山东枣庄市薛城区2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学（解析版）

高一数学试卷

本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数1一21的虚部为（）

A.-2iB.2zC.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据虚部的定义可得解.

【详解】复数1一27的虚部为一2.

故选:C

2.已知向量4=（x,2）,/?=（1,-1）,且W/Z?,则工=（）

A.4B.2C.OD.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量平行列出方程，化简求出大的值.

【详解】由题意知a//。，则1）=2,解得工=-2,故D项正确.

故选：D.

3.在△045所在平面内，点C满足AB=38C，记OA=〃，0B=/;，则。。=（）

2r1[41,

B.—a+—bc.-1.4.D.—a——b

33333333

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.

【详解】由向量的线性运算可知0C=Q4+AC=O4+A5+8C=04+g（03-Q4）=-；a+gz?.

故选：C.

4.已知复数z满足+=—则彳=（）

A.1-iB.l+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简L1知条件，得到复数z,再求复数z的共规复

数，得W

【详解】因为|G—i|=J(G)2+(—l)2=2,所以(l+i)z=2,

22(1)

则2=7TF=7T七六;二1T，则乞=l+i.

(1+1)(—(IT)

故选：B

5.桌面上有以卜.四种几何体，设点尸是几何体表面上的一点，任意转动几何体(均与桌面接触)，则点/)到

桌面的距离最大的几何体是()

A.棱长为1的正方体

B.表面积为4兀的球

C.轴截面是边长为I的正方形的圆柱

7T

D.体积为一旦轴截面为直角三角形的圆锥

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据正方体、球、圆柱、圆锥的几何性质进行运算判断即可.

【详解】A：当点〃是楂长为1的正方体表面上的一点时，

因为棱长为1的正方体的对角线长为JF+仔+『=5

所以点尸到桌面的最大距离为G；

B：当点P是表面积为4兀的球表面上的一点时，

设该球的半径为R,所以有4兀2=4兀=>R=1，

因此该球的直径为2,

由球的性质可知点〃到桌面的最大距离为2；

C：当点P是轴截面是边长为1的正方形的圆柱表面上的一点时，

此时该正方形的对角线长为TPTF=&，

所以点p到桌面的最大距离为及；

D：当点。是体积为四且轴截面为直角三角形的圆锥表面上的一点时，

2

由圆锥的性质可知该直角三角形为等腰直角三角形，设斜边长为2〃，

所以该圆锥的底面的半径为广，圆锥的高为，

所以有--7ir2r=—=＞r=J—,

32V2

所以斜边长为2r=24二班2,

因此点尸到桌面的最大距离为i/n；

显然祈我＞石＞应，即m＞2＞石〉友，

故选:D

6.如图，VA03的斜二测画法的直观图是腰长为3近的等腰直角三角形，V轴经过49的中点，则

\AB\=()

A.6B.3瓜C.12D.676

【答案】D

【解析】

【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可.

由题意得VA03的原图如图所示，其中为A3的中点，且10Al=3及，

1“3叵义叵。，

\0D\=-----------x2=6»

所以|AD|=J|0A「+|CD『=3限,故|AB|=2|AO|=66.

故选:D.

7.若华电是夹角为120。的两个单位向量，则4=20+6和〃=6一20的夹角的余弦值是（）

A后R后「用n3

77145

【答案】A

【解析】

【分析】由条件，根据数显积定义求6：,々2,44，再利用向量夹角公式和数显积的性质求结论.

【详解】因为q,/是夹角为120。的两个单位向量，

所以e：二=lxlx|-il=-i

设。为。涉的夹角,

--2-2_

ab-4弓十%-3J21

COS0=-j-7=/i]-=°=,

问网,4eJ+4q•/十也右：一4q•/十ej也乂行7

故选：A.

8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国占老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花,

从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形/IBCOQG”的边长为4,尸是正八边形

ABCDQG”内的动点（含边界）.则AP-AB的取值范围为（）

A.[-8五/6+8何B.[-8,16]C.[-872,24+872]D.[-8,24]

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.

y.

【详解】

以A为坐标原点，A3,Ab所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则从（。,0）,5（4,0）

过，作"'的垂线，垂足为N,

正八边形ABCAEPG”中，边长为4,所以NHAW=（8—2）x>°=135°，

8

所以AN=HN,所以AN?+HN?=HA?=AN=2近，所以Ab=4+4及，

设P（x,y）,则AB=（4,0）,AP=（x,y）,所以=

因为尸是正八边形尸G〃内的动点（含边界），

所以x的范围为一2夜V/K4+2夜，

所以一8五工4文416+8立，

故选:A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选

项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数2=。+〃，a,bwR,且人力0,下列说法正确的是（）

A.z—5是纯虚数B.z?是实数

C.z-i是虚数D.若忖=1,则z+，是实数

Z

【答案】AD

【解析】

【详解】A.2—5=4+历一,一历）=2/?i为纯虚数，故A正确；

B.Z2=^1+1^=a2-h2+2abi,只有a=0时，z?才是实数，故B错误；

C.z-i=（a+加）」=—匕+山，只有。工0时为虚数，。=0为实数，故C错误；

D.z+』=z+旦-=z+2上■=2+彳=2。为实数，故D正确.

ZZZ

10.在锐角VA3c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,（sinA+sinB）2=（2sinB+sinC）sinC,

旦sinA>走，则下列结论正确的是（）

3

A.c—a=acosCB.a>cC.c>aD.C>—

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正弦边角关系可得/+〃2-/=2加°-0，结合余弦定理及锐角三角形知c=a=acosC、

3>0判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得sinA=」一,，应用倍角公式得tan色>@,注意

«1+cosC23

0<C<^,即可得范围判断D正误.

2

【详解】由正弦边角关系知：3+勿2=（2〃+c）c,则a?+2a〃+/=»（：，+/,

所以"+从一°2=2仇。—幻，而cosC="+，2―c,〉0则c-a=4cosC,A正确；

2ab

由上知：—>0,即c>〃，B错误，C正确；

a

CC

sinC2sin—cos—Q小

由c-a=acosC知：sinC-sinA=sin/IcosC,WOsinA=SU=--------=^=-=tan—>—1,

,+cosC2cos2^23

2

又0<C<5,故0<g<f,则即色<C<E,D正确.

22462432

故选：ACD

11.在VA3c中，D,E,b分别是边BC,4cA8中点，下列说法正确的是（）

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=0

ABAC6AD

c.若］7丁+口［=一二八一，则8。是A3在BC的投影向量

\AB\ACAl）

D.若点P是线段AO上的动点（不与A力重合），且=+则之〃的最大值为:

O

【答案】BD

【解析】

【分析】对选项A,B,利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C,首先根据已知得到AO

为“B4C的平分线，即401BC,再利用平面向量的投影概念即可判断C错误.对选项D,首先根据

2=f

AP,。三点共线，设8P=/B4+(1-，0</<1,再根据己知得到|\-t.从而得到

L1=-----

y=l=(­)=--(/--)2+-,即可判断选项D正确.

.mt2228

【详解】如图所示:

对选项A,AB+AC-AD=2AD-AD=AD^(^故A错误•

对选项B,DA+EB+FC=--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

=--AB--AC--BA--BC--CA--CB

222222

=--AB--AC+-AB--BC+-AC+-BC=O,故B正确.

222222

对选项C'空，&分别表示平行于人B，4C，AO的单位向量,

\AB\\AC\\AD\

ADxr

由平面向量加法可知：——+——为/胡。的平分线表示的向量.

“I14cl

AD4rCAD

因为——+」-=,所以AO为/BA。的平分线,

\AB\\AC\\AD\

又因为AD为8c的中线，所以4。工3C,如图所示:

BD

BA在BC的投影为18,cosB=\BD

\BA

所以8。是84在8。的投影向量，故选项C错误•

对选项D,如图所示:

因为P在AD上，即ARD三点共线，

设8尸=f8A+(l・f)B。，0</<l.

1一一­—(1-r)

又因为6。二一SC,所以台2=i6A十^——-BC.

22

A=t

因为3P=Z3A+〃8C,则，1—f,0<r<l

Ll=-----

当/=:时，取得最大值为1.故选项D正确.

28

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量45=（2,—1）,6=（—1,3）,则日8/0）=

■田.十，.3兀

【答案】--

4

【解析】

ABCD_2X(-1)-H(-1)X3

【详解】由题意可知cos（四⑺二也

，

网曲广相+㈠尸1—322

所以（瓶6）=午.

13.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度0P,选取了在同一水平面上的4,B,C三处，如图所示.已知

在A,B,C处测得该建筑顶部P的仰角分别为300、45、60%OA=2OB-OC^AB=10米，则该建

筑的高度OP=米.

p

【答案】5底

【解析】

【分析】设OP=x,由题可得0A=氐，OB=x,OC=—x＞由。4=2O8-OC得B是AC的中

3

点，在..430和4030中，由余弦定理建立方程求解即可.

QP

【详解】设00=无，在直角三角形0AP中，由tan/PAO=—,得。4=6，

0A

OP

在直角三角形CAP中，由tan//?C=——，得OB=x,

OB

在直角三角形0C尸中，由lanN尸。。二"，得。。=且工，

OC3

由O4=2OB-OC，可得8是AC的中点，所以AB=BC=10，

因为ZOBA+ZOBC=71,则CQSZOBA+cosZOBC=0,

在一480,.80中,由余弦定理可得；［00+〃2―3“2J00+L3X=0.

2xl()xx2xl()xx

解得工=56，所以该建筑的高度。尸为5标米.

故答案为：5瓜

14.在边长为4的菱形ABCQ中，/A=60,M为CO中点，N为平面A8CD内一点，若

AB-NB=AM-AN，则AM.AN=

【答案】14

【解析】

【详解】可知AB—NB=AB+BN=AN，

所以〔AN卜卜M_4N卜即AN2=AM-AN2,

可得AM-AN=M—，

2

可知在△ADM中，AD=4,DM=2,ZADM=120°,

•227r

所以AM=AD2+DM2-2ADDMcosZADM=\6+4-2x4x2cos—=2S,

2

所以AM-AN=出一二14・

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量a,by|^|=6,b=4

（1）若〃与〃的夹角为60"，求（。+2与（4一3/?）；

（2）若〃与〃不共线，向量0+姑与。—妨互相垂直，求左值.

【答案】（1）-72

3

（2）±-

2

【解析】

【小问1详解】

由题可得=60°,同=6,b=4,

=62-6x4xcos60°-6x42=-72；

【小问2详解】

a+kb与a-kb互相垂直，

.,.（〃+幼）•（〃一幼）=0,BPd2-k2b2=0；

,・•同=6,b=4,且a与万不共线，

3

.•.36-16公=0,解得攵=土耳.

4兀

16.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为《■的扇形，母线长为3.

(1)求圆锥的底面积；

(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

【答案】(1)4兀；

(2)立兀.

2

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用扇形弧长公式求出圆锥底面圆半径即可得解.

(2)设圆柱的高。。="，OD=x,借助比例式将圆柱的侧面积表示成4的函数，结合二次函数的性质

求出面积最大值即可得解.

【小问1详解】

4兀

依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为—[X3=4兀，则圆锥底面圆半径〃=2，

3

所以圆锥底面圆面积为S=兀/=4兀.

【小问2详解】

设圆柱的高0«=〃，底面圆半径OQ=x,

在RtA/tOB中，AO=VAB2-r2=石,显然OPJ/OB，则—'1，

AOOn

即且/=于是九=6(1一］_幻，

石22

圆柱侧面积S'=2itxh=27U-V5(1--X)=-y/5Tt(x2-2x)=+6兀，

2

则当X=l，〃=时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为丫=以2〃=叱

71•

22

7T

17.在平行四边形A8CD中，AB=4,4。=6,NBAD=—,E,产分别是边CDAD的中点，AE与

3

BF交千点、N.

BC

(1)求BEFE；

(2)记AN=r4B+y人。，求K-y的值.

【答案】(1)17(2)x-y=-1

【解析】

【小问1详解】

因为E,尸分别是边CD,AO的中点，

所以8E=BA+AE=BA+AO+O£=—AB+AQ+LAB=—4A8+A。,

22

FE=FD+DE=-AD+-AB,

22

因此BEFE=\--AB^AD^A-AB+-AD\=--AB1+-ABAD^-AD'

I2)\22J442

=——x16+—x4x6xcos—+—x36=17.

4432

【小问2详解】

设AN=2.AE,BN=JJBF,

zI\2

有AN=/lAE=/l(A3+BE)=qA3_543+AOJ=5A8+/l4D,

又AN=A8+BN=/W+4M=A8+〃(Ab-A8)=(l-〃)A3+?。,

%1

片”，A=—

，解得|)

由平面向量基本定理得

石幺

2

1

x=­

]一2—5

所以AN=—A3+—A£),则・因此x-y=一二.

552

尸M

18.在VA3C中，角A,〃，C的对边分别为a,b,。.已知2asin（C+四）=〃+c

6

（1）求A;

（2）若。=9，b>c,VA3C的面积为手.

①求ac；

②设AC,AC边上的两条中线A。，BE相交于点0,求cosNAQB.

【答案】（1）A=-

3

（2）①/?=5,c=2；②生叵

91

【解析】

【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得；

（2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得：②先将ADHE分别用4民4。表示,再运用向量数量

积的运算律和向量夹角的计算公式求出cos〈AD,8E〉即得答案.

【小问1详解】

由2asin（C+?）=b+c,可得优。$。+>/5。5访。一/?-（?=0，

由正弦定理得sinAcosC+J^siMsinC-sinB-sinC=0.

因为sinB=sin（7i-A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以百sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.

由于sinCoO,则bsinA-cosA—1=0，所以sin（A-?）=:.

62

Ti71Tt

又0<Av兀，则A—二二:，故4=一.

663

【小问2详解】

①由题意，VA3C的面积S二，尻si必二更，可得人c、=10①，

22

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，且a=M，所以6+/=29,

22

5!ij（/?+c）=/r+c+2/?c=29+2x10=49,因为〃+c>0,所以〃+c=7②，

因为〃〉c,联立①和②解得，b-5,c-2.

②因为。，E分别是8C,AC的中点，。为A。，BE的交点、,

所以AO=g（AB+AC）,BE=AE-AB=^AC-ABf

111

兀

-X2X5COS

-4-3-2-4-

AD卜出启+2W+=与,|/?E|=AC2-ABAC-i-AB2=

/亦说3_4屈

所以cos（AD,BE）-后瓜-西一.

x

2-------2

由题意，/AOB为锐角，则cos/AOB二COS〈AD,8E〉==L

19.如图，在VA4C中，AC=2,3。=2百，且AC_L3C.M、N为线段上的两个动点（N在

M的右侧），且？MCN30",记NACM=0.

（2）若..MNC的面积是aCMA的面积的立倍，求。的大小;

2

（3）当。为何值时，MVC的面积最小，最小面积是多少？

【答案】⑴3+x/3

（2）<9=45

（3）3（2->/3）

【解析】

【分析】（1）利用直角三角形及三角函数计算可得CM、MN、CN,即可得_MNC周长；

（2）借助