14.3 角的平分线知识点梳理讲义（暑假预习）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3角的平分线知识点梳理讲义（暑假预习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

暑期自主预习专用·适用对象：八年级学生·预计学习时间：60分钟一、本节预习导航【与已学知识的联系】七年级我们已经知道角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。当时只能用量角器度量或折纸得到它。学过14.2的五种全等判定方法之后，我们终于可以用尺规精确作出角平分线，并且能够证明角平分线一个非常有用的性质——线上任意一点到角两边的距离相等。本节是全等三角形判定方法的第一次重要应用。【本节核心内容】①点到直线的距离；②尺规作已知角的平分线及其SSS原理；③角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；④角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角平分线上；⑤性质与判定的互逆关系；⑥三角形三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等；⑦用角平分线解决求距离、求面积、证明线段相等等问题。【所需图形类型】角与其平分线的标注图1幅（标出∠1=∠2）；尺规作角平分线的作法流程图1幅；三角形的一条角平分线示意图1幅；本节知识结构树1幅（性质与判定互逆、内心）。【术语衔接提示】本节的“距离”特指点到直线的距离，即从这一点向直线作垂线，垂线段的长度。它不是点到直线上某个随意取的点的距离。凡是题目中出现“到角两边的距离”，图上一定要有两条垂线段，证明中一定要写出两个90°的直角，这是本节所有推理的起点。【数学思想渗透】转化思想（把“距离相等”转化为“两个直角三角形全等”）、互逆思想（性质与判定条件结论对调，构成一对互逆定理）、作图与推理相结合（先作出图形，再证明作法正确）、面积法（利用角平分线上的点到两边距离相等，把面积拆分成若干个高相等的小三角形）、集合观点（角平分线是角内部到两边距离相等的所有点组成的图形）。二、各小节知识清单（一）点到直线的距离与尺规作角的平分线🎯第一步：预习目标✔准确说出点到直线的距离的含义，并会在图中画出。✔熟记角平分线的定义，会用几何语言表示。✔会用尺规作出一个已知角的平分线，并保留作图痕迹。✔能说明尺规作法的道理（用SSS证明两个三角形全等）。✔了解折纸法、两把直尺法等其他得到角平分线的方法。📌第二步：知识清单📌知识点1：点到直线的距离。从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离。它是这一点与直线上所有点的连线中最短的一条（垂线段最短）。本节所说的“点到角两边的距离”，就是分别向角的两边作垂线段后得到的两条线段的长度，图中必须画出两个直角标记。📌知识点2：角平分线的定义与几何语言。从一个角的顶点出发、把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。几何语言有三种等价写法：①因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC；②所以∠AOC=∠BOC=∠AOB的一半；③所以∠AOB=2∠AOC。这三种写法在不同题目中各有便利，都要会用。📌知识点3：尺规作角平分线的作法。已知∠AOB，求作它的平分线。作法：①以O为圆心、适当长为半径画弧，分别交OA于M、交OB于N；②分别以M、N为圆心、大于MN一半的同一长度为半径，在∠AOB的内部画弧，两弧交于点P；③作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线。注意第二步的半径必须大于MN的一半，否则两弧不相交。📌知识点4：作法的道理（用SSS说明）。连接MP、NP。在△OMP和△ONP中：OM=ON（同圆半径相等），MP=NP（两弧半径相同），OP=OP（公共边），所以△OMP≌△ONP（SSS），所以∠MOP=∠NOP（全等三角形的对应角相等），即OP平分∠AOB。这说明尺规作图并不是“大概画一画”，它的每一步都有严格的推理保证。📌知识点5：其他得到角平分线的方法。折纸法：把画有角的纸沿顶点折叠，使角的两边完全重合，折痕所在射线就是角平分线。两把直尺法：把两把宽度相同的直尺分别沿角的两边摆放，两把尺子内侧边缘的交点与顶点的连线就是角平分线（原理是该点到角两边的距离都等于尺子的宽度）。这些方法都可以用本节的性质或判定加以解释。💡方法点拨作图题要牢记“三写”：写已知、写求作、写作法，并且一定要保留弧线痕迹。作完之后最好再补一句“射线OP即为所求”，格式才算完整。图1射线OC平分∠AOB：∠1=∠2，即∠AOC=∠BOC=∠AOB的一半。图2尺规作角平分线的五步作法与原理：两次画弧定出点P，连OP即得平分线，理由是△OMP≌△ONP（SSS）。⚠第三步：特别提醒⚠第二步画弧的半径必须大于MN的一半，且两次所用半径相同，否则作不出交点或作出的射线不平分角。⚠作图痕迹（弧线）不能擦掉，它是作法正确的凭证，擦掉后作图题不得分。⚠点到直线的距离一定是垂线段的长度，不能随手连一条斜线段就说是距离。🔍第四步：易错点剖析❌错例：作角平分线时，第二步两次画弧用了不同的半径。错因：两弧半径不同则MP≠NP，无法得到△OMP≌△ONP，所作射线不平分角。✅规避：第二步固定圆规开口不动，依次以M、N为圆心画弧，保证半径完全相同。❌错例：把点P到直线OA上某一点的连线长当作P到OA的距离。错因：距离必须是垂线段的长度，斜线段总比垂线段长。✅规避：凡涉及“距离”，先在图上作垂线并标出直角，再谈长度。✏️第五步：典型例题【例题1】（基础·★☆☆）已知∠AOB=76°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数。【解】因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC=76°÷2=38°。又OD平分∠AOC，所以∠COD=38°÷2=19°。于是∠BOD=∠BOC+∠COD=38°+19°=57°。【答案】∠BOD=57°。旁批：逐层平分，逐层取半。【例题2】（中档·★★☆）在尺规作角平分线的过程中，若OM=ON=3，MP=NP=4，请说明OP平分∠AOB的理由。【解】连接MP、NP。在△OMP和△ONP中：OM=ON=3，MP=NP=4，OP=OP（公共边），所以△OMP≌△ONP（SSS），所以∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB。【答案】理由为SSS全等。旁批：作图的合理性靠全等来保证。📝第六步：随堂小测1.从直线外一点向直线作垂线，______的长度叫做点到直线的距离。2.把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的______。3.尺规作角平分线时，第二步两弧的半径必须______且大于MN的一半。4.尺规作角平分线的原理是判定方法______。5.若OC平分∠AOB且∠AOC=35°，则∠AOB=______。（二）角的平分线的性质定理🎯第一步：预习目标✔准确叙述角平分线的性质定理。✔会用几何语言书写性质定理的三个前提与一个结论。✔会证明性质定理（用AAS或HL）。✔能用性质定理直接求线段长度，避免重复证明全等。📌第二步：知识清单📌知识点6：角平分线的性质定理。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何语言：因为OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，所以PD=PE。使用这条定理必须同时具备三个前提：一是有角平分线，二是点在角平分线上，三是有两条垂线段（即两个直角）。三者缺一，结论都不能直接得出。📌知识点7：性质定理的证明。在△PDO和△PEO中：∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义），∠DOP=∠EOP（角平分线的定义），OP=OP（公共边），所以△PDO≌△PEO（AAS），所以PD=PE（全等三角形的对应边相等）。可见性质定理本质上是“两个直角三角形全等”的一个推论，理解了这一点，忘记结论时也能现场推出来。📌知识点8：性质定理的价值：省去重复证明。在很多题目中，如果不使用性质定理，就必须每次都重新证明一遍两个直角三角形全等，非常繁琐。有了性质定理，只要图中出现“角平分线+两条垂线段”这一组合，就可以一步写出两段相等，大大缩短推理链条。这正是把常用结论提炼成定理的意义。📌知识点9：性质定理的常见图形特征。典型图形有两类：一类是“角+平分线+两垂线段”的基本图（形如一只风筝）；另一类出现在三角形中，如AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若∠C=90°，则DC本身就是点D到AC的距离，于是DE=DC。第二类图形中的一条“垂线段”常常被隐藏在直角三角形的直角边里，需要仔细辨认。💡方法点拨用性质定理时养成“三查”习惯：一查有没有角平分线，二查点是不是在角平分线上，三查两条垂线段是不是分别垂直于角的两边。三查通过，直接下结论；有一项不满足，就要另想办法。图3△ABC中AD是∠BAC的平分线：D在角平分线上，从D向AB、AC作垂线段，长度必然相等。⚠第三步：特别提醒⚠性质定理的结论是“到角两边的距离相等”，指的是两条垂线段相等，不是别的线段相等。⚠只有点在角平分线上时结论才成立，角平分线外的点到两边距离一般不相等。⚠图中若没有画出垂线段，需要自己添加辅助线（过该点向角的两边作垂线），并注明“作PD⊥OA于D”。🔍第四步：易错点剖析❌错例：由“AD平分∠BAC”直接得出BD=CD。错因：BD、CD不是点D到角两边的距离（它们不是垂线段），性质定理不能这样用。✅规避：只有向角的两边作出垂线段，得到的两条垂线段才相等。❌错例：点P在角的内部但不在角平分线上，仍然写PD=PE。错因：性质定理要求点必须在角平分线上，这是前提条件。✅规避：使用前先确认点的位置，不在平分线上就不能用该定理。✏️第五步：典型例题【例题3】（基础·★☆☆）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。若PD=3.5，求PE的长。【解】因为OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，由角平分线的性质定理得PE=PD=3.5。【答案】PE=3.5。旁批：三个前提齐备，一步得出结论。【例题4】（中档·★★☆）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。若BC=8，BD=5，求DE的长。【解】因为∠C=90°，所以DC⊥AC，DC就是点D到AC的距离；又DE⊥AB，DE是点D到AB的距离。因为AD平分∠BAC，由性质定理得DE=DC。而DC=BC−BD=8−5=3，所以DE=3。【答案】DE=3。旁批：直角边DC就是隐藏的那条垂线段。📝第六步：随堂小测1.角的平分线上的点到角的______的距离相等。2.使用角平分线性质定理需要具备的三个前提是：有角平分线、点在______上、有两条______。3.性质定理可以用判定方法______证明（写出一种即可）。4.若OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PE=6，则PD=______。5.在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，则DE=______。（三）角的平分线的判定定理🎯第一步：预习目标✔准确叙述角平分线的判定定理。✔理解判定定理与性质定理互为逆命题。✔会证明判定定理（用HL）。✔会用判定定理证明某条射线是角的平分线。📌第二步：知识清单📌知识点10：角平分线的判定定理。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。几何语言：因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，所以OP平分∠AOB。这里“在角的内部”这个条件不能省略，否则在角的外部也能找到到两边距离相等的点。📌知识点11：判定定理的证明。在Rt△PDO和Rt△PEO中：OP=OP（公共斜边），PD=PE（已知），所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），所以∠DOP=∠EOP（全等三角形的对应角相等），即OP平分∠AOB。这正是HL判定定理最典型的应用场景之一。📌知识点12：性质与判定的互逆关系。性质定理：在角平分线上⇒到两边距离相等；判定定理：到两边距离相等（且在角内部）⇒在角平分线上。两者的条件与结论恰好对调，构成一对互逆定理。用法上也正好相反：已知角平分线求线段相等，用性质；已知线段相等要证角平分线，用判定。做题时先分清“已知什么、要证什么”，再决定用哪一条。📌知识点13：集合观点下的角平分线。把判定定理与性质定理合起来看，可以得到一个整体的描述：角的平分线可以看成是角的内部到角两边距离相等的所有点组成的图形。这种“把图形看成满足某条件的点的集合”的观点，在下一章学习线段的垂直平分线时还会再次出现，是初中几何的一条重要线索。💡方法点拨记忆诀窍：性质与判定是一对“反向箭头”。看到题目给出角平分线，就往“距离相等”走；看到题目给出两条垂线段相等，就往“角平分线”走。方向选对，思路自然通。图414.3知识结构：尺规作法、性质定理、判定定理三条主线，底部汇总三角形三条角平分线的交点（内心）。⚠第三步：特别提醒⚠判定定理中“在角的内部”不能漏掉，它保证了所求的射线确实落在角内。⚠证明判定定理时必须先说明两个三角形是直角三角形，才能使用HL。⚠判定定理的结论是“在角平分线上”，写成“该点是角平分线”是概念混淆，点不能等同于射线。🔍第四步：易错点剖析❌错例：由PD=PE直接断定OP平分∠AOB，但没有说明PD、PE是垂线段。错因：判定定理要求PD⊥OA、PE⊥OB，否则两条相等线段不代表距离相等。✅规避：使用判定定理前先确认两条线段都是垂线段，并在证明中写明垂直条件。❌错例：把性质定理和判定定理的用法弄反：已知角平分线却去证距离相等再反推角平分线。错因：混淆了条件与结论的方向，造成循环论证。✅规避：先明确题目“已知”与“求证”，已知平分线用性质，求证平分线用判定。✏️第五步：典型例题【例题5】（中档·★★☆）如图，点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE=4，OD=3。求证：OP平分∠AOB，并求OE的长。【解】因为PD⊥OA、PE⊥OB，所以△PDO与△PEO都是直角三角形。在Rt△PDO和Rt△PEO中：OP=OP（公共斜边），PD=PE（已知），所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），所以∠DOP=∠EOP，即OP平分∠AOB；又由全等得OE=OD=3。【答案】OP平分∠AOB，OE=3。旁批：HL是判定定理的证明工具。【例题6】（提升·★★★）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若AB=10，AC=6，△ABC的面积为32，求DE的长。【解】因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，由性质定理得DE=DF。连接AD，则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积=(AB×DE)÷2+(AC×DF)÷2=DE×(AB+AC)÷2=DE×(10+6)÷2=8DE。由8DE=32得DE=4。【答案】DE=4。旁批：面积法是角平分线题的常用利器。📝第六步：随堂小测1.角的内部到角的两边______相等的点在角的平分线上。2.判定定理与性质定理互为______命题。3.证明判定定理时使用的判定方法是______。4.已知角平分线要求线段相等，用______定理；已知距离相等要证角平分线，用______定理。5.角的平分线可以看成角的内部到角两边距离相等的所有______组成的图形。（四）三角形的三条角平分线与综合应用🎯第一步：预习目标✔知道三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等。✔会用面积法求三角形内心到三边的距离。✔能综合运用性质与判定解决求线段、求面积、证明相等的问题。✔能把角平分线的知识与全等三角形的判定方法融会贯通。📌第二步：知识清单📌知识点14：三角形三条角平分线的交点。三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等。证明思路：设∠A、∠B的平分线交于点I，由性质定理，I到AB、AC距离相等，I到AB、BC距离相等，于是I到AC、BC也相等，再由判定定理知I在∠C的平分线上，故三线共点。这一点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心。📌知识点15：面积法求内心到三边的距离。设三角形三边长分别为a、b、c，面积为S，内心到三边的距离为r。连接内心与三个顶点，把三角形分成三个小三角形，它们的高都是r，于是S=(a×r)÷2+(b×r)÷2+(c×r)÷2=r×(a+b+c)÷2。由此可得r=2S÷(a+b+c)。这个公式在求距离、求面积的题目中非常实用。📌知识点16：角平分线常用辅助线。遇到角平分线，常见的三种添线方法：①向角的两边作垂线段，直接使用性质定理；②在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形（俗称“截长补短”）；③沿角平分线把图形翻折，把一侧的三角形折到另一侧。三种方法本质相同，都是为了造出一对全等三角形。📌知识点17：综合题的常见类型。本节综合题主要有四类：一是已知角平分线求垂线段长度；二是已知两垂线段相等证明角平分线；三是用面积法求距离或求面积；四是与三角形内角和、外角性质结合求角的度数（例如已知∠A，求两条内角平分线夹角的度数，结论是90°加上∠A的一半）。掌握这四类，本节的题目基本无死角。💡方法点拨综合题的通用思路：见到角平分线，先问自己“能不能作垂线段用性质”；见到两条垂线段相等，先问自己“能不能用判定得平分线”；见到面积和角平分线同时出现，优先考虑面积法。三个问题问完，思路多半就有了。⚠第三步：特别提醒⚠面积法中三个小三角形的高都等于内心到三边的距离，前提是所连的点必须是三条角平分线的交点。⚠“三角形三条角平分线交于一点”与“三条中线交于一点”“三条高所在直线交于一点”是三个不同的结论，不要混淆交点的性质。⚠求两条内角平分线夹角时不要直接套公式，要理解它由内角和推导而来，避免记错。🔍第四步：易错点剖析❌错例：认为三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。错因：内心到三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三边垂直平分线的交点（外心）。✅规避：区分清楚：角平分线交点管“到边的距离”，垂直平分线交点管“到顶点的距离”。❌错例：用面积法时把三边长写成两边长，漏掉一条边。错因：S=r×(a+b+c)÷2中括号里必须是三角形的周长。✅规避：写公式前先把三条边长列出来求和，再代入计算。✏️第五步：典型例题【例题7】（提升·★★★）已知△ABC的三边长分别为AB=13，BC=14，CA=15，面积为84。求三角形内心到三边的距离r。【解】由S=r×(AB+BC+CA)÷2得84=r×(13+14+15)÷2=r×42÷2=21r，所以r=84÷21=4。【答案】r=4。旁批：这是著名的13-14-15三角形，内切圆半径恰为4。【例题8】（提升·★★★）在△ABC中，∠A=50°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，求∠BIC的度数。【解】由内角和得∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°。因为BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠IBC+∠ICB=130°÷2=65°。在△BIC中，∠BIC=180°−65°=115°。（可验证：90°+50°÷2=115°。）【答案】∠BIC=115°。旁批：结论可记作∠BIC=90°+∠A的一半。📝第六步：随堂小测1.三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形______的距离相等。2.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的______。3.若三角形面积为S、周长为l，则内心到三边的距离r=______。4.在△ABC中∠A=60°，两底角平分线交于I，则∠BIC=______。5.遇到角平分线最常用的辅助线是向角的两边作______。三、本节思维导图（中心：14.3角的平分线）┌─预备概念：点到直线的距离=垂线段的长度├─定义：把角分成两个相等的角的射线├─尺规作法：两次画弧定P，连OP；原理△OMP≌△ONP（SSS）├─性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（证明用AAS）├─判定定理：角内部到两边距离相等的点在角平分线上（证明用HL）├─互逆关系：已知平分线用性质，求证平分线用判定├─集合观点：角平分线=角内部到两边距离相等的点的集合└─三线共点：三条角平分线交于内心，S=r×周长÷2四、本节核心概念速查卡🔑点到直线的距离：垂线段的长度，是所有连线中最短的。🔑角平分线定义：把一个角分成两个相等的角的射线。🔑尺规作法：顶点画弧得M、N；分别以M、N画弧得P；连OP。🔑作法原理：△OMP≌△ONP（SSS）。🔑性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。🔑性质证明：AAS（两直角+平分角+公共斜边）。🔑判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角平分线上。🔑判定证明：HL（公共斜边+一直角边相等）。🔑三线共点：三条角平分线交于内心，到三边距离相等。🔑面积法：S=r×(a+b+c)÷2，即r=2S÷周长。记忆口诀：角分两半是平分，尺规两弧连顶点；线上一点向边落，两条垂段一样长；反过来若段相等，此点必在平分线；三线交于内心处，面积一除半周长。五、本节易错点汇总1.【距离误解】把非垂线段的长度当作点到直线的距离。2.【前提缺失】使用性质定理时忘记“点在角平分线上”或缺少垂线段。3.【方向用反】已知平分线却去用判定，或已知距离相等却去用性质，造成循环论证。4.【HL未交代直角】证明判定定理时直接写HL，没有先说明两个三角形是直角三角形。5.【内心外心混淆】误认为三条角平分线的交点到三个顶点距离相等。6.【面积法漏边】面积公式中括号内应是三边之和（周长），漏写一条边导致结果错误。六、本节分层自测卷（共10题）A层·基础巩固（5题）1.点到直线的距离是指______的长度。2.OC平分∠AOB，若∠AOB=84°，则∠BOC=______。3.角平分线上的点到角的两边的______相等。4.角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上。5.三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离______。B层·能力提升（3题）6.如图，OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=5，OD=12，求PE与OE的长。7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E。若BC=12，BD=7，求DE的长。8.在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=12，AC=8，△ABC的面积为40，求DE的长。C层·拓展挑战（2题）9.已知△ABC的三边长为5、12、13，面积为30，求它的内心到三边的距离。10.在△ABC中，∠A=70°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，求∠BIC的度数，并说明∠BIC与∠A之间的一般关系。七、参考答案与解析【随堂小测（一）】1.垂线段；2.平分线；3.相同（相等）；4.SSS；5.70°。【随堂小测（二）】1.两边；2.角平分线，垂线段；3.AAS（或HL）；4.6；5.DC。【随堂小测（三）】1.距离；2.逆；3.HL；4.性质，判定；5.点。【随堂小测（四）】1.三边；2.内心；3.2S÷l；4.120°；5.垂线（垂线段）。【分层自测卷A层】1.垂线段；2.42°；3.距离；4.平分线；5.相等。【分层自测卷B层】6.PE=PD=5（角平分线的性质定理）；由Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）得OE=OD=12。7.DC=BC−BD=12−7=5，由角平分线性质定理得DE=DC=5。8.由性质定理DE