所以，所以的最小值为.14.已知函数，若恒成立，则的最大值是________.答案：##解析：思路：求导和代入可求解，，进而将恒成立问题转化为对任意的恒成立，分类讨论求解函数的最值，进而构造函数，利用导数求解最值即可求解.解答过程：，则，故，因此，又，故，故，由可得，即对任意的恒成立，令，则，对任意的恒成立，，当时，恒成立，此时在上单调递增，当时，，不符合题意，舍去，当时，此时时，符合恒成立，则，当时，令，则，故则，故，因此，则，记，则，当时，，当时，，故，此时的最大值为，而，综上可得的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明过程见解析.（2）解析：思路：（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可.（1）设的中点为，连接.因为分别为的中点，所以，且.在直三棱柱中，，且，所以，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系，设直三棱柱的侧棱长，可得

三棱锥​，到底面的距离为，，因此，解得.则向量，，，设平面的法向量为，则，​

令，得，，即；平面​的一个法向量为；设两个平面夹角为，则.即两个平面的夹角余弦值为.16.我国是全球制造业大国，制造业主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：）．（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望．（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取4个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差．答案：（1）分布列：0123数学期望（2）技术攻坚成功的概率为，解析：思路：（1）找到可能值，分别计算各取值对应概率，进而列出分布列，再代入期望公式求解即可；（2）由题知服从二项分布，攻坚成功概率，根据二项分布概率求解即可；的方差利用二项分布方差公式求解.

（1）由题意可知的可能取值为：.

，

，

，

的分布列为0123P数学期望.（2）由题意每个零件合格的概率为，且各零件合格情况相互独立，故.技术攻坚成功时合格零件数超过半数，即时技术攻坚成功；因此技术攻坚成功的概率为

，

，故；方差.17.已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用及等比数列求出通项公式.（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即得.（1）在数列中，，当时，，两式相减得，即，当时，，解得，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得：，所以.18.设抛物线的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知.（1）求C的方程；（2）过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于.①证明:直线MN过定点；②求的最大值.答案：（1）（2）①证明见解析；②解析：思路：（1）不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为，在中利用勾股定理即可；（2）①设，，联立直线与抛物线的方程，利用化简直线的方程，得出，再化简直线的方程即可，再求出直线斜率为零时的情况即可；②联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式求出，再求出点坐标，得出，即可化简，结合函数的