2025~2026学年河北省石家庄市二中西校区高一下册6月月考数学试题【含答案】

/数学（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.三棱锥中，平面为垂足，则是的A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心3.已知向量，则（）A. B. C. D.4.正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为，则棱锥的体积为（）A.3 B.6 C.9 D.185.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.7.在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（）A.3 B.4 C. D.8.正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（）A. B. C. D.9.记的内角的对边分别为，若，，则（）A. B. C. D.10.在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（）A. B.C. D.二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）11.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则12.已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（）A. B.的虚部为C. D.复数满足，则的最大值为613.设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（）A. B.C. D.14.将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论正确的是（）A.与所成的角为B.与所成的角为C.与平面所成角为D.二面角的平面角的正切值是15.在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（）A.若为的重心，则 B.若为的外心，则C.若为的垂心，则 D.若为的内心，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）16.已知等边的边长为3，则________17.的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为____．18.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．19.如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20.如图，三棱锥中，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21.已知，，与的夹角为.（1）求；（2）求向量与向量的夹角的余弦值．22.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．23.如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若，求多面体体积．

数学（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：C解析：思路：利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断.解答过程：由，得；反之当，也可推出，所以“”是“”的充要条件.故选：C2.三棱锥中，平面为垂足，则是的A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心答案：C解析：思路：连接，可证即是的外心.解答过程：如图，连接，因为平面，平面，所以，同理，因为，，所以，所以，同理，故是的外心.故选C.方法提示：在三棱锥中，如果，那么在平面内的射影为的外心，如果，则那么在平面内的射影为的垂心.3.已知向量，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.解答过程：因为，所以，则，，所以.故选：B.4.正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为，则棱锥的体积为（）A.3 B.6 C.9 D.18答案：B解析：解答过程：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：求出底面正四边形的对角线的长，然后求出边长，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．解：正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，所以底面对角线的长为2××2=2，底面边长为．棱锥的高为2×=3棱锥的体积为×()2×3=6故选：B5.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量投影向量的定义，并结合已知的向量的坐标与两向量的数量积计算即可得.解答过程：由，得，因此.根据向量投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为：

将，，，代入得：

.因此，向量在向量上的投影向量为.6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.解答过程：设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.7.在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（）A.3 B.4 C. D.答案：D解析：思路：根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.解答过程：如图，连接交于点，连接因为平面平面，平面平面所以，所以，因为为的三等分点，则即.故选：D.8.正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设正三棱锥的表面积、体积分别为、，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积.解答过程：正三棱锥的顶点在底面的投影为底面中心，侧棱长，,则，侧面为全等的等腰三角形，斜高，正三棱锥的表面积，正三棱锥的体积，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式，得，解得，所以.9.记的内角的对边分别为，若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.解答过程：因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.10.在如图所示的棱长为1的正方体中.点P在该正方体的表面上运动.且.记点P的轨迹长为.则的值为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以圆A上的三段弧，计算即可；当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上为圆A1的，在平面B1BCC1上为圆B的，在平面DCC1D1上为圆D的，计算最后相加即可．解答过程：如图，当时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧.分别为，则；当时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面上以为圆心，1为半径，在平面上以B为圆心，1为半径的，在平面上以D为圆心，1为半径的，则.所以．故选：C．二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）11.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则答案：BD解析：思路：A注意，方向相反的情况，B由向量平行的定义，注意向量平行传递性的前提条件，C根据向量数量积的定义有，即不一定成立，D利用向量数量积的运算律求，即可知正误.解答过程：A：，当，方向相反时，错误；B：，，且，，是三个非零向量，则有，正确；C：知：，不一定有，错误；D：即，可得，即，正确.故选：BD12.已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（）A. B.的虚部为C. D.复数满足，则的最大值为6答案：ACD解析：思路：根据复数对应点，复数的模，复数的虚部，复数模的几何意义求解即可.解答过程：复数在复平面内对应的向量，则．的虚部为，故A，C正确，B错误；由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆，所以，故D正确．13.设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一定为等腰三角形可得.解答过程：选项A：由正弦定理得，即，又，所以或，即或，因此为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A错误.选项B：由正弦定理得，，则，所以，又正弦定理得，即.所以为等腰三角形，故B正确.选项C：由正弦定理得，结合，化简得，所以或，且，所以或，因此三角形为直角三角形或等腰三角形，故不能判定一定为等腰三角形，故C错误.选项D：由正弦定理得，结合，化简得，又由，得，所以，即，因此为等腰三角形，故D正确.14.将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论正确的是（）A.与所成的角为B.与所成的角为C.与平面所成角为D.二面角的平面角的正切值是答案：AD解析：思路：A.通过线面垂直可证线线垂直；B.利用余弦定理求解与所成的角；C.根据线面角定义求解；D.先找出二面角的平面角，再求出正切值.解答过程：设正方形边长为，则对角线，取中点，连接原正方形中，，，且，折成直二面角后，平面平面，交线为，因为，且平面，由面面垂直的性质，得平面，因为平面故，为等腰直角三角形，；选项A：因为，，且，平面，故平面，因平面，因此，即直线与所成角为，A正确；选项B：过作，且，连接，则四边形为矩形，所以与互相平分，所以为的中点，（或其补角）就是异面直线与所成角,正方形边长，故，因为平面，平面，所以，因为是的中点，所以是等腰三角形，所以，所以所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成角为，B错误；选项C：因为平面，故是在平面内的射影，则即为与平面所成的角，在中，，，，故，即，所以与平面所成角为C错误；选项D：在平面内，过作于，连接,因为平面，平面，故；又，，故平面，因为平面，所以，因此即为二面角的平面角，在等腰直角中，，，斜边上的高，在中，，，故，即二面角的平面角的正切值是，D正确.15.在中，，直线交于点，则下列说法正确的是（）A.若为的重心，则 B.若为的外心，则C.若为的垂心，则 D.若为的内心，则答案：ABD解析：思路：利用向量数量积的运算律计算判断A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD.解答过程：对于A，由为的重心，得，则，A正确；对于B，由余弦定理得，而为的外心，由正弦定理得，B正确；对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得，则，C错误；对于D，当为的内心时，为的角平分线，故，由，可得，解得，D正确.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）16.已知等边的边长为3，则________答案：解析：思路：根据平面数量积概念求解即可.解答过程：.故答案为：17.的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为____．答案：或解析：解答过程：在中，由正弦定理得，，解得，，因为，，，所以，或，，当时，，；当时，，.综上所述，的面积为或.18.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．答案：2解析：思路：先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.解答过程：如图，将三棱锥转化为正三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.故答案为：2.方法提示：方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．19.如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．答案：##解析：思路：由题意可得平面，设点到平面MAD的距离为h，然后利用等体积法可求得结果.解答过程：因为ABCD为矩形，所以，，因，平面，所以平面，因，所以，，点到平面MAD的距离为h，，所以，解得．故答案为：四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）20.如图，三棱锥中，，.（1）求证：；（2）求二面角余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用线线垂直得到线面垂直，进而利用线面垂直性质即可得证；（2）利用二面角平面角定义得出二面角的平面角，求出对应长度即可求出余弦值.（1）取线段AB的中点E，连结VE、CE，因为，，所以，.又因为，平面，平面，所以平面VEC，因为平面VEC，所以.（2）由（1）知：是二面角