石嘴山市重点中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷含解析

石嘴山市重点中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸(单位：则该几何体的表面积为()

A.157ccm2B.217rcm2

C.24ncm2D.337rcm2

2.已知awR若(14)(3+2i)为纯虚数，则〃的值为()

3322

A.一B.-D.-

2233

3.已知函数/(x)=Y+〃sinx,xwR,若/(-1)=2,则/(1)的值等于()

A.2B.-2C.1+。D.1—ci

ri)8

4.的二项展开式中，X2的系数是()

A.70B.-70C.28D.-28

1

5.数列｛4｝满足：a3-4m=2%,川,则数列｛4凡+J前1()项的和为

1020918

A.B.—C.D.

27211919

2

6.已知集合村二｛工x<l]tfi={x|lnx<l},则

A.A8={x|0vx<e}B.A8={x|x<e}

C.AB={x|0<x<c}D.A\B={x|-1<x<c}

7.由曲线），=W与曲线），2=x所围成的平面图形的面积为（）

8.曲线y=；/+2]nx上任意一点处的切线斜率的最小值为（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

9.己知函数/（x）=sii?三x—J5sin±xcos匹x,则/⑴+/⑵+…+/（2020）的值等于（）

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

10.己知。>0,Z»0,a+b=1,若a=tz+—,P=b+—,则a+4的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

11.已知复数z=（l-〃）+（a2-1）i（i为虚数单位，贝也在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第四象限

12.以下关于/*）=51112工一以）52穴的命题，正确的是

A.函数在区间0,—上单调递增

\5）

B.直线x=J需是函数y=/（x）图象的一条对称轴

O

c.点与0）是函数y=/（x）图象的一个对称中心

D.将函数），=/"）图象向左平移需?个单位，可得到y=J5sin2x的图象

8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若—展开式中的常数项为240,则实数。的值为.

4322345

14.设（x_+atxy+azxy+asxy+a4xy+%y,则4+勺+/=.

15.设全集U=R,A={x\-3<x<\,xeZ}tB=-X-2>0,XG/?},贝!）AIQB=.

16.已知函数/（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=l对称，当无«0,1]时，（其中。是自

然对数的底数，若“2020—ln2）=8,则实数。的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）选修4・5：不等式选讲

设函数/（1）=|2工+。|一,一2|（工£凡。£/?）.

（1）当"二一1时，求不等式/（力＞。的解集；

（2）若〃力2-1在上恒成立，求实数。的取值范围.

18.（12分）若〃＞0力＞0,且1+』二疝

ab

（1）求/+〃3的最小值；

（2）是否存在使得为+3。=6?并说明理由.

1

x=a+—t,

19.（12分）在直角坐标系X。），中，点尸的坐标为直线/的参数方程为广（/为参数，。为

广小+9

常数，且。＞。）.以直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐

标系，圆。的极坐标方程为P=2.设点。在圆外.

（1）求“的取值范围.

（2）设直线/与圆C相交于A8两点，若|"4|=|4四，求〃的值.

20.（12分）某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表

和对“楼市限购令”赞成人数如下表：

月收入（单位：百元）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数5C1055

频率0.1ab0.20.10.1

赞成人数4812521

（D若所抽调的50名市民中，收入在［35,45）的有15名，求。，b,。的值，并完成频率分布直方图.

（2）若从收入（单位：百元）在155,65）的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X人赞成“楼

市限购令”，求X的分布列与数学期望.

（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表

格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果.

21.（12分）如图，在四棱锥P—A8CD中，PA_L底面ABC。，ADLAB,AB//DC,AD=DC=AP=2f

AB=\,点E为棱PC的中点.

（1）证明：BEA.DC：

（2）求直线能与平面，以，所成角的正弦值；

（3）若"为棱PC上一点，满足求二面角产一Ab-"的余弦值.

22.（10分）已知产是抛物线C：y2=2px（〃>0）的焦点，点P在工轴上，。为坐标原点，且满足OP=：OF,经

过点?且垂直于工轴的直线与抛物线C交于4、B两点,且|A却=8.

（1）求抛物线。的方程;

（2）直线/与抛物线。交于用、N两点，若OM.ON=-64,求点尸到直线/的最大距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。〃，底面直径是6C〃z,据此可计算出答案.

【详解】

由三视医知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5。机，底面直径是6C7W,

，该几何体的表面积S=1x3?+乃x3x5=24;r.

故选：c

【点睛】

本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.

2、A

【解析】

根据复数的乘法运算法则化简可得3+为+(2-3。)"根据纯虚数的概念可得结果.

【详解】

由题可知原式为3+2a+(2-3。)几该复数为纯虚数,

3+2。=()3

所以《=>a=—

2—3。。02

故选：A

【点睛】

本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.

3、B

【解析】

由函数的奇偶性可得，/(I)=-/(-1)=-2

【详解】

,:f(x)=x3+asinx

其中g(x)=V为奇函数，，(x)=〃sinx也为奇函数

A/(x)=g(x)+，(x)也为奇函数

A/(1)=-/(-1)=-2

故选：B

【点睛】

函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数土奇函数;奇函数；②奇函数x奇函数二偶函数;

③奇函数。奇函数二偶函数；④偶函数土偶函数=偶函数；⑤偶函数x偶函数=偶函数；⑥奇函数x偶函数二奇函数；⑦奇函

数+偶函数=奇函数

4、A

【解析】

试题分析：由题意得，二项展开式的通项为:，令8-^r=2=〃=4,所以/的

系数是（-l）'C；=70,故选A.

考点：二项式定理的应用.

5、A

【解析】

,1I=2,进而可知%二一^,利用裂项相消法求和即可.

分析：通过对an-an+i=2anan+i变形可知一

4+1a”2/7-1

详解：•••/一为+1

1

又,..一=5,

—+2（n-3）=2n-l,即。=―!—

a„%2n-\

1/x1<11、

:.凡凡+1=—（a-凡+i）=-------------

”向2、"f2（2〃一12n+\）

・.・数列｛〃/*｝前io项的和为3++'一《）=3（"!）=当，

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

的结构特点，常见的裂项技巧：⑴许1丁1（<1丁启\｝J；⑵不二17=工]（/而I——-c亚（3）

]_j_O______]=j_就If西岛>此外'需注意裂项

（2〃-1）（2〃+1）一万12〃一1-2〃+1J；⑷小+1）（〃+2）―/

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

6、D

【解析】

因为A={x|V<1}=*|-1vx<l},B={x|lnx<l}=（x|O<x<e},

所以3={x[0<_r<l},AB={x\-1<x<e]t故选D.

7、B

【解析】

首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.

【详解】

y=x%=0X,—1

联立方程：，可得:

）',二工y=0%=1

结合定积分的几何意义可知曲线），=炉与曲线产=%所围成的平面图形的面积为:

5=J：（Gf加=尹一#吗・

本题选择B选项.

【点睛】

本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.

8、A

【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率Z23,即可得出答案.

【详解】

解：由于y=；V+21nx,根据导数的几何意义得:

2111c/Til

k=f\x)=x2+—=x+—+-234.广-----3(x>0),

xxxVxx

即切线斜率Z23,

当且仅当x=l等号成立,

所以）,=gV+2Inx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

9、C

【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4,然后借助于三角函

数的周期性确定其值即可.

【详解】

解：jU）=sin—x-v3sin—xcos-x.

444

I,17T、6.万

=-(l-cos—%)------sin—x

2222

=—si呜x+令+g,

fW=~s^~2X+~Z^+~2，

_2乃.

T——=4*

・•・/(X)的周期为£

2

八2)=1，〃3)=竽，/(4)=0,

/(1)+/(2)+〃3)+/(4)=2.

"⑴+/Q++/（2020）

=505x[/（l）+/（2）+/（3）+/（4）]

=505x2

=1010.

故选：C

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于

中档题.

10、C

【解析】

根据题意，将。、。代入a+/，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】

*/«>0,2»0,a+b=l,

1,11,1u

a+/n=a+—+h+—=1+——>1+------------=5

:.abab^/4-ZJY,

当且仅当a=b=—时取“=”号.

2

答案：C

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”

的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或枳是否为定值（和定枳最大，积定和最小）；三相等是

最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.

11、B

【解析】

分别比较复数z的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】

因为时，所以1一4<0,1>。，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

12、D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(x)=、6sin(2x-E),再逐项判断正误得到答案.

4

【详解】

27r1717i137r

A选项，XG0,工-一k)函数先增后减，错误

B选项，x=gn2x-f=0不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=£n2x—f=£,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需三个单位得到)，=Jisin(2(x+工)一四)=&sin2],正确

8-84

故答案选D

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-3

【解析】

依题意可得二项式展开式的常数项为-cnC；/即可得到方程，解得即可;

【详解】

2

解:•・•二项式的展开式中的常数项为7；+1=cixC^x~=-80“=240,

IX)

二解得。=—3.

故答案为：-3

【点睛】

本题考直二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.

14、121

【解析】

在所给的等式中令x=l,y=l,令x=l,)，=-1可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.

【详解】

令x=l,y=1得(1一2)5=4+%+为+。3+。4+。5=-1，令x=l,y=T得

5两式相加，得所以。+生+/=⑵

(1+2)+a2-ay+aA-a5=243,2(4+/+4)=242,O•

故答案为：121.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，考查学生分析问题的能力，属于基础题，难度较易.

15、(0,1)

【解析】

先求出集合A,8,然后根据交集、补集的定义求解即可.

【详解】

解：A={-2,-1,0,1},8={x|xW-l或xN2}；

.*.dbB={x|-l<x<2}；

・・・Ac仇B={0,l}.

故答案为：{(),1!.

【点睛】

本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题.

16、3

【解析】

先推导出函数)，=/(x)的周期为4,可得出“2020-ln2)=/(-ln2)=-/(ln2)=8,代值计算，即可求出实数〃

的值.

【详解】

由于函数y=/(%)是定义在R上的奇函数，则/(-%)=一/(工),

又该函数的图象关于直线x=1对称，则/(l-x)=/(l+x),

所以，/(2+A-)=/[1-(1+X)]=/(-X)=-/(X),贝IJ/(4+X)=—/(X+2)=/(X),

所以，函数y=/(x)是周期为4的周期函数，

所以/(2020-In2)=/(-In2)=-/(in2)=eu,n2=(e,n2)u=20=8,解得a=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能

力与计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(―co,-U(1,+co)；(2)[-6,-2]

【解析】

(1)当〃=—1时，将原不等式化冏后两边平方，由此解出不等式的解集.(2)对，，分成a=-4,。＞-4三种情

况，利用零点分段法去绝对值，将/(力表示为分段函数的形式，根据单调性求得。的取值范围.

【详解】

(1)。=一1时，〃力＞0可得|2戈一“＞k一2|,即(2工一1『＞(工—2)2,

化简得：(3x-3)(x+l)＞0,所以不等式〃力＞0的解集为(7,-1)。(1,田).

-A-tz-2,x<2

⑵①当时，/("二131一。+2,2工人工一半由函数单调性可得

_a

x+a+2,—

2

"x)min=/(-3=£-22-1,解得；-6<«<-4

②当a=T时，/(x)=|x-2|,/(x)n.n=0>-l,所以〃符合题意;

-x-a-2,x<--

2

③当时，/(%)=、3x+w-2,-y<x<2,由函数单调性可得,

x+〃+2,x>2

=_微_22一］,解得-4<q«_2

Jf(\x)/mi.n=fJI--21

综上，实数。的取值范围为[-6,-2]

【点睛】

本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.

18、(1)4夜；(2)不存在.

【解析】

(1)由已知L+』二，石，利用基本不等式的和积转化可求。力22,利用基本不等式可将/+〃转化为，由不

ab

等式的传递性，可求的最小值；(2)由基本不等式可求2。+3〃的最小值为46，而4K>6,故不存在.

【详解】

(1)由而=一+二之丁，得"22,且当々=b=亚时取等号.

abyjab

故"+//22da%3>4V2»且当a=Z?=时取等号.

所以a，+//的最小值为40；

(2)由(1)知，2a+3bN2瓜碗24退.

由于46>6,从而不存在。力，使得2a+36=6成立.

【考点定位】

基本不等式.

19、(1)(1,+8)(2)3

【解析】

(1)首先将曲线C化为直角坐标方程，由点在圆外，则/+(、/工/〉4解得即可；

（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，设A、8对应的参数分别为外,G，列出韦达定埋，由归川=同可及P在

圆。的上方，得一％二。一，2,即，2=24即可解得；

【详解】

解：（1）曲线。的直角坐标方程为f十丁=4.

由点尸在圆C外，得点2的坐标为/+（6。）2>4,结合〃>0,解得

故4的取值范围是（|，+8）.

（2）由直线的参数方程，得直线/过点倾斜角为?，

将直线/的参数方程代入f+）,2=4,并整理得

/+4。/+4〃2—4=0，其中△=16>0.

设A、6对应的参数分别为乙，G，则%“2=4a,V2=4CJ—4.

2

由第=|明及?在圆。的上方，得-“…，即代入①，W/,=-y,t；=2a-lf

（A\2

消去％,得一丝a二2/-2,结合解得。=3.

I3）

故。的值是3.

【点睛】

本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程/的几何意义的应用，属于中档题.

4

20、（1）a=0.2/=0.3,c=10,频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，E（X）=-；（3）来自［65,75）的可能

性最大.

【解析】

（1）由频率和为1可知。+/?=0.5,根据/?=非求得从而计算得到频数。，补全频率分布表后可画出频率分布

直方图；

（2）首先确定X的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据

数学期望的计算公式可求得期望；

（3）根据［65,75）中不赞成比例最大可知来自［65,75）的可能性最大.

【详解】

（1）由频率分布表得：0.1+〃+〃+0.2+0.1+0.1=1,即〃+力=0.5.

、15

收入在［r35,45)的有15名，.•.。=酎二0.3,/.。=0.2,.•"•=0.2x50=10,

则频率分布直方图如下:

o15253545556575收入(L万)

(2)收入在［55,65)中赞成人数为2,不赞成人数为3,

.•.X可能取值为。』,2,

贝”(X=0)=3=K；p(x=l)=等=|；P(X=2)=£=L，

/.X的分布列为:

X012

331

P

To510

E(X)=0x----Fix—F2x—=—

''105105

(3)来自［65,75)的可能性更大.

【点睛】

本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的

随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.

21、(1)证明见解析(2)B(3)亚

310

【解析】

(1)根据题意以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出为瓦。。，由空间向量数量积

运算即可证明8E_LOC.

(2)先求得平面。/比＞的法向量，即可求得直线距与平面法向量夹角的余弦值，即为直线跖与平面所成角的正

弦值；

(3)由F点在棱PC上，设Cb=/lCP，再由结合B/LAC,由空间向量垂直的坐标关系求得义

的值.即可表示出8尸•求得平面尸胡和平面AAP的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再

根据二面角的平面角为饯角即可确定二面角尸-的余弦值.

【详解】

(1)证明：・・・24_1_底面ABC。，AD±AB,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

*：AD=lX：=AP=2fAB=\.点七为棱PC的中点.

A5(1,0.0),C(2,2,0),0(020),尸(0,0,2),£(1,1,1),

诙=10,1,1),。。=(2,0,0),

vBEDC=0，

s.BEVDC.

(2)8/)=(—1,2,0),尸8二(1,0,—2),

设平面PBD的法向量为=(x,)\z).

,BD-m=0-x+2y=0

则,代入可得

PB-w=0x-2z=0

令》=1解得x=2,z=l,即机=(2,1,1),

设直线犯与平面〃8。所成角为a,由直线与平面夹角可知

_〃_•B_E_____2__=®

sina=cos<〃，BE>=

n-BE瓜x立