2025-2026学年浙江省金华市卓越联盟高二下册5月阶段联考数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．选择题部分一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，集合，则（）A. B. C. D.2.设i为虚数单位，若复数，则的虚部为（）A. B.3 C. D.3.二项式的展开式中常数项为（）A. B. C. D.44.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.5.某校计划从2名男教师和6名女教师中，选出3名教师分别担任运动会开幕式的主持人、解说员和礼仪引导员．要求选出的3人中至少包含1名男教师，则不同的安排方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种6.“”是“函数的图象关于对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.8.设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题正确的是（）A.线性回归直线必然过样本中心点B.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好C.已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1D.正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”10.如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（）A.该三棱锥的外接球直径为 B.C. D.11.已知函数，，则（）A.当时，存在极值点B.若有三个不同零点，，，则C.过点且与曲线相切的直线有且仅有1条D.若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则非选择题部分三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则________．13.将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________．14.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，若，求的值；（2）若的值域为，求实数的取值范围．16.某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5（1）从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率．附：若，则，，．17.记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S．已知．（1）求；（2）若，点是线段的中点，求线段的最大值．18.如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面．（1）证明：平面．（2）空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．19.已知函数（1）求的值．（2）讨论的单调性．（3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：．

数学满分150分，考试时间120分钟．选择题部分一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：

集合，是自然数集，所以，又因为，因此.2.设i为虚数单位，若复数，则的虚部为（）A. B.3 C. D.答案：D解析：思路：由复数的运算及虚部的概念可得结果.解答过程：由，可得，，所以的虚部为.3.二项式的展开式中常数项为（）A. B. C. D.4答案：A解析：解答过程：二项式的展开式的通项公式为：，令，解得，．4.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：已知，则，解得，设向量与的夹角为，则．5.某校计划从2名男教师和6名女教师中，选出3名教师分别担任运动会开幕式的主持人、解说员和礼仪引导员．要求选出的3人中至少包含1名男教师，则不同的安排方法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：C解析：解答过程：根据题意可知，不同的安排方法有两种情况：1男2女：，2男1女：，不同的安排方法总计：．6.“”是“函数的图象关于对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可.解答过程：若函数的图象关于对称，则，即，因为是的真子集，所以是函数的图象关于对称的必要不充分条件.7.已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积.解答过程：因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高，因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图，设圆锥外接球的半径为，在中，，所以，解得，所以该圆锥的外接球的体积为.8.设函数，，若曲线与恰有一个交点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过构造函数，求证是偶函数，根据零点个数得到，计算即可.解答过程：已知函数，，令，定义域为，由于曲线与恰有一个交点，即函数只有一个零点，又因为，所以函数是偶函数，因此的零点只能是，即，代入函数，得，解得，故D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题正确的是（）A.线性回归直线必然过样本中心点B.在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好C.已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1D.正态曲线当一定时，越小，这条曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖”答案：ABD解析：思路：直接利用线性回归直线以及决定系数、相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可.解答过程：对于A，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故A正确；对于B，决定系数是衡量回归模型拟合效果的重要指标，其值越大（越接近），说明模型解释因变量变异的能力越强，即拟合效果越好，故B正确；对于C，相关系数的绝对值越接近，表示两个变量的线性相关性越强，故C错误；对于D，正态分布中，当固定时，越小，曲线越“瘦高”，数据越集中；越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；故D正确.10.如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（）A.该三棱锥的外接球直径为 B.C. D.答案：ABD解析：思路：选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B，根据三棱锥体积进行运算；选项CD，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成长方体，找到相应角进行计算；解答过程：对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球，则外接球直径，故A正确；选项B，由三棱锥的体积，得，化简，得，故B正确；对于C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体，则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为，则，，，则，故C错误；对于D，直线与平面、平面、平面所成角分别为，则，故，故D正确.11.已知函数，，则（）A.当时，存在极值点B.若有三个不同零点，，，则C.过点且与曲线相切的直线有且仅有1条D.若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则答案：BCD解析：思路：对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算.解答过程：对于A，可得，当时，有，此时恒成立，不存在极值点，故A错误；对于B，若有三个不同零点，，，则，取，得，即，B正确；对于C，设切点为，则切线方程为，因为切线过点，可得，即，整理得，解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确；对于D，若有三个不同零点，，，则，求导得，所以，，从而，D正确.非选择题部分三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则________．答案：2解析：思路：由题得，再根据对数运算法则求解即可.解答过程：因为，，所以，.13.将4名某医科大学的学生分配到3个不同的医院实习，每个大学生被分配到每个医院的概率均等且相互独立．分配结束后，设实际有大学生分配实习的医院个数为，则数学期望________．答案：##解析：思路：先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据数学期望公式计算.解答过程：的可能取值为，总分配情况数为，当时，即4名学生全部分配到同一家医院；当时，即只有2个医院有学生实习：先选2个医院：，4人分配至这2个医院，排除全在其中1个医院的情况：；当时，即3个医院均有学生实习，人数分配为：选1个医院安排2名学生：，从4人中选2人分配至该医院：，剩余2人分配至剩下2个医院：所以，，，所以.14.已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．答案：解析：思路：首先把原不等式变形为，然后分别分析的单调性和最值，得到恒在上方，所以有.解答过程：因为，原不等式等价于，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，在上的最小值即为极小值；设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，在上的最大值即为极大值，因为，所以在上恒成立，所以等价于，结合最值信息即有.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，若，求的值；（2）若的值域为，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）当时，令，当时，令求解；（2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解；（1）当时，令，符合题意．当时，令，，解得不符合，舍去．综上．（2）当时，，所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含则当时，令，当时，可得，因为在上的上取值范围包含，所以，结合可得；当时，在上是增函数，所以，不满足在上的上取值范围包含，综上16.某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5（1）从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率．附：若，则，，．答案：（1）分布列见解析，2.7（2）0.976．解析：思路：（1）由条件求该仪器的合格率，根据二项分布的定义判断随机变量，结合二项分布概率公式求分布列，再由二项分布期望公式求期望；（2）结合题干信息判断随机变量Y近似服从正态分布，求，再根据正态分布性质并结合参考数据求结论.（1）由题，该仪器的合格率，所以随机变量，故其分布列为，01230.0010.0270.2430.729数学期望．（2）由（1）知，随机变量，此时np=100×0.9=90>5，，所以可以认为随机变量Y近似服从正态分布，其中μ=100×0.9=90，，所以，所以．所以合格的件数的概率约为0.976．17.记三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为S．已知．（1）求；（2）若，点是线段的中点，求线段的最大值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用三角形面积公式和余弦定理，推得，结合内角范围，即可求得角；（2）由余弦定理可得，由平方结合向量数量积运算，得，利用正弦定理结合三角恒等变换求得的范围，进而求得答案.（1）由，则，化简得，又，故.（2）由余弦定理可得，即，又，所以，又由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得，则，所以，所以，所以，所以线段最大值为.18.如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面．（1）证明：平面．（2）空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；（3）求平面与平面的夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）存在，点为与的交点（3）．解析：思路：（1）根据正方形的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可；（3）利用空间向量夹角公式进行