2025-2026学年云南省曲靖市宣威市第二中学高三下册考前质量评估数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试用时120分钟.一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（）A. B.C. D.3.已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.若是函数的图象的一个零点，则的最小值是（）A. B. C. D.5.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（）A. B.C. D.6.已知正方形的边长为2，点是的中点，，则向量（）.A.1 B.5 C.7 D.7.已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为（）A.3 B. C. D.8.设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.无数个二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（）A.该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性B.男生中抽取的样本量为24C.该校高三年级学生身高的平均数估计值为165D.该校高三年级学生身高的方差估计值为4010.如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点).则下列结论中正确的是（）A.平面B.为中点时C.为中点时异面直线与所成的角为D.棱锥的体积为定值11.在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（）A.B.的最大值为C.的值可取D.内切圆半径的值可取三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.记等比数列的前项和为，若则的值为__________.13.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的体积为___．14.巴黎奥运会男子足球比赛于北京时间7月24日开始，东道主法国队分在A组，A组中还有美国、新西兰、几内亚三支队伍，每组进行单循环比赛（每两支队伍进行一场比赛），规定：每场比赛获胜的队伍得3分，输的队伍得0分，平局的2支队伍均得1分，小组前2名出线．法国队实力超群，面对任意一名对手时自己胜、负、平的概率都分别为，，，其他三支队伍比赛时水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，每场比赛结果相互独立．在已知三轮比赛后法国队获得两胜一平，且第一轮比赛中几内亚、美国都输给对手的情况下，新西兰能积6分出线的概率为______．四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式：（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．16.为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：（1）计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数.（2）初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；（3）为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分.小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：题型填空选择简答答题正确概率若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由.17.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18.已知函数．（1）若，求的极值；（2）若，求函数的单调增区间；（3）若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．19.已知，，二者相交于，离心率为．（1）求的方程；（2）记在第一象限交于，第二象限交于，第三象限于，第四象限交于．（i）如图1，过点的直线交于，过点的直线交于，斜率分别为，，的中点分别为，．求证：当时，(所有直线斜率均存在)；（ii）如图2，为上的动点，连接交于，连接交于．连接交于，连接交于，求证：轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．

数学满分150分，考试用时120分钟.一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题得，则．2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据复数对应的点化简可得复数.解答过程：因为，所以.故选：B.3.已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，即可求出，，，结合椭圆的定义及性质计算可得.解答过程：由题意，设，则．由椭圆的定义得，则离心率．故选：B．4.若是函数的图象的一个零点，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据正切函数的零点计算求解.解答过程：因为是函数的图象的一个零点，则，则，则的最小值是.故选：D.5.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由函数的奇偶性与单调性判断，解答过程：由题意可知，在上单调递减，而是偶函数，故在上单调递增，，故选：A6.已知正方形的边长为2，点是的中点，，则向量（）.A.1 B.5 C.7 D.答案：C解析：思路：将表示为的线性和形式，再结合向量数量积的运算，求得的值.解答过程：画出图像如下图所示，依题意可知是线段的中点，是线段的中点.故,.故.故选：C.方法提示：本小题主要考查平面向量加法和减法运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为（）A.3 B. C. D.答案：B解析：思路：化简判断圆心和半径，利用圆的性质判断连接线段OC，交圆于点P时最小，再计算求值即得结果.解答过程：化简得圆C的标准方程为，故圆心是，半径，则连接线段OC，交圆于点P时最小，因为原点到圆心的距离，故此时.故选：B.8.设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）A.3个 B.2个 C.1个 D.无数个答案：B解析：思路：根据构成三角形的三边之间的关系得出相应不等式，再代入通项公式计算出符合题意的正整数即可.解答过程：∵长为，，的线段均能构成三角形，∴，①当时，有，即，又，∴，即恒成立；②当时，有，即，∴，因为，易知随着的增大而增大，所以；则有，整理可得，结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及，可知当，，不合题意；当时，，当时，，当时，，因此可得，③当时，有，即，当时，显然成立，当时，，因为，易知随着的增大而增大，所以，因此即可，即，所以；结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及，可得，综上可得∴满足条件的n有2个．故选：B．二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（）A.该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性B.男生中抽取的样本量为24C.该校高三年级学生身高的平均数估计值为165D.该校高三年级学生身高的方差估计值为40答案：BD解析：解答过程：A，比例分配的分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故A错；B，由题抽样比例为，故男生被抽到人数为人，故B对；C，估计该校高三年级学生身高的平均数为：，故C错；D，估计该校高三年级学生身高的方差为：，故D对．10.如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点).则下列结论中正确的是（）A.平面B.为中点时C.为中点时异面直线与所成的角为D.棱锥的体积为定值答案：ABD解析：思路：作出图形，由线面平行的判定定理判断A，线面垂直的判定定理及性质判断B，由异面直线所成角的解法判断C，由点G到平面的距离为定值，由三棱锥体积公式判断D．解答过程：如图，，则，平面，平面，，则有平面，故A正确；设CD中点为M，若G为BC中点，则有平面，则平面，又平面，则，因为，所以，故B正确；设正方体棱长为2，取中点为N，连接，因为，所以异面直线与所成的角即为，因为为中点，在正方体中，易得,所以角，故C错误；易知平面，则点G到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选:ABD.11.在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（）A.B.的最大值为C.的值可取D.内切圆半径的值可取答案：ABD解析：思路：选项A：利用正弦定理将边化为角,结合进行三角恒等变换,消去后用辅助角公式化简,求得.选项B：由三角形面积公式得与的关系,结合余弦定理和基本不等式求出的最大值,代入可得最大值为.选项C：由面积公式得出、表达式,代入化简后换元构造函数,转换成二次函数单调性问题,算出式子最小值大于.选项D：根据内切圆半径公式整理出与的关系,结合正弦定理、余弦定理确定取值范围,验证时满足条件,三角形存在.解答过程：在中，已知，.由正弦定理，得.因为，所以，代入化简得.由，得，即，.因为，所以，，故选项A正确.设的面积为，则，代入，，得.由余弦定理，得.由，得，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为，故选项B正确.由，得，，则.又，，代入得.令，，则，令,由,得,函数化为二次函数:令开口向上,对称轴.在区间上单调递增.因此当(即)时,取得最小值代入得最小值，所以，故选项C错误.设内切圆半径为，则，即，.由余弦定理，得，代入的表达式约分得：，由正弦定理，，，故，得，因此，若​，代入得：，此时，满足，且方程的判别式，存在两个正根，即这样的三角形存在，因此可取，选项D正确.三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.记等比数列的前项和为，若则的值为__________.答案：解析：思路：由等比数列前项和的性质，仍成等比数列，再由等比中项的性质列方程求解即可．解答过程：由等比数列前项和的性质，仍成等比数列，即成等比数列，，解得．故答案为：．13.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的体积为___．答案：解析：思路：先利用圆锥侧面积公式结合已知条件求出母线长，再借助勾股定理算出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式即可求得结果.解答过程：设圆锥底面半径为，母线长为，高为，体积为.已知，侧面积.由圆锥侧面积公式，代入得，解得.由勾股定理，代入得.由圆锥体积公式，代入得.14.巴黎奥运会男子足球比赛于北京时间7月24日开始，东道主法国队分在A组，A组中还有美国、新西兰、几内亚三支队伍，每组进行单循环比赛（每两支队伍进行一场比赛），规定：每场比赛获胜的队伍得3分，输的队伍得0分，平局的2支队伍均得1分，小组前2名出线．法国队实力超群，面对任意一名对手时自己胜、负、平的概率都分别为，，，其他三支队伍比赛时水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，每场比赛结果相互独立．在已知三轮比赛后法国队获得两胜一平，且第一轮比赛中几内亚、美国都输给对手的情况下，新西兰能积6分出线的概率为______．答案：解析：思路：先明确新西兰出线的条件，再根据已知的比赛结果和各队比赛胜负平的概率，分析出满足新西兰积分出线的具体情况，根据独立事件概率的乘法公式计算出相应概率，结合条件概率公式可得答案.解答过程：已知每组进行单循环比赛，组有法国、美国、新西兰、几内亚四支队伍，则每支队伍要进行场比赛.法国队已确定获得两胜一平，积分，必定出线.要使新西兰能积分出线，则新西兰需胜两场输一场，且美国和几内亚的积分都小于分.设事件“三轮比赛后法国队获得两胜一平，且第一轮比赛中几内亚、美国都输给对手”为事件M，则第一轮法国胜几内亚、新西兰胜美国；第二轮法国胜新西兰；第三轮法国平美国；或者第一轮法国胜几内亚、新西兰胜美国；第二轮法国平美国；第三轮法国胜新西兰；或者第一轮法国胜美国、新西兰胜几内亚；第二轮法国胜新西兰；第三轮法国平几内亚；或者第一轮法国胜美国、新西兰胜几内亚；第二轮法国平几内亚；第三轮法国胜新西兰；因为每场比赛结果相互独立，法国取胜的概率为；法国战平的概率为；新西兰战胜几内亚的概率为；新西兰战胜美国的概率为；，设事件“新西兰能积6分出线”为事件,则事件为“三轮比赛后法国与几内亚和美国比赛一胜一平胜新西兰,且新西兰胜美国与几内亚”..所以,即在三轮比赛后法国队获得两胜一平，且第一轮比赛中几内亚、美国都输给对手的情况下，新西兰能积6分出线的概率为.故答案为：.四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式：（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意求出和的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）根据题意得出，故，利用分组求和计算即可.（1）方法1：设等差数列的公差为，，因为，所以，又，所以，解得，因为，所以的通项公式为；方法2：设等差数列的公差为，故，，所以；（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，因为，所以，则，所以数列的前项和为.16.为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛.全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有40位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：（1）计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数.（2）初赛分数达到80及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出2位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；（3）为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各1题；每答对1题得1分，答错或不答得0分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到3题全部答完；若答错或不答则比赛结束.例如：选手甲可自行按“简答—填空—选择”顺序答题，甲答对第一题得1分，并继续回答第二题且答错得0分，结束比赛，总分为1分.小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛.根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：题型填空选择简答答题正确概率若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由.答案：（1）；该校这次初赛的平均分数为68分（2）（3）012按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答：得零分的概率：，得一分的概率：，得两分的概率：，得三分的概率：，期望为分；因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；填空，简答，选择：得零分的概率：，得一分的概率：，得两分的概率：，得三分的概率：，期望为分；因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；选择，填空，简答：得零分的概率：，得一分的概率：，得两分的概率：，得三分的概率：，期望为分；因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；所以，小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序.解析：思路：（1）由频率分布直方图的面积和为1计算可得值，由区间的中值乘以纵坐标值再乘以区间宽度后相加可得平均数；（2）先由频率分布直方图计算出优秀与非优秀人数，再由组合数结合古典概率求出相应的概率，然后列出分布列即可；（3）按照答题顺序分六种情况，由乘法公式计算相应概率，然后求出期望比较即可.（1）由频率分步直方图中小矩形的面积和为1可得：，解得；该校这次初赛的平均分数为.（2）初赛分数达到80及以上的同学为人，非优秀为28人，由题意可得的可能取值为，，，，所以的分布列为：012（3）略17.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析（2）（3）存在，.解析：思路：（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面；（2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值；（3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出.（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以，又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形，从而，沿着AE翻折成后，有又平面，所以平面，由题意，易知，所以四边形是平行四边形，故，所以平面.（2）因为平面，平面，则有，由（1）知，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，则，设平面的一个法向量为，则，令得，故，又平面的一个法向量为，则，故平面与平面夹角的余弦值为；（3）假设线段上存在点，使得平面，过点作交于，连接，如图所示：所以，所以四点共面，又因为平面，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，故在线段上存在点，使得平面，且.18.已知函数．（1）若，求的极值；（2）若，求函数的单调增区间；（3）若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案：（