2025~2026学年广西壮族自治区河池市第二高级中学等校高二下册期中学科素养学情检测数学试题【含答案】

/数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B.14 C.28 D.562.已知随机变量服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.3.设函数，则（）A.0 B.1 C. D.4.已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（）A.11 B.10 C.12 D.135.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.6.以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（）A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.057.由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.480 B.560 C.750 D.6308.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（）A. B. C. D.或二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值10.已知离散型随机变量的分布列如下表，则（）-101A. B.C. D.11.某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（）A.一共有种安排方法B.若每个人最多值2天班，一共有种安排方法C.若甲值2天班并且连续值2天，一共有种安排方法D.若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有种安排方法三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.___________.13.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是____________.14.已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数.（1）求的值；（2）求函数的最小值.16.（1）已知，化简，并计算时的值；（2）在的展开式中，的系数等于的系数的倍，求的展开式中所有项的二项式系数之和.17.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．18.现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）老师站在最中间，2名女学生相邻；（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；（3）2名女学生之间只有2名男学生．19.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：．

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B.14 C.28 D.56答案：C解析：思路：根据平均变化率的概念，可得结果.解答过程：由平均变化率定义得.故选：C.2.已知随机变量服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用两点分布概率和为1，列方程求解即可.解答过程：随机变量服从两点分布，.3.设函数，则（）A.0 B.1 C. D.答案：C解析：思路：利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得.解答过程：由求导，可得：.而，故.故选：C.4.已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（）A.11 B.10 C.12 D.13答案：C解析：思路：当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.解答过程：∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴．故选：C5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求.解答过程：因为，所以，则，所以函数在处的切线方程为，即.故选：B.6.以，分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若，，，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为（）A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.05答案：D解析：思路：利用条件概率公式求解即可.解答过程：由，可得，又因为，，所以，所以，所以这两个村庄同时发生停电事件的概率为.故选：D.7.由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.480 B.560 C.750 D.630答案：C解析：思路：分个位为0、2、4、6四种情况，分别求出没有重复数字的四位偶数的个数，最后相加即可.解答过程：1、当个位为0，没有重复数字的四位偶数的个数为；2、当个位为2，没有重复数字的四位偶数的个数为；3、当个位为4，没有重复数字的四位偶数的个数为；4、当个位为6，没有重复数字的四位偶数的个数为∴共有个没有重复数字的四位偶数.故选：C8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（）A. B. C. D.或答案：B解析：思路：根据单局胜率表示出总比赛局数的概率分布，再利用给定的数学期望建立方程即可求解.解答过程：由题意得随机变量可能的取值为2，3，，因为比赛必定在2局或3局结束，所以打满3局的概率就是不出现2局结束的对立事件概率，即，故的分布列为：23故，由，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值答案：ACD解析：思路：根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.解答过程：对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：ACD．10.已知离散型随机变量的分布列如下表，则（）-101A. B.C. D.答案：ABD解析：解答过程：由题意，得，故，所以A正确；根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得，，所以B正确；，所以C不正确；，所以D正确.11.某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日到5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值班，每个人至少值1天班，则（）A.一共有种安排方法B.若每个人最多值2天班，一共有种安排方法C.若甲值2天班并且连续值2天，一共有种安排方法D.若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有种安排方法答案：BD解析：思路：先分析可能的分组方案和，再分别计算每组的排法，进而判断选项A；根据已知条件得出符合的分组方法为，进而计算判断选项B；先安排甲，再将剩下的3天分成2组，最后由分步乘法计数原理计算判断选项C；利用树形图枚举所有符合的排班方法，判断选项D．解答过程：对A，将5月1日~5月5日这5天分成三组，然后再将一个组分给1个人：（1）分成3，1，1时，则有种安排方法；（2）分成2，2，1时，则有种方法，共有种安排方法，故A错误；对B，若每个人最多值2天班，将5天分成2，2，1三组，然后再将1个组分给1个人，则有种安排方法，故B正确；对C，因为甲连续值2天班，先安排甲，共有4种方法；然后将剩下的3天分成2组，即分成2，1，然后再将这两个组分给乙、丙两人，一组分给1个人，则有种安排方法，由分步乘法计数原理得，共有种方法，故C错误；对D，由树形图：共有种方法，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.___________.答案：解析：思路：利用排列数和组合数公式计算即可得解.解答过程：.13.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是____________.答案：解析：思路：根据题意甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为，进而求出甲没有拿到白色鲜花的概率．解答过程：设事件为甲拿到白色鲜花，根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为，所以，则甲没有拿到白色鲜花的概率．故答案为：．14.已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________.答案：解析：思路：构造函数，利用导数研究的单调性，利用单调性的性质求解即可.解答过程：令，则，所以在上单调递增，由，得，即，又在上单调递增，所以得.所以不等式的解集是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数.（1）求的值；（2）求函数的最小值.答案：（1）2（2）3解析：思路：（1）求导，利用即可求解；（2）由（1）得，求导，利用导数判断函数单调性，从而求出最小值.（1）由题意可得，故，.（2）由（1）得，，所以，令，解得，因为当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值.16.（1）已知，化简，并计算时的值；（2）在的展开式中，的系数等于的系数的倍，求的展开式中所有项的二项式系数之和.答案：（1），；（2）解析：思路：（1）利用二项式定理的展开式可化简的表达式，代值计算可得的值；（2）利用二项式定理可得出的系数和的系数，根据题意可得出关于的等式，解出的值，结合二项式系数和的定义即可得解.解答过程：（1）当时，；（2）的展开式通项为，所以的系数为，的系数为，故，即，所以，由题意可知且，解得，所以所有项的二项式系数之和为.17.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．（1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；（2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．答案：（1）（2）解析：思路：利用组合数公式求出从个球中取个球，个球中恰好有个红球、个白球的取法数，再利用古典概型概率计算公式进行计算即可;从乙袋中取2个球放入甲袋，分两种情况进行考虑，再利用条件概率公式及全概率公式进行计算即可.（1）依题意，从甲袋8个球中取4个球有种取法，其中4个球中恰好有3个红球，即恰好有3个红球、1个白球，有种取法，所以4个球中恰好有3个红球的概率；（2）记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，为从甲袋中取出2个红球，则，，所以．18.现有7名师生站成一排照相，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（1）老师站在最中间，2名女学生相邻；（2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；（3）2名女学生之间只有2名男学生．答案：（1）192（2）72（3）576解析：思路：（1）元素相邻运用捆绑法，借助于排列组合公式即得；（2）元素互不相邻运用插空法，特殊元素优先法处理即可；（3）要使2名女生之间只有2名男生，应先选出2名男生再进行捆绑，考虑女生和男生内部顺序，再考虑这个整体与另外三人共四人全排即得.（1）因老师站在最中间，2名女生相邻，可先考虑从4个男生中选1人与女生在同侧有种，这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种，女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种，由分步乘法计数原理，不同的排法有种；（2）先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的3名男生有种站法，所以共有种不同的站法；（3）先任选2名男生站两名女生中间，有种站法，再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的3个人进行全排有种，由分步乘法计数原理，共有种不同的站法．19.已知函数．