2025-2026学年云南省昭通市正道中学等校高二下册5月联考数学试卷（含解析）

/云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（

）A．-1 B．2 C．7 D．34．在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（

）A．2.5年 B．3年 C．3.5年 D．4年6．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若在上恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C．3 D．二、多选题9．某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（

）A．直方图中的值为0.15B．估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时C．估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时D．估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时10．函数的图象为，下列选项不正确的是（

）A．图象关于直线对称B．图象可由的图象向右平移个单位长度得到C．函数在上单调递减D．若，则的最小值为11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（

）A．是周期为4的周期函数B．的图象关于直线对称C．D．在（3，4）上单调递减三、填空题12．抛物线的焦点到准线的距离是________13．展开式中的常数项为______．14．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则__________；__________.四、解答题15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)证明：对任意恒成立.16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点.(1)证明：平面.(2)求点到平面的距离.(3)求直线与平面所成角的正弦值.17．某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立.(1)求考生甲恰好答对2道必答题的概率；(2)记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望.18．已知函数.(1)若在上单调递增，求的取值范围.(2)若存在两个极值点，证明：.19．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.题号12345678910答案ACCDBADCACBCD题号11答案ABD1．A根据交集的运算即可.【详解】因为，所以，故选：A.2．C把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解．【详解】由，可得,所以的虚部为，故选：C3．C由向量垂直以及数量积的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以，因为，，所以，解得.4．D【详解】因为，所以异面直线与所成的角等于与所成的角，即或其补角.设，因为直三棱柱，则平面，因为平面，所以，则，又因为，则，而易知，则，则，则所以.5．B【详解】由题意知，所以，解得，所以.令，解得.6．A【详解】因为，所以.由题意知，得，所以.因为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故的最大值为.7．D通过凑角的方法，将未知角转化为已知角，利用三角函数关系计算即可．【详解】因为，且，所以．8．C根据渐近线及其垂线方程可得点的坐标，再利用面积求解.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为，联立两直线方程可得点坐标为.因为，所以的面积为.由，得，所以双曲线的离心率为.9．AC【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，前两组，的频率和为，前三组频率和为，则中位数，，得，B错误；对于C，平均数为小时，C正确；对于D，锻炼时长不低于6小时的频率为，则约40%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时，D错误.10．BCD【详解】因为，所以直线是图象的对称轴，故A正确；因为将的图象向右平移个单位长度可得到的图象，和图象不一致，所以B错误；当时，，而在上单调递增，因此在上单调递增，故C错误；因为函数的最小正周期，而相邻两个零点间的距离为半个周期，所以的最小值为，故D错误.11．ABD【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确；因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，其图象对称轴为直线，结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确；因为，，，，则，所以，故C不正确；当时，，，由，得，其在上单调递减，所以D正确.12．/将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而得解.【详解】抛物线，即，所以焦点坐标为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为.故答案为：13．240利用二项式定理，求出通项公式进行求解.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，则.故答案为：24014．使用正弦定理与余弦定理即可求解与的值.【详解】因为，，，所以.因为，所以，化简得，解得（负根舍去）.15．(1)(2)(3)因为，所以.因为，所以，故.（1）根据等比中项含义得到方程，解出公差的值，最后再根据等差数列通项公式即可得到答案；（2）利用分组求和方法即可得到答案；（3）根据裂项求和法即可证明不等式【详解】（1）设数列的公差为，因为，，成等比数列，所以.因为，所以，解得或（舍去），因此的通项公式为.（2）由（1）知.因为等比数列的前项和为，等差数列的前项和为，所以.（3）略16．(1)连接交于点，连接.因为底面是正方形，所以为的中点.因为为的中点，所以是的中位线，.因为平面，平面，所以平面.(2)(3)（1）由线面平行的判定定理即可证明；（2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量点到平面的距离公式求解即可；（3）由空间向量直线与平面的夹角求解即可.【详解】（1）略（2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.（3）结合（2）中坐标系，知，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.17．(1)(2)分布列见解析，30（1）由独立重复试验求解即可；（2）由总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50，由此求解分布列与数学期望即可.【详解】（1）3道必答题中恰好答对2道的概率.（2）因为必答题的得分可能为0，10，20，30，选答题的得分可能为0，20，所以总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50.若必答题全错且选答题答错，则；若只答对1道必答题且选答题答错，则；若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对，则；若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对，则；若只答对2道必答题且选答题答对，则；若答对3道必答题且选答题答对，则.因此，的分布列为01020304050所以.18．(1)(2)证明：若存在两个极值点，，则有两个不同的实根，，即.令，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以.要证，即证.因为，，且在上单调递减，所以只需证.因为，所以只需证，即证，整理得.令，则，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，所以，所以，即，故.19．(1)(2)证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.因为直线不经过点，所以.由方程组消去整理得，则，.因为直线与直线的斜率之和为-1，所以，整理得，所