四边形中的折叠问题专项训练（20题）-八年级数学下学期重要考点复习（人教版）解析版

四边形中的折叠问题（20题）

一.选择题（共5小题）

1.如图，在菱形纸片A8CO中，/A=60°,点E在8C边上，将菱形纸片A8CO沿OE

折叠，点C对应点为点U,且。C'是48的垂直平分线，则NOEC的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】连接BD,由菱形的性质及NA=60°,得到三角形AB。为等边三角

形，。为4B的中点，利用三线合一得到QP为角平分线，得到NAQP=30'，

ZADC=120°,ZC=60°,进而求出/P£>C=9（T,由折叠的性质得到/

CDE=NPDE=45°,利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数.

【解答】解：连接30,如图所示：

♦・,四边形A3CO为菱形，

：.AB=AD,

VZA=60°,

二△A3。为等边三角形，ZADC=120",ZC=60°,

9：DC是48的垂直平分线，

・・・P为48的中点，

・・・OP为NAQB的平分线，即NPQP=NBD尸=30°,

：.ZPDC=90°,

・•・由折叠的性质得到NCDE=NPOE=45°,

在△OEC中，ZDEC=180°-（ZCDE+ZC）=75°.

故选：D.

2.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的）处，点C落在C处，若N

【分析】折叠后，四边形CQMN与四边形C'D'关于MN对称，则NQMN=/。'

MN,同时NAM。'=900-NADM=400，所以NDMN=ND'MN=(180°-40°)

+2=70°,根据四边形内角和360°即可求得NMNC的度数.

【解答】解：四边形CDMN与四边形C'D'MN关于MN对称，则NOMN=N。'MN,

且N4M。'=900-ZAD'M=40°,

：./DMN=ND‘MN=(180°-40°)4-2=70°

由于NMD'C=ZAC/D'=90°,

.•・NMNC=360°-90°-90°-70°=110°

故选：B.

3.如图，已知矩形ABCQ,将△BCD沿对角线BQ折叠，记点C的对应点为C,若/ADC

=20°,则/8OC的度数为()

【分析】由折叠的性质可知/8。。=/8。。'，故/4)8=/8。。’-ZADC=ZBDC

-20°,根据NAO4+/8QC=90。，列方程求N4QC.

【解答】解：由折叠的性质，得NBDC=NBDC,

则NAZ)B=N8OC'-NAOC'=ZBDC-20°,

ZADB+ZBDC=90',

：.ZBDC-20°+ZBDC=90°,

解得NBOC=55°.

故选：A.

4.如图，AC为矩形ABC。的对角线，将边AB沿AE折叠，使点8落在AC上的点M处,

将边C。沿C尸折叠，使点/)落在AC上的点N处，易证四边形AECT是平行四边形.要

使四边形AECF是菱形，则N84E的度数是（）

【分析】证出N8AE=/CAE=/D4C,即可解决问题.

【解答】解：由折直的性质得：NBAE=NCAE,

•・•四边形A8CZ）是矩形，

：.ZBAD=90°,AD"BC,

：.ZDAC=ZACE,

•・•四边形AEC/是菱形，

：.AE=CE,

/.ZCAE=NACE,

：.NBAE=ZCAE=NDAC,

/.ZBA£=AX90O=30",

3

故选:A.

5.如图，将三角形纸片AABC沿Z）E折叠，使点A落在8c边上的点尸处，且。E〃8C,

下列结论中，一定正确的个数是（）

①△8。”是等腰三角形；②。£=」•灰?：

2

③四边形人力FE是菱形；④//"）"+NFEC=2NA.

【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断.

【解答】解：①•：DE//BC,

:./ADE=NB,/EDF=NBFD,

XV△NOEm△FOE、

:・/ADE=/EDF,AD=FD,AE=CE,

:・々B=/BFD,

・•・AB。尸是等腰三角形，故①正确；

同理可证，是等腰三角形，

:.BD=FD=AD,CE=FE=AE,

JOE是△ABC的中位线，

：,DE=^BC,故②正确；

2

*：ZB=ZBFD,ZC=ZCFE,

又・.・/A+N4+NC=180°,N4+N4FD+NBQ尸=180°,ZC+ZCFE+ZCEF=\80°,

：・NBDF+NFEC=2NA,故④正确.

而无法证明四边形AQFE是菱形，故③错误.

所以一定正确的结论个数有3个，

故选：C.

二.填空题（共7小题）

6.如图1,在一张长方形纸片44C。上画一条线段MM将纸片沿线段MN折叠（如图2）,

当Nl=7（）°时，NKNC=40°（注:长方形纸片对边平行，即：CD//AB,AD//BC）.

【分析】由折叠的性质可得/l=NNMK=70°,由平行线的性质可求NMNK=N1=

70°,ZCNM=\\0°?即可求解.

【解答】解：・・・AB〃C。，

・・・NMNK=N1=7O°.

由折叠的性质可得：Nl=NNMK=70°,

，：CN〃BM,

:・/CNM+/KMN=\80°,

：・/CNM=1TO°,

・・・NKNC=40°,

故答案为：40°.

7.如图，。，E分别为aABC的AC,BC边的中点，将此三角形沿。七折叠，使点C落在

A4边上的点夕处.若NCOE=50",则NAPQ等于50°

【分析•】根据折叠的性质和中位线定理得出结论.

【解答】解：由折叠得：ZPDE=ZCDE=50°,

VD,E分别为△A8C的AC,边的中点,

：.DE//AB,

/.ZAPD=ZPDE=5QO,

故答案为：50°.

8.如图，C。是□△ABC斜边A8上的高，将△BC。沿CO折叠，B点恰好落在的中点

E处，则N4等于30度.

AEDB

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=4E,从而得到乙4=

NACE,再由折叠的性质及三角形的外角性质得到N3=2NA,从而不难求得NA的度数.

【解答】解：•・•在RtAABC中，CE是斜边A3的中线，

：.AE=CE,

：./A=/ACE,

•・•ACED是由△C8。折叠而成，

:.NB=NCED,

•・•NCEB=NA+N4CQ2/A,

・・・NB=2N4,

•・・NA+N4=90",

，NA=30°.

故答案为：30.

9.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8co的边C。、OA分别在x轴、了轴上，点£在边

8c上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的尸处.若QA=6,48=10,则点

E的坐标是(1(),&).

【分析】根据题意AF=AB=\O,由勾股定理可以得到OF,进而得CF的长度，设CE

=〃，则£/=3£=6■小由勾股定理列出。的方程求得。的值，便可求得£点坐标.

【解答】解：设CE=a,则8E=6-m

由题意可得，EF=BE=6-a,

由对折知，AF=AB=\0,

•••OF=VAF2-AO2=7100-36=

：.cr=oc-OF=10-8=2,

VZECF=90°,

.\cr+22=(6-a)2,

解得，4=3，

3

・••点E的坐标为(10,区)，

3

故答案为(10,当.

10.如图，把长方形纸片043。放入平面直角坐标系中，使04,OC分别落在x轴、)，轴上,

连接4C，将纸片0A8C沿AC折叠，使点8落在点。的位置，A。与1y轴交于点E,若

B(2,4),则OE的长为3.

-2一

【分析】由四边形0A8C是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt

△AEO中，利用勾股定理求得AE,的长.

【解答】解：•••四边形O18C是矩形，

：.OC//AB,

：.ZECA=ZCAB,

根据题意得：ZCAB=ZCAD,NCDA=NB=90：

・・・/EC4=NE4C,

:.EC=EA,

•:B（2,4）,

,\AD=Aff=4,

设。E=x,MAE=EC=OC-0E=4-x,

在RtAAOE中，AE2=01^+0^,

即（4-x）2=7+4,

解得：尸旦，

2

・•.

2

故答案为：3.

2

11.如图，在矩形纸片ABCO中，边AB=12,4。=5,点P为。C边上的动点（点P不与

【分析】连接AC,当点O在AC上时，CO有最小值，根据矩形的性质和折叠的性质解

答即可.

【解答】解：连接4C，当点。'在AC上时，CQ'有最小值,

•・•四功形人是矩形.八8=12,40=5,

・・・/。=/8=90°,AD=BC,

2222

A^C=VAB+BC=V12+5=13,

由折叠性质得：AD=AD'=5,NAO'P=NZ)=90°,

:.CD的最小值=AC・AD'=13・5=8,

故答案为:8.

12.如图，矩形A8CQ沿4E折叠，使。点落在8C边上的尸点处，如果NR4F=60°,则

ZAEF=75°.

【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可以求得NAE尸的度数，本题得以解决.

【解答】解：:/孙尸=60°,N8AO=90°,

AZMD=30°,

由折叠的性质可得，/胡E=ND4E,NO=NA产E=90°,

AZFAE=ZD/tE=-l/MD=15°,

2

：,ZAEF=ZAFE-ZME=90°-15°=75°,

故答案为:75°.

三.解答题（共8小题）

13.如图，正方形/18CD的边长为6,E为BC上一点,CE=2BE,将△人BE沿AE折叠得

到△4FE,连接。F,则线段。尸的长度是多少？

AD

【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理得出4E的长，进而求出EN的长，再利用勾

股定理求出FN的长，进而求出。尸即可.

【解答】解：作FALLBC,FMA.DC,垂足分别为N,M,连接8F,交AE于K,

•・•正方形ABCD的边长为6,E为BC上一点、,CE=2BE,

:.BE=2,

・・・48=2万，

•・•将△A8E沿4E折誉得到44小&连接OF,

：.BFLAE,

:.ABXBE=BKXAE,

・・・依="=心叵，

5

2

设,EN=x,则22-』=（6A/T5）2,（2+x）,

5

解得：x="

5

故F/v=^22-（-|-）2=y

则。“=6-_§■=区，FM=NC=6-2-8=卫，

5555

=22=

则DFVDM+FM^T^-

14.如图，将一张矩形纸片4BC。沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点。落在点£处,

直接MN交BC于点M,交A。于点N.求证：四边形AMCN是菱形.

【分析】由矩形A3CD与折叠的性质，易证得△CMN足等腰二角形，即CM=CN,即可

证得AM=CM=CN=AN,即可得四边形AMCN是菱形.

【解答】证明：•••四边形A8c。是矩形，

：.AD//BC,

・•・/ANM=NNMC,

由折叠的性质，可得：/ANM=NCNM,AM=CM,AN=CN,

:.4NMC=NCNM,

:.CM=CN,

：・AM=CM=CN=AN,

・•・四边形AMCN为菱形.

15.如图，在三角形纸片A8C中，AO是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A

与点。重合，折痕与A8相交于E,与AC相交于R求证：四边形AEQF是菱形.

【分析】由N8AO=NCA。，AO=AO,ZAOE=ZAOF=90a证△AEO0Z\AbO,推出

EO=FO,得出平行四边形AEOF,根据ERLAO得出菱形A£OF.

【解答】证明：•・・4D平分NBAC

：,ZBAD=ZCAD

又・.・£F_LA。，

NAOE=NAO产=90°

在△AE。和△AF。中，

rZEA0=ZFA0

<A0=A0，

ZA0E=ZA0F

•••△AEOgAAFO（ASA）,

：.EO=FO,

又・；A点与。点重合，

：.AO=DO.

:.EF、A。相互平分，

・•・四边形人石。〃是平行四边形

•・•点A与点。关于直线EF对称,

'：EFVAD,

・•・平行四边形AE。产为菱形.

16.如图：在梯形4ECO中，CD"AB,将△AOC沿AC边所在的直线折叠，使点。落在点

E处，连接CE.求证：四边形AECO为菱形.

【分析】先由△AOC经△AEC,证得CO=CE,ZDCA=ZACE,再根据CD〃AB,得到

ZDCA=ZCAE,则£A=£C,根据“四条边都相等的四边形是菱形”行证明.

【解答】证明：•••△ADC/AAEC,：,CD=CE,/OC4=NEC4（2分），

又梯形4BCO中，CO〃A8,・・・NOCA=NCAE（3分）

・・・NCA£=NAC£：（4分）：.AE=CE,:.CD=AE0分）

；・四边形AECO为平行四边形，:AE=C石，

・•・四边形人次。为菱形.（6分）

17.小明尝试着将矩形纸片A8CO（如图①，沿过4点的直线折叠，使得8点落

在AO边上的点尸处，折痕为4E（如图②）；再沿过。点的直线折叠，使得C点落在

D4边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为OG（如图③）.如果第二次折

叠后，M点正好在/NDG的平分线上，求矩形ABC。长与宽的比值.

图①图②图③

【分析】连接。£，由翻折的性质知，四边形为正方形，N£AQ=45°,而M点

正好在NN/)G的平分线上，则。石平分NGOC,易证RlZ\/X7EgR【ZXOCE,得到QC=

QG,而△AG。为等腰直角三角形，得到/1。=加。G=J，CO.

【解答】解：连接。E,如图：

•.•沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点尸处，

・•・四边形4/法〜为正方形，

・・・NE4D=45°,

由第二次折叠知，M点正好在NNQG的平分线上，

・・・。£平分NGQC,

：,ZGDE=ZCDE,

•:DG为折痕，

/.ZDGh-90o=ZC,

而DE=DE,

.,.RtADGE^RlADCE(AAS),

：,DC=DG,

VZEAD=45°,ZDGA=90°,

・•・△AGO为等腰直角三角形，

:.AD=^/2DG=^/2CD,

・•・矩形AHCI)长与宽的比值为加，

故答案为加.

18.如图，在矩形ABC。中，A8=I5,E是BC上的一点，将△A8E沿着AE折叠，点8刚

好落在CO边上点G处；点尸在OG上，将△AO”沿着Ab折叠，点。刚好落在4G上

点”处，且CE=38E.

5

(1)求AO的长;

(2)求FG的长.

【分析】（1）由折叠的性质可得AB=AG=15,AD=AH,EB=EG=5x,NB=NAGE=

90°尸=90°,由勾股定理可求CG=3x,由余角的性质可求NAGO=NCEG,

由锐角三角函数可得旦出，即可求解：

EGAG

（2）由锐角三角函数可得以口，即可求解•.

EGGF

【解答】解：（1）,:CE=&BE,

5

:.BE=5x,C£=4x,

由折直的性质可得：AB=AG=\5,AD=AH,EB=EG=5x,/B=N4GE=90°,ZD

=NA"P=90°,

:，CG=VEG2-CE2=V25x2-16x2=3x,

VZEGC+ZGEC=90,=NEGC+NAGO,

:.NAGD=NCEG,

:.sinZCEG=sinZAGD=^-驾，

EGAG

•.•・3x,二_AD,

5x15

・"。=9；

（2）VAD=9,AG=\5,

：.GH=AG-AH=6,

VcosZCEG=cosZAGD=^-=^Ji,

EGGF

•・•・4x‘二6・,

5xGF