高中数学 第六章 第2章 第1课时 平面向量基本定理

第六章平面向量及其应用

§6.3平面向量基本定理及

坐标表示

6.3.1平面向量基本定理

【学习目标】1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义2掌握平面向量基本定理，会用基底

表示平面向量.（重点）3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.（难点）

【导语】

物理上，我们已经学过力的合成与分解，结合平行四边形法则，合力可以分解成不同的分力.力从本质上来

讲也是向量，那么是不是所有的向量都可以进行分解？如何进行向量的分解呢？我们今天就来学习平面向

量基本定理，学完后我们就可以找到答案.

一、平面向量基本定理

问题1如图，设约，02是同一平面内两个不共线的向量，。是这一平面内与白，G都不共线的向量.

请你将向量4分解成图中所给的两个方向上的向量.

提示OA=e\,OM=k\e\,而=e2,而=%202,OC=a=OM+0N=z।e।+>.2e2.

问题2上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？

提示从作图的过程来看，向量白，62的方向是确定的，所以平行四边形的两条邻边的方向也是确定的，

我们以0C为对角线，过点C所作的两条边的平行线也是唯一确定的，因此交点M,N可以确定，所以在

线段。A,0B上,线段0M与。A,ON与。8的长度关系及是否同向也是确定的，根据向量共线定理，我

们所找的九和小也是确定的，所以分解方法唯一.

问题3请结合所学的知识，从理论上证明上述问题中分解方法的唯一性.

提示如果。还可以表示成〃|约+〃202的形式，那么九6|+2202=4建|+〃262，可得（九-〃1）。|+（12-〃2）62=0，由此式

可推出九外，22-〃2全为0（假设为/，22-〃2不全为0，不妨假设a-〃苒0,则e尸-争"e?.由此可得ei，以共

线，这与⑨，62不共线矛盾），即为二加，必外,因此，分解方法是唯一的.

知识梳理

1.平面向量基本定理：如果白，伫是同一平面内的两个丕楚向信，那么对于这i平面内的任—向量

。，有且只有一对实数处,义2，使。F6|+，262.

2.基底：若白，62基共线,我们把｛幻，攵｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

注意点：

(I)同一平面内的基底有无数多个，只要两向量不共线即可.

(2)当基底确定后，任意向量的表示法是唯一的，即川，心是唯一确定的.

例1(多选)如果｛6,62｝是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是()

A.若存在实数九，Z2»使九ei+%2e2=O成立，则九=/.2=0

B.该平面内任意向量。都可以表示为。与⑻+电©?，其中力，22WR

C，1e।+2202(九，々£R)不一定在这个平面内

D.对于该平面内任意向量0,使。=2曲+22。2成立的实数力，小有无数对

答案AB

解析对于A,因为｛0,62｝是平面内所有向量的一个基底，所以3,⑪不共线.

根据向量共线的充要条件可得，若存在实数2I,幺2使屁|+4202=。成立，则九二22=0,故A正确；

对于B,根据平面向量基本定理可判断B正确；

对于C,根据平面向量基本定理可得，ziei+zeaUi,小金R)一定在这个平面内，故C错误；

对于D,根据平面向量基本定理可得，对于该平面内的任意向量。，使⑹+小02成立的实数九，小有且

只有一对，故D错误.

反思感悟(1)因为零向量与任意向量都是共线向量，所以基底中的两个向量一定不能有零向量.

(2)根据平面向量基本定理，平面的基底一旦确定，那么该平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表

示.

跟踪训练1已知向量ei,不共线，且平面向量。=2⑥-5。2，b=-(_2e2+Ae1)+/z(e1-3e2)(A,〃£R),

若a=b,贝ij/z=.

答案1

解析因为。=力，向量ei,62不共发，

所以2ei-5e2=-(2ez4-Ae1)+yu(e1—3e2)=(—A+〃)e「(24-3〃)e?,

即解得〃=1.

二、用基底表示向量

例2(课本例1)如图所示，0A,而不共线，且祁=L®A£R),用布，砺表示方.

O

解因为而文而，

所以而二①(+而二函+/近

=0A+t（0B^0A）

=OA+tOB-fOA

=（\-t）OA+tOB.

例2⑴如图所示，已知cABCO的边8C,CO的中点分别为K,L,且就二白，AL=e2,试用白，e?表

CD.

解设阮二x,则而

贝语丽+雨=0-%

DL=^DC=^AB=^--x.

2224

^AD=BC=x,AL=ei,由40+瓦=4L,

得x£e「；x=e2.

24

解得尸/-je।»即BC=3*1-

又而二-福

则而二~lei)=~^e^e^

(2)若西=a,砥=b,印二2谡QW-l),则况等于()

A.a+ibB.>.«+(1-A)b

C.Aa+bD.—7a斗b

l+Al+A

答案D

角，析・・・9=/1的，

・,・亦西二，西而）,

，（1+/1丽=西+/1西,

VA^-l,

J前=*函*函

反思感悟（1）用基底表示向量的注意事项：

①根据平面向量基本定理，平面内的任意向量都可以用该平面内的一个基底来表示，而且表示方式是唯一

的.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则进行向量的线性运算.

②基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.

（2）4,B,P三点共线的充要条件是存在唯一实数组九"，满足而=2方f+〃丽，且在"=1.（0为平面内任意

一点）

跟踪训练2⑴如图，在正方形相C。中，设而mAD=b,BD=c,则以｛a,切为基底时，尼可表示

为;以｛mc｝为基底时，冠可表示为.

答案a+b2a+c

解析以｛明外为基底时，AC=AB+AD=a+b；以他，c｝为基底时，AC=AB+BD+DC=2AB+BD=2a+c.

（2）在平行四边形A8C。中，G为△AC。的重心，AG=xAB+y^ADt则3x+），等于（）

AA..—10B.2C1D.3

答案C

解析如图，设AC与30相交于点。，又G为△ACO的重心，可得。为AC,8。的中点，点G在。。

上，

且DG=2OG,贝函二超05二彩稻工瓦5」（而+而定须-隔，肉,福

3262533

）LAG=xAB+yAD,则户/尸|，所以3.壮尸条

三、平面向量基本定理的应用

例3（课本例2）如图所示，C。是AABC的中线，。。=/从用向量方法证明△ABC是直箔三角形.

证明如图所示，设而二。，万5=瓦则石5=a+瓦^B=-h,于是方二a-b.

CACB=(a+b)(a-b)=a2-b2.

因为CD=^AB,

所以CD=DA.

因为f二。。2,b2=DA\

所以3赤=0.

因为CAA.CB.

于是△48C是直角三角形.

例3如图，在△48。中，点。是AC的中点，点石是8。的中点，设瓦5=mBC=c.

B

(1)用a,c表示向量版；

(2)若点尸在AC上，且而=、+3,AF：CF.

解⑴因为前二前-瓦5二c-a,点。是AC的中点,

所以<0=2/lC=g(c-a),

因为点E是8。的中点，

所以而W(AB+AD)=^AB+^AD

(2)由题意，设刀力刀(0<2<1),

所｝^JBF=BA+AF=BA+AAC=a+X(c-a]=(1-z)a+Ac,

又BF=^a+^c所以

3Of

t.--»4''9I.

故力”二±4C,故AF：CF=4：1.

5

反思感悟(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平而内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解

成两个向量和的形式，且分解是唯一的.

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，

将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.

跟踪训练3如图，在8c中，。是台C的中点，£在边A8上，BE=2EA,AD与C£交于点O.若

ABAS=6A0ECf则”的值是.

答案V3

解析方法一(利用基底求解)

过点。作。/〃CE,交A8于点尸(图略)，由BE=2EA,。为8c中点，知产为8七的中点，即

BF=FE=EA,则AO=O。，

因为6AOEC=3>AD-(AC-AE)

二|(航+宿凝隔

=|(航+硝侬―海)

=^(^ABAC-^AB2+砂)

=ABAC--AB2+-AC2=AB-AC

22f

所以T而2=1前2,即|福=呵福，

故川1

方法二（利用平面向量基本定理求解）

由4,0,。三点共线，可设而=2而（0<2<1）,

则而g（而+前），

由E,O,C三点共线，可设的二〃正（（）<〃<1）,

则而存"（前-福，

即而二（1・〃）而+"尼三（1-fi）AB+^iAC,

由平面向量基本定理可得，

七尸’解得

金，

则与彳须+硝，

EC=AC-AE=AC^ABt

所以6而.反=6X；（而+前）.（而一[而）=曰（|而.而+於2―：而2）=丽.而，化简得3尼、丽2,贝I]

V3|4C|=|AH|,即条VI

AC

■课堂小结口

I.知识清单：

（1）平面向量基本定理.

（2）用基底表示向量.

（3）平面向量基本定理的应用.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.

随堂演练

1.若｛d，4｝是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）

A.C|-C2，62~€\

B.2ei-ez>

C.2e2-3ei,6ei-4e2

D.4ei+2e2，8et-4e2

答案D

解析选项A,B,C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底；由题意知，白，62不共线，则选

项D中的向量不共线，可以作为平面向量的基底.

2.如图，用向量ei，62表示向量诙力等于（）

A.-2e「4e2

B.-4er2e2

C.ei-3e\

D.-e2+3ei

答案C

解析如图所示，a-b=BA=CA^CB=e2-3e\.

3.已知非零向量35,砺不共线，2OP=xOA+yOB,若以=4瓶（％£R）,则x,y满足的关系式是（）

A.x+j-2=0B.2x+y-l=0

C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0

答案A

解析由可=7而得，OA-OP=X（OB^OA）,即而=（1+4）而J砺，XWP=xOA+yOB.所以‘消去

iy=一/4，

A得x+y=2,即x+y-2=0.

4.已知向量a,b不共线，向量〃?=2a-38，n=4a-2b,p=3a+2b,贝ij片（用切，〃表示）.

答案-》十£〃

解析p=xm+yn（x,yR）,则3a+2b=%（2。-36）+）,（4。-28）=（21+4丁）。+（-342），）》.

由平面向量基本定理，得图:纥？’2

（ox*V4,

（X=-

解得《13

9=石，

所以〃=-—+£〃.

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分

IC基础巩固

1.设点O是平行四边形A8CO两对角线的交点，下列向量组可作为该平面其他向量基底的是（）

A.而与福B.万5与丽

C.G5与反D.而与丽

答案C

解析石?与反不共线，故刀与方可作为基底.

2.设刍，62是平面内两个不共线的向量，则以下。，〃不可以作为该平面内基底的是（）

A.“二C1+C2，b=e\

B.a=2ei+e2，》=*i+*2

C.a-ei+/，b-t\-e2

D.a=c「2e2，h=-e\+4e2

答案B

解析对于A,C,D,因为a,8不共线，所以可以作为基底；

对于B,因为b=；a,所以a,8共线，不可以作为基底.

3.已知向量ei，及不共线，实数]，》满足（5六6），）。|+（4]-55）62=66+302，则x-y的值为（）

A.3B.-3C.OD.2

答案A

解析因为约，62不共线，则由平面向量的基本定理，

（5x-6y=6,①

,—T<

（4x-5y=3,②

①-②得，x-y=3.

4.（多选）如果｛a,邮是平面内一个基底，则下列向量能构成该平面基底的是（）

R.a+b与a-bB.a+26与la+b

C.a+力与-a-bD.a与-b

答案ABD

解析由已知得。与力不共线，根据平行四边形法则，可知A,B,D中的两个向量都可以构成一个基

底，而。+〃与-a/共线，不能构成一个基底.

5.已知点M是△A8C的边8c的中点，点E在边4c上，且正=2荏，则向量的等于（）

A.-AC+-ARB.-AC+-AR

2326

C.-AC+-ABD.-AC+-AB

6262

答案c

解析如图，

•：~EC=2AE,

.....,,.......♦2.1・・・，♦9—♦1.....♦.....♦1.....，•1.....

：.EM=EC+CM==-AC+-CB=-AC+-{AB-AC)=-AB+-AC.

3232、,26

6.下列说法不正确的是（）

A.若向量。，。满足6贝U。，〃为平行向量

B.已知平面内的一个基底｛e1,。2卜则向量｛ei+ez，022｝也能作为该平面的一个基底

C.模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等

D.若aABC是等边三角形，则〈而，BC）=y

答案C

解析对于A,因为。=-3力，所以a,〃是平行向量，A正确;

对于B,因为（6，。“为平面内的一个基底，

所以幻，62不共线，

假设ei+ez,ei-e2共线,则ei+ezH®-e2）,

所以（1一/1）0+（1+/l）e2=0,所以1J=O,1+2=0,无解,

所以ei+e2,e「e2不共线，

所以｛ei+e?,Q-e”可以作为该平面的一个基底，B正确；

对于C,虽然单位向量的模相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；

对于D,因为△A8C为等边三角形，

所以（AB,BC）=兀-/48。=兀?二拳D正确.

7.在AABC中，点。为线段8c的中点，点E满足方=2瓦5,若丽之彳5+〃丽（九"£R）,则的值为

解析因为点。为线段8C的中点，点E满足而=2瓦彳,

AD=^（AB+AC）,

所以

~BE=AE-AB=萍-AB,

2AD=AB+AC,

所以

3而=AC-3而,

消去觉，得2彳房3片5二4彳瓦

所AD--BE=AAD+/IBE,

24

所以吗，〃=《,所以"〃二+.

8.（5分）在△ABC中，。是边AC的中点，点〜在边8c上.点P满足前楼定，设前AC=b,则

DP=.（用向量m8表示）

答案出”

解析依题意，得价=反+而三而+|而三元+:（AB-AC）=lAB--AC=la--b.

23233636

9.（5分）如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABLAD,4Z）=28C,E是线段CO的中点，线段AE与线段

BD交于点、F,则萼卜.

答案:

O

解析设灰豆荏（OO.vl）,因为点8,F,。三点共线，则存在实数根，使得前=〃历？（心1）,

贝।而二而+格丽+工前二而J（而-而）=（1-^\AB+-AD,

mmvz\m/m

连接AC（图略），

贝I7荏而+：前）

与住同+：港+硝］

啡而+X荏+ps）］

+海）寺荏咛而，

（1」=为

所以《1W2'解得“，

-=-A,5

,m4

所以"W荏，故图W

10.（10分）如图，在平行四边形ABC。中，点E是AB的中点，F,G是AD,3c的三等分点.其中

AF=|AD,BG^BC,设而=a,AD=b.

（1）用a,〃表示丽，前；（5分）

⑵如果⑷三阳，用向量的方法证明：EF上EG.（5分）

（1）解由题意得

一

於

称

221在

T-

--4

-一

332

就

荏

1或

-2

昨=4-=

23

（2）证明由（1）得乔•谢

二（一+”）•（）+触）』审

中（沙1）2申=。，

所以EFA.EG.

ID综合运用

11.如务，平面内有三个向量j5,OB,0C,其中65与南的夹角为120。，函与沆的夹角为30。，且

\OA\=\OB\=\,|OC|=2V3,若沆之万5+"砺（九/z£R）,则A+〃的值为（）

OA

A.3B.4C.5D.6

答案D

解析过。点分别作CG〃OB交。4的延长线于点G,

作CC2〃OA交08的延长线于点。2,从而四边形OGCG为平行四边形，N8Q4=120。,

由NCQ4=30。，得NCO8=90。.

又|瓦|=26，得|苑|=2,|泥1=4,

又沆二函+能2，所以苑二〃砺，正1=2万？，

\0A\=\0B\=\.

故〃=2,z=4,2+/z=6.

12.（多选）如图，在等边△A8C中，A8=3,点。在边8C上，且汨=2的.过点。的直线分别交射线A8,AC

于不同的两点M,N,~AB=niAM,正二〃丽.则以下选项正确的是（）

111♦2一，1....)

\.A0=-AB+-AC

33

B.cos<0^4,0C)=—

14

C.m+n=3

D.若的最小值稽

答案ABD

解析对于A,由小=2前，得前-荷=2（布-而），则而二|南弓前，A正确;

JO

对于B,令而=mAC=b,在等边△ABC中，X3Xcos60。=:

由选项A#1^401y/（2a4-^）2=jV4a24-b2+4a-xJ4x9+9+4xg二夕，

泥二|旌|凝而）争出），函W（2a+力），|0C|=2,

亦况得2。+办（用力尸：（2。0彷-〃）[x（2x9-^-9）=l,

因此cos〈瓯沆〉嗡禽=六名B正确；

对于C,由选项A知，而二而」而，而而二〃前而，AC^iAN,

33

则而二等祠卷前，而M,O,N三点共线，因此竽；二1,即2m+“3,C错误；

对于D,由选项C知，32m+〃）=1,/〃>0,〃>0,-+-=^（2nt+n）（—4--）

3mn3\mnJ

,（4+?+等）若（4+2JM唱g当且仅当〃=2m=|时取等号，D正确♦

13.（5分）如图所示，A,B,。是圆。上的三点，线段CO的延长线与班的延长线交于圆O外一点。，若

OC=niOA+nOB,则m+n的取值范围是.

B

答案(-L0)

解析设沆=布S伏<0),又|中爵1,

：.-\<k<G.*：B,A,。三点共线，

・••存在实数九使得而=2市+(11)而，

/.OC=mOA+nOB=k/.OA+k(1-1)0B,

・时而不共线，•.・{:端7),

/.nt+n=k,从而m+n£(-1,0).

14.(