压轴专练：一次函数十大题型（原卷版）-2024-2025学年八年级数学上册北师大版

一次函数(压轴专练)(十大题型)

题型1:存在性问题

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1.如图：直线尸去+3与X轴、J轴分别交于A、B两点,=点C(x,y)是直线y=Ax+3上与A、

8不重合的动点.

(1)求直线42的解析式：

(2)作直线0C,当点C运动到什么位置时，A/IOA的面积被直线0C分成1:2的两部分；

(3)过点C的另一直线CO与，轴相交于。点，是否存在点C使△8CO与小。8全等？若存在，求出点C的

坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，已知直线人与x轴、轴分别交于点力(2,0)、5(0,-4),将直线4向左平移3个单位长度得到直线

1直线与X轴、轴分别交于点C、D,连接力。、BC.

(1)求直线的函数表达式；

(2)求四边形力8CD的面积；

(3)在直线右上是否存在点£，使得△//£＞石的面积是四边形片8co面枳的2倍？若存在，求出点E的坐标；若

不存在，请说明理由.

题型2：最值问题

3.如图，直线歹=-2工+9交丁轴于点/，交X轴于点8,点。(4,1)在第四象限，点P(，〃,0)在线段04上.连

接。C,BC,过点夕作k轴的垂线，交边48于点E,交折线段OC8于点E

(1)求点力，8的坐标：

(2)没点E,/的纵坐标分别为乂，外，当04〃区4时，乂一必为定值，求，的值；

(3)在(2)的条件下，分别过点区厂作EG,尸，垂直于y轴，垂足分别为点G,〃，当0。?46时，求长

方形EG"周长的最大值.

4.如图(1),在平面直角坐标系中，直线y=-/1+3交坐标轴于A,8两点，过点。(-3,0)作交48于

点、D,交p轴于点E,且4COE@ABOA.

(1)8的坐标为,线段。4的长为.

(2)求直线CD的解析式和点D的坐标.

(3)如图(2),点"是线段CE上一动点(不与点C,E重合)，ON工0M交AB于悬N,连结A/M.

①在点M移动过程中，线段。”与ON数量关系是否不变，并证明；

②连结当面积最大时，求。W的长度和△DWN的面积.

题型3:动点问题

5.如图(1),点4(3,0)*(0,4)为平面直角坐标系中两点，过点C(-4,0)作C。交月6于。，交)'轴于点

E.W.^COE^BOA.

（1）求直线CQ解析式；

（2）如图2,点M是线段CE上一动点（不与点C、E重合），ON工0M交AB于点、N,连接MM.

①点M移动过程中，线段0M与ON数量关系是否不变，并证明；

②当xOMN面积最小时，求点M的坐标和AOMN面积.

6.在直角坐标系X。中，直线4：F=r+4与x轴、6轴分别交于点A,点8.直线/2：4=*+加（加＞0）与十

轴，）'轴分别交于点C，点。，直线人与4交于点E.

⑴若点石坐标为6,〃

i)求"7的值;

ii)点尸在直线，2上，若SAQ=3S“DE，求点。的坐标；

(2)点尸是线段C£1的中点，点G为V轴上一动点，是否存在点尸使△WG为以4•为直角边的等腰直角三角

形.若存在，求出根的值，若不存在，请说明理由.

7.在平面直角坐标系中，点力(0,2).

(1)经过点力且与直线j，=-gx平行的直线交x轴于点儿试求8点坐标，并直接写出的度数；

(2)如图1,若8(4,0),过.”(1,0)的直线与直线相所夹锐角为45。，求该直线与直线48交点的横坐标；

(3)如图2,在(1)的条件下，现有点。(机,〃)在线段48上运动，点。(-3〃?+2,0)在x轴匕M为线段CO

的中点.直接写出当C从点力开始运动，到点4停止运动，历点的运动路径长为一

题型4:对称问题

8.在平面直角坐标系中，点A、。分别是X轴和N轴上的两点，点力(凡0),。(0,-6+1)且满足

。2+/-10。+昉+41=0.

(1)如图1,求A、C两点坐标.

(2)点尸是△力。。内一点，点尸的坐标为(叫-2加+5),点。在第二象限，连接尸C,,NPCQ=90。,PC=QC,

请用含机的式子表示点。的坐标.

⑶在(2)的条件下，点6在X轴上与点A关于y轴对称，过。做。E_LOC于点E,延长。E交水;于点用，

延长用产交x轴于点N,连接8W,取8W的中点G,连接OG并延长交x轴于点〃，当2M=6HN时,求

点P的坐标.

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9.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-三X+16交x轴于点4交y轴于点心直线y=与直线

JJ

相交于点C.

(1)求点力，。的坐标.

(2)现有•动点尸沿折线。rC->8->。以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为，秒.

①当△Q4P为等腰三角形时，求出所有满足条件的/的值.

②如图2,已知x轴正半轴上有一动点0,当点P在线段08上运动时，连接C尸，CQ.作△C。，关于直

线。。的对称图形A。。加，作△CPA关于直线。的对称图形△“加，射线C4口交x轴于点当〃力均

时，是否存在/的值，使AMOM恰好是直角三角形？若存在，请直接写出/的值；若不存在，请说明理由.

题型5:旋转问题

10.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线卜=履-4攵(々/0)交x轴的正半轴于点A,交V轴的正半

轴干点=

(1)求08的长：

(2)如图1,点。在x轴的负半轴上，点。在18上，连接CO交y轴于点E,点E为C。的中点，设点。的

横坐标为的面积为S,求S与/的函数解析式；

⑶如图2,在(2)的条件下，将射线叱绕点£顺时针旋转45。，交x轴的负半轴于点F,连接所,若

/BFE+2/BED=/OEF,求5的值.

11.如图，平南直角坐标系中，直线V=r+4分别交x、V轴于A、8两点，点。为线段48的中点.

(1)直接写出点。的坐标工

(2)如图1,点C是X轴负半轴上的一动点，过点尸作POJ.PC交y轴正半轴于点。，连接C。，点时、N

分别是C。、08的中点，连接MN,求NMNO的度数；

⑶如图2,点。是x轴上的一个动点，连接尸0.把线段尸。绕点。顺时针旋转90。至线段。丁，连接尸7、

or.当pr+or的值最小时，求比时点丁的坐标.

12.如图1,在平面直角坐标系戈0P中.点力(3.0),J/?=8,C点到X轴的距离m为24，且/4ffC=

30°.

（1）求点C坐标；

（2）如图2,），轴上的两个动点£、F（E点在厂点上方）满足线段Eb的长为石，连接工、AF,当线段

CE+E产+/E有最小值时，请求出这个最小值；

（3）如图3,将绕点4顺时针方向旋转60。，得到△BG",使点力与点〃重合，点。与点G重合,

将△8G"沿直线4C平移，记平移中的△8G"为△8G7A在平移过程中，设直线87r与x轴交于点是

否存在这样的点“，使得为等腰三角形？若存在，求出比时点M的坐标；若不存在，说明理由.

题型6：取值范围问题

13.已知，在平面直角坐标系中，力8c三个顶点的坐标分别为4(0,a),8(2,b),C(c,2),，轴,

且。、〃满足＞/2a-b+10+|4+34-9|=0.

⑴则。=_,b=_,c=_.

(2)如图1,在x轴上是否存在点。，使4c。的面积等于△48C的面积？若存在，请求出点。的坐标；若不

存在，请说明理由；

(3)如图2,连接OC交力3于点是否存在一点N(O,〃)在),粕上，使得△8CM的面积大于△8MN的面

积，若有，请求出〃的取值范围；若没有，请说明理由.

14.如图，在平面直角坐标系中，直线》=x+4分别交x轴、y轴于点力、8,直线，=h+6(女工0)交直线歹=、+4

于点C,交x轴于点。(1,0).

(1)求点4的坐标；

(2)若点C在第二象限，△力S的面积是5：

①求点。的坐标：

②直接写出不等式组x+4〉丘+力＞0的解集；

③将沿x轴平移，点。、力、。的对应点分别为G、4、D,设点。的横坐标为”.直接写出平移

过程中△CM。只有两个顶点在△上1。外部时，机的取值范围.

15.如图1,在直角/尤中，N/C8=90。，若点尸在斜边相上(不与A,8重合)满足CPWC4,则称点

户是直角的"近A点'

在平面直角坐标系xOy中，。（0,0）,一次函数图象、=米+2与x轴，N轴分别交于点M,N.

（1）若攵=一正，点?是直角△M9M的“近N点”，则O尸的长度可能是______:（填序号）

3

①I;②2；③6；④坊

（2）若线段MV上的所有点（不含M和N）都是直角△NOM的“近N点”，求左的取值范围；

（3）当|上|>1时，若一次函数歹二工+左与N=6+2的交点恰好是直角4N0M的“近N点”，则宜接写出〃的取

值范围是.

题型7:定值问题

16.如图1所示，直线/：y=〃次+10m与x轴负半轴、），轴正半轴分别交于48两点.

（1）当04=08时，求点/坐标及直线/的解析式；

⑵在（1）的条件下，如图2所示，设。为48延长线上的一点，作直线。。，过48两点分别作出必

于W,BN工OQ于N,若加/=8,求8N的长.

（3）当/〃取不同值时，点4在y轴正半轴上运动，分别以08、AB为边,点4为直角顶点在第一、二象限内

作等腰直角A。"和等腰直角“砥，连接£F交y轴于点P,如图3,问：当点4在y轴正半轴上运动时,

试猜想P8的长度是否为定值？若是，请求出其值：若不是，说明理由.

题型8:新定义题

17.定义：在平面直角坐标系中,我们称直线V=ax+仅。，为常数）是点2。力）的关联直线，点尸（。力）是

直线歹=如+力的关联点；特别地，当。=0时，直线)，=，)的关联点为

如图，直线48:»=-2》+4与x轴交于点A,与，轴交于点8.

【定义辨析】

(1)直线48的关联点的坐标是()

A.(0,0)B.(0,4)C.Q,0)D.(-2,4)

【定义延伸】

(2)点A的关联直线与直线交于•点C,求点。的坐标;；

【定义应用】

(3)点心1刈)的关联直线与x轴交于点E,NABE=45。,求、的值.

18.在平面直角坐标系X。，中，对于任意两点6(•卬乂)与后(修，见)的“非常距离”，给出如下定义:

若占一NM-必，则点々与点舄的“非常距离”为再一工2;

若玉72VM-必，则点E与点2的“非常距离”为乂一%.

例如：点6（1,2）,点？（3,5）,因为1-3<2-5,所以点R与点鸟的“非常距离”为2-5=3,也就是图1中

线段々。与线段鸟。长度的较大值（点。为垂直于y轴的直线々。与垂直于x轴的直线4。的交点）.

（1）已知点力一河，8为），轴上的一个动点.

①若点A与点B的“非常距离”为2,直接写出点B的坐标;

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;

（2）已知点C（x,：x+3）是直线加上的一个动点.

①如图2,点。的坐标是（0，1）,求点。与点。的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;

②如图3,正方形厂GMN的边长为1,边尸G在x轴上，点E是正方形bGMN边上的一个动点，记d为点C

与点上的“非常距离”的最小值，当正方形/GMN沿x轴平移，在平移过程中点G的横坐标大于等于0,且

小于等于9时，直接写出d的最大值.

题型9:两点间的距离与一次函数综合题

19.在练习“次函数”复习题时，我们发现了种新的函数：“绝对值函数“：y=kl，清类比探究函数

y=|x-1|-2.

⑴当x<i时，y=,当XNI时，y=(用含x的代数式表示)；

⑵过N轴上的动点片(OH),其中。>-2,作平行于工轴的直线，分别与函数y=k-11-2的图像相交于8、

。两点(点8在点。的左侧)，若BC=3AB,求。的值；

(3)若一次函数了=+b图像与函数y=|x-l|-2的图像相交于。、后两点，QEK3石，直接写出b的取值

范围.

题型10：一次函数的实际应用

20.“一方有难、八方支援”，在某地发生自然灾害后，某公司响应“助力乡情献爱心”活动，捐出了九月份的

全部利润.已期该公司九月份只售出了力、B