2026年中考数学一轮复习-锐角三角函数（含解析）

2026年中考数学一轮复习锐角三角函数

一.选择题（共10小题）

1.（2025•港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下,

支持力B的方向与斜面垂直，摩擦力色的方向与斜面平行.若斜面的坡角。=25°,则摩擦力尸2

与重力G方向的夹角。的度数为（）

A.155°B.125°C.115°D.65°

2.（2025•安庆二模）如图,在IF方形网格中,△力AC的位置如图，其中点人R、。分别在格点卜.

3.（2025•旬邑县校级模拟）如图，在△力8C中，/8=45°,BC=3,tanC=^,则中线的长

为（）

4.（2025•莆田模拟）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射

率n二察（,为入射角，，,为折射角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃

OL/Cf

透镜斜面,经折射后沿垂直4c边的方向射出.若i=30°,AB=20cm,BC=5cm,则该玻璃透镜

的折射率〃为（）

法线

A.2B.1.6C.1.5D.1.4

5.（2025•南关区模拟）如图，小明在点C处测得树的顶端/仰角为a,同时测得8C=15，〃，则树的

tanasina

6.（2025•鲁山县一模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如空，两条伞骨所成的角N①9=130°,

点。在伞柄力。上，AE=AF=DE=DF=m,则力。的长度可表示为（）

A./〃sin65°B.wcos65°C.2〃?sin65'D.2〃7cos65°

7.（2025♦长春模拟）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可

以跨楼层抵达的超富超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截

面如图，48的长为50米，与4c的夹角为24°,则高8C是（）

50/七

AC

A.50sin240米B.50cos24°米

50,・福米

C-sE24。米D

8.（2025•南关区校级三模）如图1是一种三角车位馈，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当

位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面卜），此时汽车可以进入车位:

当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车

位.图2是其示意图经测量，钢条44=%C=a厘米，ZABC=Q.则车位锁的底盒长8。为（）

C.2acos8厘米D.2qsinB厘米

9.（2025•朝阳区校级二模）如图所示的是一段索道的示意图.已知力、8两点间的距离为500米,

/R4C=a，则缆车从4点到。点卜升的高度（即线段AC的长）为（）

500,

C.——米D.500cosa米

cosa

10.（2025•上蔡县三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方

面.如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座力4C。的高8c为20c〃?，上部

显示屏“'的长度为60c〃?，侧面支架EC的长度为130c〃?，NECZ）=80°,ZFEC=\30°,则该

机器人的最高点F距地面48的高度为（）

B.(50+130cos80c)cm

C（3。於+丽声）cmD.(50+130sin80°)cm

二.填空题（共5小题）

11.（2025•武汉）某科技小组用无人机测量•池塘水面两端43的距离，具体过程如下；如图，

将无人机垂直上升至距水面120机的尸处，测得［处的俯角为45°,8处的俯角为22°,则小B

之间的距离是__________ra.（tan22°取0.4）

120m；

19

12.（2025•广州）如图,在Rt△48c中，ZJC5=90°,力。平分NU8,已知COSNCXDMJI，AB

=26,则点8到4＞的距离为______.

13.（2025•椒江区校级模拟）如图，四边形力8C。中,若NB+ND=180°,BC=CD=3,JC=8,

AB=x,AD=y.则.\y=______.

D

B

14.（2025•金凤区模拟）如图,小明在大楼30米高（即/W=30米）的窗口〃处进行观测，测得山

坡上力处的俯角为15°,山脚8处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i（即tanN/BC）为1：，

点尸，〃，B,C,/在同一个平面上，点〃、B、C在同一条直线上，且尸〃JL〃C.

（1）山坡坡角（即N/出C）的度数等于_______度；

（2）求力、3两点间的距离等于___________（结果精确到0.1米，参考数据：V3«1.732）.

、

1HRC

15.（2025•光泽县模拟）具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，

还能与多种设计风格相融合.如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽

象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2,则该置物架所占用墙面的长度1的值

图2

三.解答题（共5小题）

16.（2025•天河区校级四模）人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛.使

用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”a为20°（望向屏幕上边缘的

水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”0为100°,

如图①所示.

转

图①图②图③

（I）如图②，当水平视线"与屏幕8c垂直，“视线角”a为20°,8C=24加时，求眼睛与

屏幕的距离力4；（结果保留一位小数）

（2）如图③，肩膀到水平地面的距离。G=100cm,大臂。E=30s〃，小臂水平放在桌面月产上，

若要保证坐姿正确，即“手肘角”0为100°时，求当桌面跖到地面的距离"/为多少？（结果

保留一位小数）

参考数据:sin200比0.34,cos20°比0.94,tan200心0.36,sin80°比0.98,cos80°^0.17,tan80°

%5.67

17.（2025•永寿县校级模拟）“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，

用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观.如图②，由于“生命之树”主体底部不可直

接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点。处

竖直上升100小到达点。处，在点C处测得“生命之树”主体48的顶点/处的俯角为22°,然

后操控无人机向主体48的方向水平飞行65〃?至点£1处，在点E处测得顶点力处的俯角为45°,

点、B,。在同一水平线上，AB1BD,图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体月6的高

度.（结果保留整数，参考数据:sin22°-0.37,cos22°弋0.93,tan220-0.40）

图①图②

18.（2025•广东模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种

工作状态下的侧面结构示意图（"N是基座的高，是主臂，P。是伸展臂，EM//QN）.已知

2

基座高度MN为1〃?，主臂A"长为56，测得主臂伸展角.N尸“£=37°.（参考数据：sin37°“宁

344、

tan37°右,，sin53°长宁tan530*可)

（1）求点P到地面的高度;

（2）若挖掘机能挖的最远处点。，此时NQPA/=90°,求。点到N点的距离.

主臂

伸展臂

基座

图1图2

19.（2025•武安市二模）淇淇家位于学校正东方向200〃?处，周末她和同学约好去学校附近的体育

馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西53°方向，距离学校500m.

（1）请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图;

（2）求体育馆到淇淇家的直线距离;

（3）若淇淇步行从家出发，先以50〃丽山的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球,

于是立即以60初加〃的速度原路返回家中.取到篮球后，为了赶时间，她以80M加〃的速度从家

直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长.（计算结果保留整数.参考数据：sin530=0.8,cos53。«

0.6,V5«2.2)

20.（2025•凌河区校级三模）如图1,某款线上教学设备由底座、支撑臂力仄连杆月。、悬臂C。

和安装在。处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂/8JJ,

AB=\Scm,CD=44cm,固定N48C=148°,可通过调试悬臂。与连杆8c的夹角来提高拍摄

效果.悬臂端点C到桌面/的距离约为52cm.

（1）6c的长度为多少？

（2）已知摄像头点D到泉面Z的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹

角NBCD的度数约为多少?（参考数据:sin580"0.85,cos58°七0.53,tan580^1.60）

图1图2

2026年中考数学一轮复习锐角三角函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2025•港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下,

支持力门的方向与斜面垂直，摩擦力色的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25°,则摩擦力出

与重力G方向的夹角B的度数为（)

125°C.115°D.65°

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据题意结合图形可知口是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得0的度数.

【解答】解：•・•重力G的方向竖直向下,

・•・重力G与水平方向夹角为90°,

由题意可得:

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键.

2.（2025•安庆二模）如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点力、B、。分别在格点上,

则tan/i的值是（)

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】取格点。，连接CQ,设每个小正方形的边长为I,由勾股定理结合勾股定理逆定理可得

△4CD为直角三角形,且/力。。=90°,再由正切的定义计算即可得解.

设每个小正方形的边长为1,由勾股定理可得：

CD=Vl2+I2=V2,AD=A/324-32=35/2,AC=V22+42=2A/5»

:.AC2=AD2+CD2,

，△力。。为左△,且N力。C=90°,

..721

••tanJ=57?=r

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，熟练掌握以上知识点是关键.

3.（2025•旬邑县校级模拟）如图，在中，NB=45°,BC=3,tanC=则中线力。的长

为（）

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.

【答案】D

【分析】过点“作于点E,设分别在Rt△1BE和心△4EC中，利用饯角三角函

数的定义求出8£和。£的长，从而列出关于x的方程，进而求出8。的长，再利用三角形的中线

定义求出4。的长，从而求出。E的长，最后在Rt△力。七中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】解：过点力作于点上，

在RtZXXBE中，/8=45°,

，8£=4E・tan450=x,

1

在RtAJEC中，tanC=之

•♦--，

CE2

：.CE=2AE=2x,

：.BC=BE+CE,

.*.x+2x=3,

解得:x=l，

：,AE=BE=\,

•.3。是3c边上的中线，

:.BD=CD=3BC=15,

：.DE=BD-BE=\.5-1=0.5,

在Rt△力。£中，AD=>JAE2+DE2=

故选：D.

【点评】本题考壹了解直住三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

4.（2025•莆田模拟）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射

率九=需3为入射角，，♦为折射角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃

透镜斜面，经折射后沿垂直4c边的方向射山.若i=30°,AB=20cm,BC=5cm,则该玻璃透镜

的折射率〃为（）

法线

B

----------------------------

A.2B.1.6C.1.5D.1.4

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用.

【答案】A

【分析】由题意得B+NZ=90°,r+0=9O'，则厂=/4所以sinr=sim4=器=4=/,然后

通过折射率九=舞=嘿步即可求解.

【解答】解：如图，

法线

•・•折射光线沿垂直NC边的方向射出阳/4=90°,

•・•法线垂直于力以

，r+B=90°,

/.r=ZJ,

..■ABC51

..smr=sinA=-^=^=^

l

z

si7i30。l=2

••・折射率九=舞-

sinA4

故选:A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键.

5.（2025•南关区模拟）如图，小明在点。处测得树的顶端/仰角为a,同时测得8c=15出，则树的

图度AB为（）

15

A.15tanamB.----mC.15sinaniD.---m

tanasina

t考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】由锐角三角函数定义得tana=器，即可得出答案.

AD

【解答】解：在RI△44C中，BC=15m,ZACB=a,lana=

.\AB=BC*tana=15tana（阳）.

故选:A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数

的定义是解答本题的关键.

6.（2025•鲁山县一模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如密，两条伞骨所成的角/切C=130°,

点。在伞柄力P上，AE=AF=DE=DF=m,则彳。的长度可表示为（）

A./«sin65°B.wcos65aC.2〃?sin65'D.2wcos65°

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】连接叱交力。于点O,根据已知易得：四边形幺瓦?厂是菱形，从而利用菱形的性质可得

OA=OD=^AD,NAOF=0O。，ZE4D=65°,然后在RtZX/10尸中，利用锐角三角函数的定义求

出力。的长，从而求出力。的长，即可解答.

【解答】解：连接石厂交力。于点O,

P

YAE=AF=DE=DF=m,

・•・四边形4EO/是菱形，

：,OA=OD=^AD,ZAOF=90°,NE4D=3/EAF=65。,

在Rt^XO/中，40=4b・cos65°=，〃cos650，

'.AD=2AO=2/??cos650,

.'•AD的长度可表示为2/?zcos65>

故选：D.

【点评】本题考查了解直隹三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

7.（2025•长春模拟）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可

以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截

面如图，川？的长为50米，/也与力。的夹角为24°,则高8。是（)

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用：几何直观；运算能力.

【答案】A

【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出8C的值.

【解答】解:'：ABCA=W,48=50用，ZA=24°,

..ABCBC

-S}nA=AB=50f

・・・8C=50siM=50sin2401米），

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.（2025•南关区校级三模）如图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当

位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面卜），此时汽车可以进入车位；

当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车

位.图2是其示意图经测量，钢条X8=*C=a厘米，ZABC=G.则车位锁的底盒长夕。为（)

C.24cos。厘米D.2〃sin。厘米

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据题意，结合图形，在中利用三角函数得到80,结合等腰三角形的性质得

到结果.

【解答】解：过力点作力QJ_4C于。点，

图2

■:八B-AC,△48。是等腰三角形，

:,BD=DC,

•・•在中，ZADB=W,NABD=9,厘米，

/.BD=AB*cosZABD=a*cosQ（厘米），

.•・8C=2q・cosB（厘米）,

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

9.（2025•朝阳区校级二模）如图所示的是一段索道的示意图.已知力、8两点间的距离为500米,

ZBAC=a,则缆车从4点到8点上升的高度（即线段8。的长）为（）

SOOw„500、,，

A.----米B.500sina米C.----米D.500cosa米

sinacosa

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】根据题意可得：心AC,然后在RtZ\/18C中，利用锐角三角函数的定义求出4C的长，

即可解答.

【解答】解：由题意得：BCLAC,

在RI△48C中，NB/C=a,43=500米，

A5C=J5*sina=500sina（米），

・•・缆车从4点到B点上升的高度为500sina米，

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键.

10.（2025•上蔡县三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方

面.如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座44CO的高8C为20c〃?，上部

显示屏环的长度为60c〃?，侧面支架EC的长度为130c〃?，ZECD=80°,N在C=130°,则该

机器人的最高点尸距地面48的高度为（）

C.（30次+姿。）的D.（50+13（）sin800）cm

SlHoU

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.

【答案】D

【分析】过点E,b分别作£7人LCQ,FNVCD,垂足分别为〃，M过点£作EA/_LbN,垂足为

可得四边形E.MW7为矩形，即得,WV=£",再分别解RlZ\EHC和RtZXFEM,求出EH、FM

即可求解.

【解答】解：过点E,F分别作EH1CD,FN1CD,垂足分别为从N,过点E作EM_L产M垂

足为则四边形EA/MZ为矩形,

地而

EH

■:sin乙ECH=注

/.EH=CE*sinZECH=130sin80°(cm),

/.W=130sin80°(cm),

VZEHC=90°,

:./CEH=90°-80°=10°,

:・NFEM=NFEC-NMEH-NCEH=130°-90°-10°=30°,

AFM=1FF=30(cm),

；・点尸距地面的高度为EW+MN+4c=30+I30sin80°+20=(50+130sin80°)cm.

故选：D.

t点评】本题考行了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确进行计算是解题关舜.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端4,8的距离，具体过程如下：如图,

将无人机垂直上升至距水面120机的尸处，测得力处的俯珀为45°,4处的俯角为22°,则4B

之间的距离是m.(tan22°取0.4)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】180.

【分析】根据题意可得：PD〃CB,从而可得N处C=N。必=45°,/DPB=/PBC=22：然

后分刑在RtAZ^C和RtAPaC中，利用锐角三角函数的定义求出X。和8。的长，从而进行计算

即可解答.

【解答】解：如图：

：.ZPAC=ZDPA=45°，^DPB=ZPBC=22°,

在Rt△%C中，PC=120w.

PC

AJC=UH45S=120(〃')'

在RlZ\P8c中，ZraC=22°,

PC120

:.BC=+«拜=300(w),

tan2200.4

：.AB=BC-AC=300-120=180(w),

：.A,5之间的距离约是180m,

故答案为：180.

【点评】本题考查了解直先三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行

分析添加适当的辅助线是解题的关键.

12.(2025•广州)如图，在Rt△48C中，ZACB=90°,AD平分NG4B,已知cos/C4O=1|,AB

=26,则点8到力。的距离为10.

【考点】解直角三角形；角平分线的性质.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.

【答案】10.

【分析】过点。作力于点H.可以假设4C=12k,/。=134，则。。=54，证明£＞，=CO

=5k,利用面积法求解.

【解答】解：过点。作。4148于点

c

D

HB

AC19

VZC=90°,COSZCJZ)=^=Y1,

；・可以假设力。=12〃，AD=\3k,则CO=5%,

•••力。平分NG4A,DC1AC,DH1AB,

；・DH=DC=5k,

设点B到AD的距离为〃，则有gxl3ZX〃=iX26X5上

2/

解得/?=10.

故答案为：10.

【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问

题.

13.(2025•椒江区校级模拟)如图，四边形力8C。中，若N8+NO=18()°,BC=CD=3,4C=8,

AB=x,AD=y.则盯=55.

【考点】解直角三角形.

【专题】三角形：解直角三角形及其应用；几何直观：运算能力；推理能力.

【答案】55.

【分析】过点。作CE_L4B于点E,CFLAD,交4。延长线于点凡证明/8=/(7。尸=。，解

RtABCE得CE=3sina,BE=3cosa,则力E=x-3cosa,由勾股定理得力炉+以2=4。2,则(JV,

3cosa)2+(3sina)2=82,整理得x2-6xcosa=55①，解RtAiCO/7得＜户=3$吊。，DF=3cosa,

则力产=y+3cosa,由勾股定理得力产+。尸=力。2,则(y+3cosa)2+(3sina)2=82,整理得)2+6ycosa

=55②，由①②得x2-6xcosa=j^+6jcosa,由此得x-歹=6cosa,则.d+y2-2xy=3GcoCa,再由

①+②得工2+产=110+36cos%,进而得110+36cos2a-2孙=36cos%,由此即可得出xy的值.

【解答】解：过点。作CE_L/1〃于点E,CF1AD,交力。的延长线于点尸，如图所示：

VZ5+ZJDC=180°，ZCDF+Z^DC=180°,

:・/B=4CDF,

设/5=/C"=a,

在中，/B=a,BC=3,

,.CEBE

・・sina=反，cosa=配,

.•.CE=8C・sina=3sina,BE=BC*cosa=3cosa,

•：AB=x,

：・AE=AB-BE=x-3cosa,

在Rt△4C£中，4C=8,

由勾股定理得：AE2+CE2=.4C2,

:.(x-3cosa)2+(3sina)2=82,

整理得：x2-6xcosa+9(sin2a+cos2a)=64,

Vsin2a+cos2a=1,

Ax2-6xcosa=55①，

在RtZ\C。尸中，NCDF=a，CD=3,

CFDF

/.sina=诙，cosa=9,

/.CF=C£)>sina=3sina.DF=CD•cosa=3cosa,

•；AD=y,

/.AF=AD+DF=y+3cosa,

在RlZUC产中，AC-8,

由勾股定理得：AF2+CF2=AC2,

:.(y+3cosa)2+Osina)2=S2,

整理得：j^+bvcosa+Q(sin2a+cos2a)=64,

Vsin2a+cos2a=1,

.,・)2+6ycosa=55②，

由①②得：x2-6xcosa=j^+6jcosa,

(x+y)(x-y)=6(x+y)cosa.

•・3+yXO,

Ax-y=6cosa,

:.（x-y）2=（6cosa）2,

Ax2-^'2-2xy=36cos2a,

由①+②得：x2-6xcosa+_/+6ycosa=110,

/..v2+^2=110+6（x-y）cosa=110+6X6cosaXcosa,

.\x2+y2=110+36cos2a,

110+36cos2a-2v）^=36cos2a,

，孙=55.

故答案为：55.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，完全平方公

式的结构特征是解决问题的关键.

14.（2025•金凤区模拟）如图，小明在大楼30米高（即P〃=30米）的窗口尸处进行观测，测得山

坡上4处的俯角为15°,山脚8处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i（即tanN/BC）为1：江,

点P,H,B,C,力在同一个平面上，点〃、8、。在同一条直线上，且PH」一HC.

（1）山坡坡角（即/48C）的度数等于30度：

（2）求4、8两点间的距离等于34.6（结果精确到0.1米，参考数据：V3«1.732）.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解•；

（2）在直角△P//4中，根据三角函数即可求得P4的长，然后在直角比1中利用三角函数即可

求解.

【解答】解：（1）VtanZ.45C=l：V3,

AZ/15C=30°；

（2）由题意得：/PBH=60°,

VZABC=30°,

AAABP=W,又/4PB=45°,

:APAB为等腰直角三角形，

在直角△尸〃8中，04=遥而=普=2。百,

T

在直角△P8/I中，AB=PB=20\[3«34.6X.

故答案为3(),34.6.

【点评】本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键.

15.(2025•光泽县模拟)具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，

还能与多种设计风格相融合.如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽

象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2,则该置物架所占用墙面的长度d的值为

19

图1图2

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】19.

【分析】根据题意可得：点月，B,C,D,E,F,G,〃共线，连接44并延长到点〃，则4/_L

HM,根据题意可得：AB=CD=EF=4,BC=DE=FG=GM=2,然后在中，利用锐角

三角函数的定义求出GH的长，最后进行计算即可解答.

【解答】解：如图：由题意得：点力，B，C,D,E,F,G,H共线,连接力3并延长到点〃，则

AHLHM,

图1

由题意得：AB=CD=EF=4,BC=DE=FG=GM=2,

在RtAGHW中，NMGH=60°,

••・G〃=CM/・cos60°=2x|-l,

・•・/〃=43+8C+O)+QE+£7:'+尸G+G，=4+2+4+2+4+2+l=19,

・•・该置物架所占用墙面的长度d的值为19,

故答案为：19.

【点评】本题考查了解直隹三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解

题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•天河区校级四模）人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛.使

用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”a为20c（望向屏幕上边缘的

水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角邙为100°,

如图①所示.

图①图②图③

（1）如图②，当水平视线44与屏幕8c垂直，“视线角”a为20°,4C=24c/»时，求眼睛与

屏幕的距离/出；（结果保留一位小数）

（2）如图③，肩膀到水平地面的距离。G=100“〃，大臂OE=30cm,小臂水平放在桌面K户上，

若要保证坐姿正确，即“手肘角”0为100°时，求当桌面七户到地面的距离开/为多少？（结果

保留一位小数）

参考数据：sin20°比0.34,cos20°"0.94,tan20°为0.36,sin800比0.98,cos80°^0.17,tan80°

比5.67

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】（1）眼睛与屏幕的距离48约为66.7cm；

（2）桌面EF到地面的距离FH约为70.6cm.

【分析】（1）根据8C的长及20°的正切值可得48的长；

（2）易得NZ）£W=80°,根据。E的氏和80°的正弦值可得MG的长，取。G的长，减去MG的

长即为桌面反到地面的距离.

【解答】解：（1）•:AB1BC,

.•・N8=90°,

•・・(x=20°,BC=24cm,

..BC24.._、

••4BD=.___«=66.7(cm),

tana0.36

答：眼睛与屏幕的距离45约为66.7C/M；

（2）由题意得：四边形GMFH是矩形，NDME=90°,

图③

vp=ioo°,

/.ZZ)EM=80°,

,：DE=30cm.

••・DM=Z)£・sin80°^30X0.98^29.4(cm),

'：DG=\00cm,

.•.6^=100-29.4=70,6(cm),

:・FH=GM=74.6cm.

答：桌面印到地面的距离切约为70.6CTM.

【点评】本题考查解直用三角形的应用.掌握锐角三角函数的性质是解决本题的关键.

17.（2025•永寿县校级模拟）“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，

用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观.如图②，由于“生命之树”主体底部不可直

接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点。处

竖直上升1（）0〃?到达点。处，在点C处测得“生命之树”主体的顶点/处的俯角为22°,然

后操控无人机向主体的方向水平飞行65〃?至点E处，在点E处测得顶点/处的俯角为45°,

点、B,。在同一水平线上，ABYBD,图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高

度.（结果保留整数，参考数据：sin22°-0.37,cos22°-0.93,tan22°-0.40）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】“生命之树”主体48的高度约为57%

【分析】如图，过点力作45_1。口交感的延长线于点?，根据矩形的性质得到8"=。。=100加，

由题意知/力。/=22°,/AEF=450,CE=65m,求得EF=AF,设EF=AF=xm,则CF=CE+EF

=（65+x）小，解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：如图，过点力作AF1CE,交CE的延长线于点尸，

图②

•・•点8,。在同一水平线上，ABLBD,

・•・四边形尸为矩形.

：，BF=CD=100m,

由题意知/力。〃=22°,4EF=45°,CE=65rn,

:・EF=AF,

设EF=4F=xm,则C”=CE+E/=(65+x)w,

A17

在Rt^XC/中，tan£.ACF=

A—x0.40,

65+x

解得x243.3,

.*./4F=43.3/n,

AJB=100-43.3=56.7=57Cm）,

答：“生命之树”主体力8的高度约为57〃?.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

18.（2025•广东模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种

工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，"尸是主臂，。。是伸展臂，EM//QN）.已知

基座高度为1〃?，主臂长为5〃人测得主臂伸展角.NPME=37°.（参考数据：疝37°右|,

344

tan37"七串sin53°右耳，tan53°q可）

（1）求点。到地面的高度；

（2）若挖掘机能挖的最远处点。，此时NQPM=9（）“，求。点到N点的距离.

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】计算题；数形结合；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【答案】（1）点P到地面的高度约为4m；

（2）。点到N点的距离约为7〃1.

【分析】（1）作〃8_LQN于点8,延长ME交P8于点儿易得四边形48NM是矩形，那么力8

=MN、AM=RN.根据37°的正弦值和PM的长可得21的长.加I・力。的长即为点P到地面的

高度；

（2）根据勾股定理可得4M的长，也就是4N的长，根据N0PM=90°,可得NQPB=37°,根

据37°的正切值和P8的长可得。8的长，加上8V的长即为。点到N点的距离.

【解答】解：（1）作P81QN于点8,延长ME交PB于点儿

图2

PBQ=NPBN=900.

・：EM〃QN,

:・NBAE=NPAE=90°.

由题意得：

:・/MNB=90°.

・•・四边形48NM是矩形.

:,AB=MN=\(w),AM=BN.

*：PM=5mt/PME=37°,

••・H=PM・sinNPME-5x'=3Cm).

J

Ara=ZMM5=3+l=4（〃。.

答：点夕到地面的高度约为4〃”

（2）•:PA=3m,PM=5m,ZPAM=90°,

：.AM=4（/„）,ZAPM+ZPME=90°.

:.BN=A（w）.

VZ0PM=9O°,

，/。尸台十//iBW=9（r.

:"QPB=/PME=37°.

3

：,QB=PB^anZQPB^4x1=3（w）.

:・QN=QB+BN=7（W）.

答：。点到。点的距离约为7m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用.把所给的线段和角整理到合适的直角三角形中是解决本

题的关键.

19.（2025•武安市二模）洪洪家位于学校正东方向20（）〃?处，周末她和同学约好去学校附近的体育

馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西53°方向，距离学校500m.

（1）请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图；

（2）求体育馆到淇淇家的宜.线距离；

（3）若淇淇步行从家出发，先以50/加加〃的速度匀速走到学校，但到达学校后