向量的数量积（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用

6.2.4向量的数量积(基础练)

一、单选题(共5小题，满分25分，每小题5分)

1.已知空间向量〃，b，c和实数4,则下列说法正确的是()

A.若。.〃一()，则。一()或〃一0B.若久。一0,则2=0或。一。

C.若=伍)，则a=力或〃=—/?D.若〃./?=a.c，则Z?=C

【答案】B

【解析】对于选项A，若〃/=0,则4=0或8=0或〃_1.人故4错误；

对于选项C,由(。『二伍『，得|。|=|勿，即可得其模相等，但方向不确定，故C错误；

对于选项。.由a.力二〃.c，Wci-(b-c)=0,则a=0或Z?=c或。_LS-c),故。错误;

对于选项8,由；1〃=0，可得2=0或。=0，故B正确，故选：C.

2.已知。=3,同=4,且“与匕不共线，则向量。+与与。二〃的夹角为()

1144

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】•••忖=3,忖=4

(3W3,29以

/.a+-b•a--b=a--b=0.

I4)I4)16

3

山+抄IT4，

••・所求夹角为90。，故选：C.

3.若向量Q，〃满足〃=2,W=l,+=6,则cos,』?"().

A.在1c-4

B.—D--T

22

【答案】B

由(〃+2/?>a=6可得:

【解析】a+2。•/?=6，

即4+2a-bcos<«,/?)=6»

将〃=2,b=1代入可得：2?+2x2cos(〃,/?)二6

所以cos(〃,/?)=—»故选：B

2

rr..

4.设4,/?为单位向量，Ea-b=1,则。+26=()

A.6B.不C.3D.7

【答案】B

【解析】因为〃，〃为单位向量，且a-b=1,所以（〃一6）~=1，所以〃N—Za-匕+Z^^i，

解得标4

所以a+2b=«/a+2b=\lcr+4ci-h4-4b2=币•故选：B.

5.同一平面上三个单位向量两两夹角都是整，则4-〃与Q+C的夹角是（）

B.二

A

-i3

【答案】D

—|一T1——2乃1

【解析】由a*b=\a/b2COS———4・cC=二accos——=

3232

所以a-b=G,a+c=\,^^a-b^'(a-\-c)=a+a'C-ab-bc

所以(〃-〃)•(〃+(?)=l+g-g-lxIxcos-^即一/?)•m+0)=1+3=5

3

设〃一。与a+c的夹角为则cosJ=（"=迫,

a-〃H〃+c\/3xl2

又。《夕《"，所以a—〃与4+c的夹角为三.故选：〃

6

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.已知单位向量〃，力的夹角为60°,则在下列向量中，不与人垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】ABC

ii

【解析】由已知可得：ah=«-Z7.cos600=lxlx-=-.

22

2IS

对于选项A,因为（〃+2切/nam+Z//=—+2xl=—wO,所以A符合题意;

22

对于选项B,因为（2a+O）2=2a3+z/=2xL+i=2wO,所以B符合题意;

2

对于选项C,因为（。-2Z?）力=。♦〃-2人=一一2xl=--^0,所以C符合题意;

22

21

对于选项D，因为（2。一切力=2〃2一〃=2x一一1=0,所以D不符合题意.故选：ABC.

2

7.下列命题中正确的是'：）

A.五〃方=存在唯一的实数AWR,使得方=4出

B.E为单位向量，且♦〃春则五=±同3；

C.a-a=|a|2；

D.若五.石=石.cJSbH6,则五=c

【答案】BC

【解析】对于选项A,当云为零向量时结论不成立，所以A错；

对于选项B,当孑为零向量时结论成立，当4不为零向量时，白表示与向量9同向的单位向量,

结论也成立，所以B正确；

对于选项C,a,Xo'xCXKOa',所以C正确；

对于选项D,3aib>bl祖m,6,a都不为零向量时,刈b=6々=0,但甘与己不一定相等,

所以D错.

故选:BC.

8.下列命题中，结论正确的有（）

A.0X4=0

B.若。1〃，则|。+。|二|。一。|

C.若AB〃C£），则力、叫。、〃四点共线；

D.在四边形A3C。中，若A8+co=o,AC.BO=（）,则四边形ABCQ为菱形.

【答案】BD

【解析】对于A,0xa=0,故A错误；

对于B,若。_!_〃，则=0，所以［a+b1=Ja+b+2a•b=Ja"十b，

|〃—=，故1。+〃1=匕一切，即B正确；

对于C,ABHCD，则AB〃CO或A8与。。共线，故C错误；

对于D,在四边形A8CO中，若AB+CO=0,即A8=OC，所以四边形A8CO是平行四

UUUUUU

边形，又人。血）=（）,所以AC_L3。，所以四边形ABCD是菱形，故D正确：

故选:BD

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9.若向量〃队满足同吼叫回2,且〃与〃的夹角为?，则,+丽________.

【答案】q

【解析】•"4=1,网=2,。,匕夹角为0

所以〃+同=|tz|2+|/?|+2a•b

7T

=1+4+2同bcos—

3

=5+2xlx2x—=5+2=7

2

所以a+b=\/7自故答案为：J7.

10.已知单位向量陕角为45°,&^与「垂直，则后__________.

【答案】也

2

【解析】由题意可得：H=lxlxcos45=包，

2

由向量垂直的充分必要条件可得：(n一”工=0,

即：kxa—ab—k—--=0»解得：k=-

22

故答案为：YZ.

2

mu

H.已知|OA|=5,|。0=2，〈。408)=60,OC=2OA+OB^OD=OA-20B»

则以OC,OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为________.

【答案】V199

【解析】・・・OE=0C+0O，J

|OE『=(OC+OD)2=(2OA+03+OA—2OB)2=(3OA-OB)2

二9|QA『+|。02—6OA・OB=9x25+4—6x5x2xcos60°=199.

：-\OE|=V199,即OE=J函.故答案为：J函

四、解答题：(本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

12.已知同=J5,b=1.

(1)若。的夹角夕为45。，求,一耳：

(r\「

⑵若(。X一力四力，求万与»的夹角夕.

【答案】(1)1；(2)

4

【解析】⑴1_可=JL=y)d2^b2-2ab

=^2I12x>/2x1x=1：

(2)\'(a-b^A.b,

.•.(4-//〃=0=小〃-户=0,

即1KCOS。—1一0,解得：cos0=»

2

Q6w[0,〃],「.。二?，

■71

所以万与b的夹角为一.

4

13.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为12。。.

(1)求证：(a—b)±c；

⑵若依+b+c|>l/£R),求上的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2){班<0或心>2}.

【解析】(1)证明：因为⑷=|例=|c|=l,且%b,。之间的夹角均为120。，

所以(a—b)・c=a,c—b,c=|a||c|cos120°一|b||c|cosI20°=0,所以(a—〃)_Lc.

(2)解：因为伙a+力+c|〉l,

所以(ka+b+c)2>l,

即leer+户+c?+2kab+2kac+2bc>l,

所以F+l+1+2依os1200+2&cos120。+2cos120°>l.

所以R—2Q0,解得衣：0或Q2.

所以实数k的取值范围为网&<0或Q2}.

14.如图，在△A8C和A4E/中，8是所的中点，43=2,EF=4,CA=CB=3,

若+尸二7，则求石厂与BC的夹角的余弦值.

【答案】7

6

【解析】由题意可得8C2=9=(AC—AB)?=AC2+AB2-2ACAB

=9+4-2AC・W

工ACAB=2

由A8-AE+AC-Ab=7,可得

AB\AB+BE)+AC\AB+BF^=AB2+ABBE-^ACAB+ACBF

=4+AB^-BF)+2+ACBF

=6+BF^AC-AB)=()+^EFBC.

EF-BC=2»即4x3xcosE£3C=2，••・COSEF,BC=!.

6

A级必备知识基础练

1.［探究点一（角度1）］若p与q是相反向量，且|p|=3,则pq等

于（）

A.9B.OC.-3D.-9

2」探究点三］若平面向量a与b的夹角为

120°,|a|=2,（a・2bMa+3b）=3^iJ|b|二（）

A.-B.iC.2D.3

23

3.［探究点一（角度1）］已知正方形ABCD的边长为3,DE=2EC,

则版•前二（）

A.3B.-3C.6D.-6

4.［探究点三］已知平面向量a,b满足|a匚企,|b|=l,a_L（a+2b）,

则向量a,b的夹角为（）

A.-B.-C.-D.-

3434

5.（多选题）［探究点二］已知a,b,c是三个非零向量，则下列选项

正确的有（）

A.|a・b|=|a||b|oa〃b

B.a,b反向oa・b=・|a||b|

C.a±b»|a+b|=|a-b|

D.|a|=|b|«|ac|=|bc|

6.［探究点三（角度2）-2023黑龙江哈尔滨期中］已知ei©是单

位向量，旦ei・e2=0,设向量a=xei+//e2,当X-p.-\

时，<a,ei>=;当％+〃=4时，|a・ei|的最小值

为.

7.［探究点一（角度1）］如图所示，在RtAABC中,4=90。,45=1,

则荏•近的值是.

8」探究点三］已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互

之间的夹角均为120。.求证:（a-b）_Lc.

9.［探究点一（角度2）-2023山东威海检测］已知

|a|二4,|b|=3,（2a-3b）・（2a+b）=6L

⑴求|a+b|;

⑵求向量a在向量a+b方向上的投影向量的模.

B级关键能力提升练

10.若。为△ABC所在平面内任一点,且满足（砺-OC\（OB+

反.2耐）=0,则△ABC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

1L已知平面向量a,b,|a|二2,|b|=l,则|a-b|的最大值为（）

A.lB.2C.3D.5

12.（多选题）设a,b,c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给

出下列四个选项，其中正确的有（）

A.ac-bc=（a-b）c

B.（bc）a-（ca）b不与c垂直

C.|a|-|b|<|a-b|

D.(3a+2b).(3a-2b)=9|a|2-4|b|2

13.（多选题）已知正三角形ABC的边长为2,设标=2a/?=b,

则下列结论正确的是（）

A.|a+b|=lB.a±b

C.(4a+b)±bD.ab=-1

14.已知a,b是单位向量，c=a+2b且a±c,则

ab=,|c|=.

15.已知向量ei©分别是与向量a,b方向相同的单位向量，若

ab=-9,a在b上的投影向量为-3e2,b在a上的投影向量为」ei,

2

则a与b的夹角6=.

16.如图，在四边形ABCD中，荏.，近二b,而=c,石5二d,且

ab=bc=cd=da,fia,c=b・d,则四边形A3CZ）是什么形状？

17.已知|a|二2,|b|=l,(a・3b).(a+b)=3.

⑴求|a+b|的值;

(2)求a与a-2b的夹角.

c级学科素养创新练

18.如图所示为正六边形尸由2P3尸4尸5尸6,则下列向量的数量积

中最大的是()

APR?­PRB.P62-P0

C.际,被D.福*丽

19.设两个向量a,b,满足|a|二2,|b|二L

⑴若(a・2b)・(a+b)=2+V^,求a,b的夹角；

⑵若a,b的夹角为60。,向量2/a+7b与a+/b的夹角为钝角,

求实数，的取值范围.

参考答案

1.D由已知得pq=3x3xcos1800=-9.

2.B化简(a-2b)-(a+3b)=a2+a-b-6b2=4-|b卜61bl2=3,|b|二；或|b|=】(舍去).

3.A如图，

因为正方形A8CO的边长为3,DF=2FC,

._".''''•一'•I''・♦2—2I♦♦»c1…・•一・…

所以=(AD+DE)-(AD-AB)=vAD+^AB]\AD-AB)=AD2-^AD-AB-

JJ

日病2=32K32=3.古攵选A.

•3O

4.DVa±(a+2b),

，a-(a+2b)=(),即a2+2a-b=0,ab=-1,

..a-b-1\^2

..cos<a,b>=--7；=-7=—=--.

|a||b|V2xl2

•・・<^,1>>£[0,兀],・・・78,1)〉一空.故选D.

5.ABCA.Va-b=|a||b|cos<9(<9为、与b的夹角),

・••由|a・b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos例=1,

・・・。二()或兀,・・・a〃b且以上各步均可逆.故A正确.

B.若a,b反向，则a,b的夹角为n,/.ab=|a|-|b|cosn=-|a|b|且以上各步均可逆.故B正确.

C.当a_Lb时，在平面内任取一点。作3五=a,赤=b,则以04,08为邻边作平行四边形，则该

平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a+b|=|a・b|.反过来，若|a+b|=|a-b|,

在平面内任取一点。作万?二a，砺二b,则以OA,O8为邻边的四边形为矩形,所以有a_b.

故C正确.

D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a・c|，|b・c],反过来由|ac|二|bc|也

推不出|a|二|b|.故D错误.

6.：挈当A=/z=l时，a=ei+e2,|a『二或+2d。+登=2,即|a|=x/5,cos<a,ei>=^^=

4t4||C4|**1I

（ei+e2）e1__1__V2

lalleil=&=彳

因为<2,。[>£[0,汨,所以<2,。1>=；.

当2+//=4时,a・ei=（a・l）ei+〃e2=a-l）ei+（4U）e2,

则|a-e,『=（九1y+（4力2=2（若）2+^

当后|时,回曲|的最小值为苧.

7.-1（方法一）而•近二|正||玩|cos（1800・8）=-|而||玩|cos8二・|而||近|丝!二-|丽|2二」

18cl

（方法二）|瓦5|二1,即丽为单位向量，而•近二-瓦5•丽=-|瓦?||加IcosNA8c而|而|cosN

A8C二|瓦5|,所以而•前二・|瓦那=-1.

8.证明(a-b>c=a・c-bc

=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°

=1x1x(-])-1x1x(-5)=0,

故(a-b)_Lc.

9.^(1)(2a-3b)-(2a+b)=4a2-3b2-4a-b=4x16-3x9-4ab=61,解得ab=-6.

/.|a+bp=a2+b2+2ab=16+9-l2=13,

A|a+b|=V13.

(2)设a与a+b的夹角为Va(a+b)=a2+ab=10,

**•cos。=4詈瓦=2、第=5；：：则a&a+b方向上的投影向量的模为||a|cos0\=4x-^==

log

13

10.A因为(旗-OC\(OB+小亍・2万才)=0.即而•(而+彳？)=0,又因为说一近=无，所

以(而-ACy(AB+而)=0,即|而|二|而|,所以△48C是等腰三角形.

11.CV|a|=2,|b|=l,.*.|a-b|=J(a-b)2->Ja2-2ab4-b2-y/5-2ab,

又ab£[22"・|a-b|£[l,3],

・・.|a-b|的最大值为3.

12.ACD根据向量数量枳的分配律知,A正确；

因为[(bc)a-(ca)b]c=(bc)-(ac)-(ca)(bc)=O,

所以(b・c)・a-(c・a)-b与c垂直,B错误；

因为a,b不共线，所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边，所以|aHb|v|a-b|成立,C正确；

根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.

13.CD由题意知|a|二l,|b|=2,a与b的夹角是120。,故B错误;(a+b尸=|ap+2a上+|寸=3,

，|a+b|=V5,故A4ti^;(4a+b)-b=4ab+b2=4xlx2xcos1200+4=0,，(4a+b)_Lb,故C正

确;ab=lx2xcos12()。=/,故D正确.

14.-1V3因为c=a+2b且a±c,则a-c=a-(a+2b)=a2+2a-b=14-2a-b=0,可得

a-b=-1,|c|2=(a+2b)2=a2+4a-b+4b2=1+4xCl)+4=3,故|c|=V5