2025~2026学年福建莆田第十五中学高二下册5月期中质量检测数学试题【含答案】

/数学（本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在平行六面体中，，，则（）A. B.C. D.2.一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（）A. B. C. D.3.已知向量，若，则（）A.-10 B.-4 C.4 D.104.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.5.已知函数，则（）A. B.1 C. D.6.以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（）A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.057.已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.1 B. C.0 D.28.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正四棱柱中，为底面的中心，则（）A. B.C.平面 D.平面10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B.C. D.11.设函数，则（）A.函数在区间上单调递减B.函数是奇函数C.直线与曲线有3个公共点D.斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为两个随机事件，已知，则__________.13.已知空间向量，，则______.14.已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：（1）第一次取到正品的概率；（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.16.如图，在长方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.19.函数在x=1处取得极值-3-c，其中a､b､c为常数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围.

数学（本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，在平行六面体中，，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先用表示向量，再根据求解即可.解答过程：因为在平行六面体中，，所以，故选：A2.一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，设事件“第一次取得5号球”，事件“第二次取得5号球”，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用条件概率公式求解.解答过程：依题意，，所以.故选：B3.已知向量，若，则（）A.-10 B.-4 C.4 D.10答案：B解析：思路：利用空间向量平行的坐标运算求解即可.解答过程：因为向量，，则，解得：.故选：B4.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间.解答过程：因为函数，求导得，令，因此，函数的单调减区间是，故A正确.5.已知函数，则（）A. B.1 C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.6.以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（）A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.05答案：D解析：思路：利用条件概率公式求解即可.解答过程：由，可得，又因为，，所以，所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为.故选：D.7.已知函数的图象在点处的切线方程为，则（）A.1 B. C.0 D.2答案：A解析：思路：根据导数的几何意义即可得到，再相加即可.解答过程：因为切线方程为，可知当时，，且切线斜率为1，即，所以．故选：A.8.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围．解答过程：当时，，开口向下，对称轴为，在上单调递增，最大值为；当时，，求导得，要使在上单调递增，需对所有恒成立，即，则，令，求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；在处取得最大值，，，在上单调递增，，解得，综上可得，．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正四棱柱中，为底面的中心，则（）A. B.C.平面 D.平面答案：AC解析：思路：对于选项A，根据空间向量的线性定理进行求解即可；对于选项B，先确定的夹角，然后求出其角度是否为90°即可；对于选项C，要证明线面平行，需通过证明线线证明即可证明线面平行，即证明；对于选项D，可利用反证法进行验证.解答过程：对于选项A：如图，根据向量线性定理可知，，所以，A正确；因为，若，则，则，设底面边长为，正四棱柱的高为，则，等式不成立，B错误；对于选项C：连接交于，连接.则，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，不在平面内，所以平面，所以C正确；对于选项D：因为正四棱柱，所以，因为平面，所以平面.因为平面，所以.又，所以.因为平面，平面，所以，假设平面，因为，平面，所以.又平面，所以平面，又平面，所以，所以.而在正四棱柱中，不一定相等，所以与平面不一定垂直，D错误.故选：AC.10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：由对立事件、和事件、条件概率计算公式逐项判断即可.解答过程：选项A：对立事件概率公式

​，A正确。选项B：和事件概率公式

，B错误，选项C：条件概率公式

，C正确选项D：

事件是互斥事件与的和事件，因此

​，D正确.11.设函数，则（）A.函数在区间上单调递减B.函数是奇函数C.直线与曲线有3个公共点D.斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点答案：ABD解析：思路：利用导数求解单调性判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，求出公共点来判断C，分离参数并结合导数得到，，进而判断D即可.解答过程：对于A，因为，所以，当时，恒成立，则在区间上单调递减，故A正确；对于B，由题意得，令，则，可得，得到函数是奇函数，故B正确；对于C，联立方程组，解得或，则直线与曲线的公共点为和，共2个，故C错误；对于D，设直线方程为，联立方程组，化简可得，若曲线和直线有且仅有一个公共点，则有且仅有一个解，即与有且仅有一个公共点，而，得到在上单调递增，当时，，当时，，则，，得到与有且仅有一个公共点成立，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为两个随机事件，已知，则__________.答案：##解析：思路：条件概率公式计算即可得.解答过程：根据条件概率公式，代入已知，得：.由条件概率公式，变形得，代入，得：.13.已知空间向量，，则______.答案：解析：思路：由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．解答过程：，，故答案为：.14.已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______.答案：解析：解答过程：函数的定义域为，，由题意可知，对于任意，都有，则函数在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，由幂函数性质可知，当时，，所以，故实数取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：（1）第一次取到正品的概率；（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用古典概型的概率公式计算可得；（2）利用条件概率的概率公式计算可得.（1）解：设“第一次取到正品”“第二次取到正品”，所以，第一次取到正品的概率为；（2）解：，所以，故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为.16.如图，在长方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由面面平行的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求点到面的距离即可．（1）在长方体中，，得，而，得，则四边形为平行四边形，得，由平面，平面，得平面，同理可得四边形为平行四边形，得，由平面，平面，得平面，由平面，所以平面平面.（2）建立空间直角坐标系，如图所示：则，得，设平面的法向量为，得，取，则点到平面的距离为：．17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.答案：（1）；（2）函数的单调递增区间有，，单调递减区间有，极大值为，极小值为.解析：思路：（1）求函数的定义域和导函数，利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式求切线方程；（2）解方程求其根；由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值.（1）函数的定义域为，导函数，所以,故切线方程为；（2）由（1），令，可得或，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以函数的单调递增区间有，，单调递减区间有，所以当时，函数取极大值，极大值为，当时，函数取极小值，极小值为.18.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.答案：（I）证明见解析；（II）.解析：思路：首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出的坐标，由向量积的运算易得；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案.解答过程：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）依题意有，，，则，，，所以，，即⊥，⊥.且,故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.（II）依题意有，=，=.设是平面的法向量，则即因此可取设是平面的法向量，则可取所以,且由图形可知二面角为钝角故二面角的余弦值为考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角19.函数在x=1处取得极值-3-c，其中a､b､c为常数.（1）讨论函数的单调区间；（